К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей
Покупка
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 62
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9515-0391-6
Артикул: 752847.01.99
В данной работе основы аксиоматики теории вероятностей изложены так. чтобы помочь читателю обрести верное понимание первых понятий этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех специалистов по вычислительной математике, которые используют вероятностный метод Монте-Карло для решения различных задач математической физики и создают программы для этих расчетов
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики» Ю. С. Никишова, А. Н. Субботин К ПРОБЛЕМЕ ИЗУЧЕНИЯ ПЕРВЫХ ПОНЯТИЙ АКСИОМАТИКИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие Саров 2018
Н62 УДК 519.211; 519.212; 517.518.115 ББК 22.171 Н62 Рецензент: кандидат физико-математических наук О. В. Коваленко Никишова, Ю. С., Субботин, А. Н. К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей: Учебно-методическое пособие. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018. – 62 с. : ил. ISBN 978-5-9515-0391-6 В данной работе основы аксиоматики теории вероятностей изложены так, чтобы помочь читателю обрести верное понимание первых понятий этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех специалистов по вычислительной математике, которые используют вероятностный метод Монте–Карло для решения различных задач математической физики и создают программы для этих расчетов УДК 519.211; 519.212; 517.518.115 ББК 22.171 ISBN 978-5-9515-0391-6 © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018
Содержание Определения, обозначения, сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина . . . . . . . . . . 7 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Глава 1. Первые понятия теории вероятностей в аксиоматике Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 § 1.1. Вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 § 1.2. Случайная величина. Значение случайной величины . . . . . 13 § 1.3. Индуцированное случайной величиной вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 § 1.4. Функция распределения вероятностей действительной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 § 1.5. Вероятностные меры на прямой R1. Теорема о разло- жении функции распределения вероятностей на дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты. Плотность функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 1.6. Математическое ожидание случайной величины . . . . . . . . . 24 § 1.7. Моделирование случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Глава 2. Независимость измеримой функции от меры и случайной величины от вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Глава 3. Примеры описания реальных случайных экспе- риментов на языке аксиоматики теории вероятностей . . . . . . 30 § 3.1. Вероятностная модель колоды из 36 игральных карт . . . . . 31 § 3.2. Вероятностная модель лотереи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 § 3.3. Вероятностная модель анизотропного рассеяния . . . . . . . . . 34 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Приложение А. Предварительные сведения из логики и функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
А.1. Аксиоматический метод и «неопределяемые» понятия. Теорема логики о противоречивой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 А.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 А.3. Алгебры и σ-алгебры множеств. Измеримые пространства. Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 А.4. Измеримые функции. Борелевские функции. Индикаторная функция. Теорема о представлении вещественной измеримой функции пределом последовательности простых измеримых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 А.5. Меры. Теорема Каратеодори о продолжении мер с алгебры на σ-алгебру. Пространство с мерой. Вероятностная мера . . . . . . 48 А.6. Пространство (R1, B(R1), λ). Борелева σ-алгебра на прямой R1. Мера Лебега. Функция распределения на R1. Мера Лебега–Стилтьеса. Связь между мерами и функциями распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 А.7. Интеграл Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Радона–Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега. Интеграл Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 А.8. Мера Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Определения, обозначения1, сокращения Кванторы Кванторы – это выражения «существует» и «для всякого». Без кванторов утверждение «f(x) > 0» является сокращением одного из следующих двух точных утверждений: «существует x такое, что f(x) > 0» и «для всякого x: f(x) > 0». Без кванторов приходится додумываться, какое из этих утверждений имеется в виду. ∃ x – квантор существования по переменной x («существует x»): (∃ x∈X): π(x) – существует элемент x∈X такой, что истинно (высказывание) π(x). {∃ x⎮ρ(x)}: π(x) – среди элементов x, для которых истинно условие ρ(x), существует элемент x такой, что истинно π(x). ∀x – квантор общности по переменной x («для всякого x»): (∀x∈X): π(x) – для всех элементов x∈X (для каждого элемента x∈X) истинно π(x). {∀x⎮ρ(x)}: π(x) – истинно π(x) для всех тех элементов x, для которых истинно ρ(x). Теорема. Отрицание утверждения, содержащего кванторы ∀, ∃ и утверждение P, получается заменой кванторов ∀ на ∃, ∃ на ∀ и утверждения P на его отрицание – неP. Множества и отображения {x: x ∈ X} ≡ {x ∈ X} – множество X, состоящее из элементов, имеющих общее обозначение x. {x: π(x)} – подмножество тех элементов x множества X, для которых истинно π(x). K ⊆ X – подмножество множества X: (∀x ∈ K): (x ∈ X). X\K ≡K ≡ {x:x∉K} – дополнение к подмножеству K. X= = {x∈K}∪{x∉K} ≡ K∪ . K 1 При цитировании замена обозначений переменных для лучшего согласия с контекстом работы делается без оговорок.
∅ = X\X – пустая часть некоторого множества X – несобственное подмножество множества X, не содержащее ни одного элемента из множества X. R1 – {x: –∞≤ x ≤ +∞} ≡ [–∞, +∞] – расширенная действительная прямая. Rn – евклидово вещественное n-мерное линейное пространство – прямое (декартово) произведение n пространств R1. f X Y ⎯ ⎯ → или f: X → Y – отображение f (функция f(·)) множества X во множество Y. f(·) – точка на месте аргумента функции подчеркивает, что речь идет именно о функции, а не о значении функции при каком-то определенном значении аргумента. f –1(G) ≡ {x: f(x)∈G} ≡ {f∈G} – полный прообраз множества G ⊆ Y при отображении f: X → Y (подмножество множества X). x↑a (x↓a) – x стремится к a возрастая (убывая). σ-алгебра множеств – система множеств, замкнутая относительно операции дополнения и операции пересечения счетного числа множеств. Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами. Борелевская (борелева) σ-алгебра – наименьшая σ-алгебра множеств топологического пространства, порожденная открытыми множествами. В n-мерном евклидовом пространстве Rn борелевская σ-алгебра совпадает с наименьшей σ-алгеброй, порожденной полуоткрытыми справа параллелепипедами: {x: a1 ≤ x1 < b1,…, an ≤ xn < bn}, где x = (x1,…, xn) и –∞ ≤ ai < bi ≤ + ∞. Борелева σ-алгебра замкнута относительно операций дополнения и пересечения счетного числа и замкнутых, и открытых множеств. Измеримое пространство – пара (X, F ) – пространство X с введенной в нем σ-алгеброй F. Для обозначения σ-алгебры употребляется курсив или готический шрифт. Иногда, чтобы указать, на каком пространстве введена σ-алгебра, пишут FX или F(X). Фазовое пространство – измеримое пространство (X, F) называется фазовым, если σ-алгебра FX содержит все подмножества X,
состоящие из одной точки. В физике точки фазового пространства обычно называют состояниями, в теории вероятностей – элементарными событиями. Измеримая функция – отображение f: X → Y измеримого пространства (X, FX) на измеримое пространство (Y, GY) называется (FX, GY )-измеримым (измеримым относительно пары (FX, GY)), если прообраз любого множества из σ-алгебры GY принадлежит σ-алгебре FX: (∀G∈GY) (∃A∈FX): f –1(G) = A. Когда ясно, о каких σ-алгебрах идет речь, функция f: X → Y называется FX-измеримой или просто измеримой. Борелевское отображение – для топологических пространств (X, BX) и (Y, BY) с борелевскими σ-алгебрами BX, BY отображение f: X→Y называется борелевским, если оно (BX, BY)-измеримо, т. е.: (∀ B ∈ BY) (∃ A ∈ BX): f –1(B) = A. Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина Пространство с мерой – тройка (X, F, μ) – измеримое пространство (X, F ) с заданной на множествах A∈FX неотрицательной счетно-аддитивной функцией – мерой μ (A). ( ) ( ) f x dx fd μ ≡ μ ∫ ∫ – интеграл Лебега от функции f(x) по мере X X μ пространства (X, F, μ). Вероятностное пространство – тройка (Ω, A, P) – измеримое пространство (Ω, A) с заданной на σ-алгебре A счетно-аддитивной мерой P(A), нормированной на 1 (P(Ω)=1). Элементы A σ-алгебры A называются (случайными) событиями. P(A) – вероятность события A. (mod P) – равенство выполнено с вероятностью P = 1 (или выполнено почти наверное). Случайная величина (с.в.) ξ – измеримое отображение ξ:Ω → X измеримого пространства (Ω, A) на измеримое пространство (X, B).