Дополнительные главы теории колебаний

Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики 
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 
Саровский физико-технический институт 
 
 
 
 
 
Н. Н. Веричев, С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев 
 
 
 
 
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ  
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2018 

 
УДК 534.1 
ББК 22.213 
В 32 
 
 
В 32 
Веричев, Н. Н., Герасимов, С. И., Ерофеев, В. И. Дополнительные главы теории колебаний / Н. Н. Веричев, С. И. Герасимов, 
В. И. Ерофеев. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2018. – 338 с., ил. 
 
ISBN 978-5-9515-0394-7 
 
Исследуются современные проблемы нелинейной динамики, возникающие в контексте динамического хаоса. Особое внимание уделяется синхронизации систем с хаотической динамикой – хаотической синхронизации: ее истории, 
свойствам и перспективам приложений. Рассматриваются: 
задачи устойчивости хаотической синхронизации в решетках 
различной геометрической размерности, составленных из идентичных и неидентичных динамических систем (осцилляторов); задачи, связанные с развитием динамического хаоса  
в системах с цилиндрическим фазовым пространством; задачи существования и устойчивости динамических структур  
в решетках, возникающих вследствие самоорганизации 
групповых (кластерных) осцилляторов, представляющих 
групповые субъекты синхронизации. Решаются задачи о числе 
и типах кластерных структур в зависимости от размеров  
и геометрии решеток.  
Материал изложен в традициях Нижегородской (Горьковской) школы теории колебаний А. А. Андронова: на «языке» фазового пространства математических моделей с широким применением аналитических, качественно-численных 
методов, методов качественной теории дифференциальных 
уравнений и теории бифуркаций.  
Издание предназначено для студентов вузов и аспирантов, специализирующихся в области нелинейной динамики,  
а также специалистов в различных областях машиностроения. 
 
УДК 534.1 
ББК 22.213 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0394-7                            © Веричев Н. Н., Герасимов С. И., 
Ерофеев В. И., 2018 
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ………………………………………………………
5
Глава 1. ОСЦИЛЛЯТОРЫ И РОТАТОРЫ  
С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ …………………………..
12
1.1. Осцилляторы с хаотической динамикой ……………….
12
1.2. Синхронизация и хаотические вращения  
неавтономного ротатора …………………………………......
22
1.3. Динамика ротатора с апериодическим звеном ………...
44
1.4. Хаотическая динамика неавтономного ротатора  
с апериодической нагрузкой ………………………………...
56
1.5. Хаотическая динамика системы  
«ротатор – осциллятор» ………………………………………
73
1.6. Динамика связанных ротаторов …………………….….
96
Глава 2. ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ 
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ …................................................ 110
2.1. Хаотическая синхронизация параметрически  
возбуждаемых осцилляторов. Общее определение  
синхронизации …...................................................................... 110
2.2. Взаимная и принудительная хаотическая  
синхронизация идентичных систем ………………………… 120
2.3. Асимптотическая теория взаимной хаотической  
синхронизации слабо неидентичных систем ………………. 131
2.4. Взаимная синхронизация сильно неидентичных  
систем ………………………………………………………… 139
2.5. Принудительная синхронизация хаотических  
колебаний …………………………………………………….. 145
2.6. Формирование сигналов с заданным законом  
модуляции хаотической несущей и передача информации …. 153
Глава 3. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ОДНОРОДНЫХ  
И НЕОДНОРОДНЫХ РЕШЕТКАХ …………..…………..….. 158
3.1. Синхронизация в решетках динамических систем.  
Общие сведения ……………………………………………… 160

Оглавление 
4
3.2. Пространственно однородные автоволновые  
процессы – глобальная синхронизация в системах  
с переносом и диффузией …………………………………… 172
3.3. Синхронизация вращений в цепочке и кольце  
диффузионно-связанных автономных и неавтономных  
ротаторов ………………………............................................... 179
3.4. Регулярная и хаотическая синхронизация  
в однородной цепочке динамических систем  
«ротатор – осциллятор» ………………………....................... 189
3.5. Синхронизация осцилляторов в неоднородной  
цепочке и кольце с диффузией ………………………........... 196
3.6. Динамика потоковой однородной и неоднородной  
цепочки ……………………….................................................. 209
Глава 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ, СИНТЕЗ  
И УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАСТЕРНЫХ СТРУКТУР  
В РЕШЕТКАХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ …………..…………..…… 227
4.1. Физика кластерных структур …………………………... 228
4.2. Синтез и общие свойства схем 
кластерных структур ………………………………................ 243
4.3. К-осцилляторы цепочки и полнота типов  
ее кластерных структур …........................................................ 253
4.4. К-осцилляторы и кластерные структуры кольца ……… 266
4.5. К-осцилляторы, простые клетки и кластерные  
структуры в двумерных решетках ………………………….. 279
4.6. Устойчивость кластерных структур …………………… 292
Приложение I. Алгоритмы преобразования систем  
связанных ротаторов к стандартной форме …………………. 306
Приложение II. Вычисление собственных  
значений матриц ………………………………………………… 319
Список литературы ……………………………………………... 322
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
История научного познания явления синхронизации начинается с 1665 г., со знаменитого опыта Х. Гюйгенса с часами, висящими 
на одной балке. Наблюдая за ходом настенных часов, расположенных на балке, Гюйгенс заметил необычайную согласованность 
ритма их движения, тогда как без общей балки согласованность 
хода часов исчезала. Он сделал верный вывод о том, что причиной 
этого была балка, игравшая роль связующего, приводившая к взаимодействию объектов и, как следствие, к согласованности их движений. К сожалению, неизвестно, догадывался ли гениальный ученый и изобретатель (в числе его многочисленных изобретений – 
маятниковые часы со спусковым механизмом, 1657 г.) о глобальности наблюдаемого им явления и его определяющей роли в живой  
и неживой природе.  
Следующий реперный случай из истории синхронизации – захват колебаний органной трубы колебаниями камертона (принудительная синхронизация), который наблюдал Д. Рэлей (1878), позже 
построивший теорию звука (The Theory of Sound, 1878).  
Систематический характер экспериментальные исследования 
синхронизации приобретают только в начале XX века в связи  
со становлением и бурным развитием новых областей инженерных 
знаний – радиотехники и радиолокации.    
Первой экспериментальной работой по синхронизации радиотехнических генераторов является работа Эпплтона (E. V. Аpplton). В 
1922 г., исследуя воздействие периодической ЭДС на ламповый 
генератор, Эпплтон обнаружил принудительную синхронизацию 
колебаний этого генератора. С тех пор радиотехнические генераторы 
являются чрезвычайно удобным инструментом экспериментальных 
исследований и средством продемонстрировать не только явление 
синхронизации, но и общие свойства динамических систем.  
Отсутствие в начале XX века адекватного математического аппарата не позволило обобщить многочисленные экспериментальные факты в виде математических моделей, аналитически их исследовать и объяснить. Поэтому суть синхронизации как сугубо 
нелинейного явления длительное время считалась terra incognita.  

Предисловие 
6
В отношении синхронизации (и нелинейной физики в целом) 
революционным событием явилось создание качественной теории 
дифференциальных уравнений А. Пуанкаре [1] и теории устойчивости движения А. М. Ляпуновым [2]. Совокупность этих теорий 
послужила основой для развития всей современной нелинейной 
динамики, включая теорию синхронизации.  
Аналитические исследования синхронизации периодических 
колебаний берут начало с пионерских работ Ван-дер-Поля (1927) [3], 
А. А. Андронова и А. А. Витта (1930) [4]. Ван-дер-Поль сформулировал задачу принудительной синхронизации радиотехнического 
генератора в виде неавтономного нелинейного дифференциального 
уравнения второго порядка, известного теперь под именем автора  
и ставшим одним из канонических уравнений нелинейной динамики. Ван-дер-Поль предложил также оригинальный метод исследования уравнения, мотивируя свои действия (усреднение) лишь физическими соображениями о разномасштабности (по малому параметру) изменения переменных – амплитуды и фазы колебаний. 
Длительное время этот метод и его результаты рассматривались  
в лучшем случае как «приближенные», «инженерные». Таковыми 
считали их А. А. Андронов и А. А. Витт, предложившие решение 
задачи на основе метода Пуанкаре, в более общей постановке,  
с математически строгим обоснованием всех «деталей» исследования. Удивительным тогда оказалось то, что в частном случае кубичной нелинейности (нелинейность Ван-дер-Поля) результаты 
этих двух работ совпали. В настоящее время, когда уже давно известно о смысле процедур усреднения, интуитивно проводимых 
Ван-дер-Полем, остается только удивляться его гениальной находке. 
Далее по значимости и хронологии идут работы Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси [5], К. Ф. Теодорчика [6, 7], W. V. Lyon  
и H. E. Edgerton [8], Гольдштейна Л. Д. [9] и других авторов. Исключительный вклад в теорию синхронизации различных систем 
внесен сотрудниками и учениками А. А. Андронова: А. А. Виттом, 
С. Э. Хайкиным, Н. А. Железцовым [10, 11], А. Г. Майером [12], 
Н. Н. Баутиным, Е. А. Леонтович [13], Ю. И. Неймарком [14],  
Н. В. Бутениным, Н. А. Фуфаевым [15] и последующими поколениями этой научной школы.  
Определяющим событием в развитии теории динамических  
систем, и в частности теории синхронизации, явилось открытие  

Предисловие 
7
Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым метода усреднения (1934) [16]. 
Как совокупность теорем и алгоритмов, этот метод не только обосновал процедуру Ван-дер-Поля (побочный результат), но и положил начало целому направлению исследований инвариантных многообразий динамических систем, имеющих непосредственное отношение к теории синхронизации [17 – 20].  
Исключительная эффективность метода усреднения, а также 
его связь с методом точечных отображений вместе с простотой интерпретации результатов явились причиной массового появления 
работ, касающихся различных аспектов синхронизации периодических колебаний. Значительный вклад в теорию синхронизации систем с непосредственными связями, а также ее практическое приложение внесли работы Н. Н. Моисеева [21], И. И. Блехмана [22, 23], 
Р. В. Хохлова [24], Г. М. Уткина [25], П. С. Ланда [26], Л. В. Постникова и В. И. Королева [27], В. В. Мигулина [28], И. И. Минаковой [29], Ю. М. Романовского [30], М. Ф. Диментберга [31], 
L. Cesari [32], N. Levinson [33] и многих других.  
Что касается непосредственно связанных с синхронизацией 
аналитических исследований нелокальных бифуркаций разрушения 
инвариантных торов и образования на этой базе хаотических аттракторов, то основополагающими в этой области являются работы 
Нижегородской математической школы Л. П. Шильникова [34 – 36].  
Вышесказанное относилось к случаю синхронизации непосредственно связанных динамических систем.  
Одновременно с началом исследований синхронизации непосредственно связанных генераторов в области радиосвязи возникло 
новое направление: системы автоматической подстройки частоты 
одного источника (подстраиваемого генератора) под частоту другого («эталонного» генератора) – системы ЧАП – и того же смысла 
системы автоподстройки фазы – системы ФАП. Вместе они получили название систем фазовой синхронизации – СФС.  
Первая система ФАП частоты была предложена Б. П. Терентьевым в 1930 г. [37], а теория этих систем берет начало с работ де Бельсиза [38], F. Tricomi [39], C. Travis [40]. 
В настоящее время без СФС не обходится ни одно из средств 
телерадиосвязи, как и ни одно из средств дистанционного управления сложными техническими системами. Современным состоянием 
техника СФС обязана работам большого коллектива отечественных 

Предисловие 
8
и зарубежных исследователей: библиография огромна, с большой 
ее частью можно познакомиться в монографиях [41 – 44]. 
Для теории колебаний как научной дисциплины, исследующей 
динамику общих для различных областей естествознания математических моделей, важно, что модели СФС одновременно являются 
математическими моделями большого числа физических систем. 
Эти модели будут являться предметом изучения данной монографии – динамические системы фазового или, по-другому говоря, 
маятникового типа:  








1
2
1
,
, , ,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j
j
I
f
f
F







x x




 


, , ,
,



x
Ax
X x



                             (П1) 
0.


 
Здесь ,
1, ,
i j
n

 
,
i
S

 
,
S

 
;
m
R

x
 I, 
,
i
i

 – постоянные параметры, 


m
m


A
 – постоянная Гурвицева (устойчивая) матрица; 
,
i
F X  – функции связей. Все функции, входящие в (П1) периодичны по фазовым переменным. Система задана в тороидальном 
фазовом пространстве 


1
,
,
,
.
n
n m
G
T
R





x


 
В ряду физических систем, имеющих математические модели 
из класса (П1), находятся автономные и неавтономные системы 
связанных сверхпроводящих джозефсоновских переходов (контактов) [45, 46]; системы связанных маятников Фруда [47]; связанные 
электрические машины [13, 48, 49]; вибрационные механизмы различного назначения [22, 50 – 52]; несбалансированные, податливые  
на изгиб и кручение валы [50, 53, 54] и многие другие системы. Уравнения вида (П1) будем называть системами связанных ротаторов. 
Разработка новых и адаптация уже имеющихся методов для 
исследования конкретных динамических систем является самостоятельной и одной из главных задач теории колебаний. Надо сказать, что первостепенность этой задачи была определена А. А. Андроновым еще в начале создания теории колебаний как нового 
научного направления. Что касается систем класса (П1), то аналитические и качественно-численные методы наиболее развиты для 
исследования ограниченных движений маятниковых систем. Они 
разработаны главным образом для решения задач СФС, задач авто

Предисловие 
9
матического регулирования и отражены в работах А. И. Лурье [55], 
Е. А. Барбашина, 
Н. Н. Красовского, 
В. А. Табуевой 
[56, 57],  
В. М. Попова [58], В. А. Якубовича, А. Х. Гелига, Г. А. Леонова [42, 
59, 60], В. В. Шахгильдяна [41, 61], Ю. Н. Бакаева [62], В. Н. Белых, В. И. Некоркина [42, 63 – 65], В. П. Пономаренко, В. Д. Шалфеева, Л. А. Белюстиной [42, 65, 66] и других авторов. В данной 
монографии будет предложена адаптации метода усреднения для 
эффективного исследования синхронизации, динамического хаоса  
в классе вращательных движений систем связанных ротаторов.  
Открытие в 1983 г. синхронизации хаотических колебаний для 
идентичных (Yamada T. and Fujisaka H. [67]) и, независимо в 1986 г., 
для неидентичных автоколебательных систем с хаотической динамикой (В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович [68])  
в немалой степени изменило имевшиеся представления о явлении 
синхронизации. В отличие от классической синхронизации (периодических колебаний), в силу своей распространенности и привычности кажущейся почти очевидной, хаотическая синхронизация, 
напротив, казалась маловероятной и даже невозможной. Причина 
этого – сложившееся в то время убеждение, что взаимодействие 
внутренне неустойчивых систем может порождать только лишь 
усиление неустойчивости связанной системы. Однако оказалось, 
что это не совсем так: в результате «взаимодействия странных 
аттракторов» может рождаться новый странный аттрактор (образ 
синхронизации) – такой, что движения отдельных систем, оставаясь хаотическими, становятся синхронизованными при движении 
связанной системы на этом аттракторе. В порядке исследования 
хаотической синхронизации (1985 г.) стало ясно, что само определение синхронизации, сводимое до этого к соизмеримости частот, 
нуждается в обновлении. Уже тогда было ясно и то, что уникальная 
по своим свойствам хаотическая синхронизация, которая может 
быть реализована при помощи простых технических решений  
(в частности, радиотехнических схем), найдет самое широкое применение, что и подтвердилось со временем.  
Одна из областей применения хаотической синхронизации – 
современные информационные технологии. Первые эксперименты 
по передаче информации на основе хаотической синхронизации были 
проведены А. С. Дмитриевым, А. И. Панасом и С. О. Старковым [69]; 
L. Kocarev, K. S. Halle, K. Eckert, L. Chua, U. Parlitz [70]; H. Dedieu,