Методы расчёта строительных конструкций: теория и задачи с реализацией в программном комплексе Scilab

МЕТОДЫ РАСЧЁТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ
 КОНСТРУКЦИЙ

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ С РЕАЛИЗАЦИЕЙ 
В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ SCILAB

Б.А. ТУХФАТУЛЛИН
A.M. ЧЕРНЯК

Рекомендовано 
Учебно-методическим советом ВО 
в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по укрупненной группе специальностей 
08.00.00 «Техника и технологии строительства»

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
Т91

Тухфатуллин Б.А.
Т91 
 
Методы расчёта строительных конструкций: теория и задачи с реализацией в программном комплексе Scilab : учебное пособие / Б.А. Тухфатуллин, A.M. Черняк. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 124 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-014735-2 (print)
ISBN 978-5-16-107239-4 (online)
В учебном пособии рассмотрены основные положения метода конечных элементов для расчета плоских стержневых систем, элементы которых 
работают на растяжение-сжатие и изгиб. Приведены тексты программ, 
реализующие изложенные в пособии алгоритмы в открытой среде разработки прикладных программ для инженерных и научных расчетов Scilab.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для бакалавров профилей подготовки: «Промышленное и гражданское строительство», «Инженерно-сметная деятельность 
в строительстве», для студентов специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений» специализации «Строительство высотных 
и большепролетных зданий и сооружений», а также магистрантов программы «Конструктивные расчеты в SCAD Office и информационное моделирование конструкций зданий и сооружений (BIM)».

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73

Р е ц е н з е н т ы:
Малёткин О.Ю., кандидат технических наук, главный инженер 
проектов ООО «ПКБ ТДСК»;
Путеева Л.Е., кандидат технических наук, доцент кафедры «Строительная механика» Томского государственного архитектурно-строительного университета

ISBN 978-5-16-014735-2 (print)
ISBN 978-5-16-107239-4 (online)
© Тухфатуллин Б.А., Черняк A.M., 
2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................... ..4 
1. Расчёт стержня, работающего на растяжение-сжатие...... ..7 

1.1. Матрица жёсткости КЭ постоянного сечения................ ..7 
1.2. Примеры расчёта.............................................................. ..9 
1.3. Матрица жёсткости КЭ линейно-переменного
по длине сечения......................................................................25 
1.4. Пример расчёта. Анализ результатов...............................28 
1.5. Расчёты стержней постоянного и переменного
сечения в программном комплексе Scilab ..............................32 

2. Расчёт балок постоянного и переменного сечения ............42 

2.1. Матрица жёсткости изгибаемого стержня.......................42 
2.2. Пример расчёта .................................................................50 
2.3. Учёт внеузловой нагрузки ................................................55 
2.4. Пример расчёта двухпролётной балки .............................59 
2.5. Расчёт балки в программном комплексе Scilab ...............67 

3. Расчёт плоских стержневых систем..........................................72 

3.1. Матрицы жёсткости стержней, работающих
на растяжение-сжатие и изгиб ................................................72 
3.2. Матрицы направляющих косинусов ................................75 
3.3. Примеры расчёта...............................................................79 
3.4. Scilab-программа для расчёта плоских стержневых
систем по МКЭ.......................................................................106 

4. Словарь терминов и определений МКЭ............................119 
5. Заключение............................................................................122 
Библиографический список....................................................123 

ВВЕДЕНИЕ

Метод конечных элементов (МКЭ) предназначен для ав
томатизированного расчёта конструкций [1, 3 − 6]. МКЭ первоначально появился в строительной механике в начале пятидесятых годов ХХ века; в последующие десятилетия метод развивался, получил широкое распространение, и начал применяться
не только для расчёта конструкций, но и для решения задач математической физики. 

МКЭ основан на дискретизации исходной схемы, т. е. ус
ловном расчленении её на конечные элементы (КЭ), взаимодействующих между собой в узловых точках или просто узлах. 
Дискретная схема представляет собой набор конечных элементов (КЭ). В МКЭ набор КЭ называют ансамблем, моделирующим геометрию конструкции. Замена исходной конструкции
совокупностью дискретных элементов подразумевает равенство
энергий конструкции и её дискретной модели. 

Для стержневых конструкций, которые уже состоят из от
дельных элементов с дискретным сочленением их между собой, 
дискретная модель адекватна исходной конструкции. Соблюдение энергетического баланса ведет к получению дискретной модели, точно описывающей поведение исходной конструкции. 
Это значит, что расчёт стержневых систем по МКЭ даёт точный
результат. 

В континуальных конструкциях типа панелей, пластин, 

оболочек
и
т. п. 
КЭ
являются
также
континуальными

и в реальной конструкции сопрягаются со смежными элементами непрерывно по линии контакта. При построении дискретной
модели мы вынуждены делать некоторые предположения о характере силового и кинематического взаимодействия между
смежными элементами. В этом случае дискретная модель будет
лишь приближенно отражать поведение исходной конструкции. 
Характер взаимодействия между элементами должен быть вы

бран таким, чтобы уменьшение размеров КЭ приводило к решению, стремящемуся к точному значению. 

При выполнении условий сопряжения КЭ в узлах возмож
ны три варианта. В первом варианте за неизвестные принимают
перемещения в узлах, а для их определения используют уравнения равновесия узлов. Это вариант МКЭ в форме метода перемещений. Во втором варианте за неизвестные принимаются усилия, для определения которых используются условия неразрывности деформаций и перемещений в узлах. Это вариант МКЭ
в форме метода сил. В третьем варианте за неизвестные принимают как перемещения, так и усилия КЭ в узлах, а для их определения используют уравнения равновесия и условия неразрывности деформаций и перемещений. Такой вариант приводит
к МКЭ в смешанной форме. 

Наибольшее распространение получил МКЭ в форме ме
тода перемещений. Этот вариант и будет рассматриваться в данном учебном пособии. В каждом узле дискретной схемы может
быть как одно, так и несколько неизвестных перемещений. Каждое неизвестное перемещение в МКЭ называют степенью свободы. Если в каждом узле m степеней свободы, а дискретная
модель конструкции имеет n узлов, то общее число степеней
свободы всей системы равно
n
m
s
⋅
=
, для отыскания которых

следует составить s уравнений равновесия. 

Количество степеней свободы в узле зависит от мерности

пространства (одно-, двух-, трех) КЭ и вида деформации конструкции при внешнем воздействии. Например, в стержне, подверженном продольной деформации, в каждом узле дискретизации имеется только одна степень свободы – перемещение вдоль
оси стержня, а в узле изгибаемой пластины три степени свободы – прогиб и два угла поворота. 

Составление уравнений равновесия узлов в автоматизиро
ванном режиме проводится поэлементным способом, для реализации которого необходимо знать усилия, возникающие в уз

лах КЭ от их принудительных смещений по направлениям степеней свободы. Связь между усилиями в узлах КЭ и перемещениями его узлов выражается матрицей жёсткости КЭ. В соответствующих разделах пособия приведены матрицы жёсткости
для простейших случаев продольной и изгибной деформации
стержня, в том числе с переменными вдоль длины элемента размерами поперечного сечения. 

В каждом разделе учебного пособия решён ряд примеров, 

иллюстрирующих основные этапы МКЭ при расчёте плоских
стержневых систем, работающих на растяжение-сжатие и (или) 
изгиб. Даже из рассмотрения этих элементарных с точки зрения
практики примеров очевидно, что МКЭ совершенно не предназначен для «ручных» расчётов и при небольшом количестве неизвестных проигрывает классическим методам строительной
механики. Все преимущества МКЭ проявляются в случае его
программной реализации, где в настоящее время ему нет альтернативы. 

В первую очередь по этой причине каждый раздел пособия

завершается параграфом, в котором изложенные алгоритмы
МКЭ реализованы в программной среде Scilab [2]. Scilab – бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом
для численного решения различных инженерных и научных задач. Загрузить дистрибутив программной среды Scilab можно
непосредственно с сайта разработчиков по адресу: 

– https://www.scilab.org/en/download/6.0.1. 
Scilab имеет встроенный язык программирования высоко
го уровня, а так же большое число функций для решения задач
линейной алгебры, математической статистики, оптимизации, 
моделирования систем в различных областях инженерного анализа. Инструкции по работе в Scilab можно найти по адресам: 

– https://www.scilab.org/en/resources/documentation/tutorials; 
– http://www.openeering.com/scilab_tutorials. 

1. РАСЧЁТ СТЕРЖНЯ, РАБОТАЮЩЕГО

НА РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

1.1. Матрица жёсткости КЭ постоянного сечения

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, 

подверженного растяжению-сжатию. Выделим из стержня КЭ
длиной
.l
Пусть ось КЭ совпадает с координатной осью
,x

а начальное и конечное сечение имеют индексы «н» и «к» соответственно (рис. 1.1, а). 

Рис. 1.1 

Деформации растяжения-сжатия КЭ соответствуют про
дольные перемещения Z сечений «н» и «к», положительные
направления которых совпадают с направлением оси
.x Прину
дительные перемещения Z сечений «н» и «к» приводят к возникновению в этих сечениях сил r , положительное направление которых показано на рис. 1.1, б. Усилия r имеют два индекса: первый указывает сечение, в котором возникает сила; 
второй индекс – сечение, к которому приложено перемещение. 

Установим связь между перемещениями Z и усилиями r

в сечениях «н» и «к» КЭ. Зададим сечению «н» принудительное

а
б

в
г

y

l

н

x

к
нr
н
Z
кr
к
Z

l

н
Z

нн
r
кн
r

к
Z

нк
r

кк
r

l

перемещение
;
н
Z
сечение «к» при этом остаётся неподвижным

(рис. 1, в). Следовательно, перемещение
н
Z
является продоль
ной деформацией стержня l , которая связана с внешней нагрузкой формулой сопротивления материалов

ЕА
Fl
l =
Δ
или
.l
l
Δ
=
= ЕА
F
                       (1.1) 

В нашем случае
,
нн
r
F =
а
.
н
Z
=
Δl
Тогда из (1.1) 

.
н
нн
Z
ЕА
r
l
=
                                     (1.2) 

Из условий равновесия очевидно, что

.
н
нн
кн
Z
ЕА
r
r
l
−
=
−
=
                              (1.3) 

Если задать принудительное перемещение
н
Z
сечению «к» 

(рис. 1, г), то аналогично предыдущему случаю получим: 

к
кк
Z
ЕА
r
l
=
,                                     (1.4) 

к
кк
нк
Z
ЕА
r
r
l
−
=
−
=
.                            (1.5) 

Введём для перемещений и для усилий соответствующие

векторы: 

[
] ,

Т

к
н
Z
Z
Z =
[
] .

Т

к
н
r
r
r =
                     (1.6) 

Здесь верхний индекс «т» обозначает транспонирование. 

На основании формул (1.2) – (1.5) векторы усилий и перемещений связаны следующим образом

,

к

н

кк
кн

нк
нн

к

н
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥
⎥
⎥

⎦

⎤

⎢
⎢
⎢

⎣

⎡

−

−

=
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡
=
⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡
=
Z

Z

ЕА
ЕА

ЕА
ЕА

r
r

r
r

r

r
r

l
l

l
l
        (1.7) 

или
.
Z
r
r

r

⋅
=
Здесь r  – матрица жёсткости стержня постоян
ного сечения, работающего на растяжение-сжатие

.

⎥
⎥
⎥

⎦

⎤

⎢
⎢
⎢

⎣

⎡

−

−

=

l
l

l
l

ЕА
ЕА

ЕА
ЕА

r
                                  (1.8) 

В (1.8) каждый элемент r имеет смысл силы в узле i от

единичного принудительного перемещения узла
.j
Обращаем

внимание читателя на различие знаков для усилий, принятых
в МКЭ и строительной механике. Чтобы установить соотношение знаков, рассмотрим равновесие части КЭ (рис. 1.2). 

Рис. 1.2 

Из равновесия левой части КЭ

.
нr
N
−
=
                                         (1.9) 

Из равновесия правой части

.
кr
N =
                                     (1.10) 

Полученная матрица жёсткости (1.8) может использовать
ся для расчёта стержневых конструкций, в которой стержни
подвергаются только растяжению-сжатию. Соотношения (1.9) 
и (1.10) используются для определения внутренних сил N в КЭ
при известных силах r в узлах. 

1.2. Примеры расчёта

Пример 1.1. Требуется определить с помощью МКЭ внут
ренние силы, деформации и перемещения в стержне (рис. 1.3, а). 
Данные для расчёта: 
м;
0,1
=
a
м;
8,0
=
b
м;
5,0
=
c
const.
=
E

Для решения задачи по МКЭ используем рассмотренный

выше КЭ. Стержень имеет три участка с постоянной жёсткостью на каждом. Назначим для расчёта четыре узла 1, 2, 3, 4 

нr
N
N
кr

и три КЭ: 1, 2, 3 (рис. 1.3, б). Под действием силы F элементы
будут деформироваться, и узлы получат продольные перемещения
,
1
Z
,
2
Z
 
,
3
Z
.
4
Z

Для отыскания неизвестных следует составить четыре

уравнения равновесия сил в узлах. Обращаем внимание на то, 
что порядок системы уравнений равновесия равен числу степеней свободы дискретной модели конструкции и может быть определён сразу после дискретизации. Поэтому в автоматизированном варианте МКЭ составляется полная система уравнений
равновесия, не обращая внимания на опорные связи. Учёт последних производится внесением корректив в систему уравнений. Составление системы уравнений проводится одновременно
для матрицы коэффициентов при неизвестных, которую называют матрицей жёсткости всей конструкции и обозначают
,
R

и для вектора свободных членов, который обозначают
.
F

Рис. 1.3. 

Один из способов формирования матрицы R поэлемент
ный. Суть этого способа в том, что матрица R формируется не
по строкам или столбцам, а по всему полю сразу. Последовательно просматриваются КЭ ансамбля, и матрица жёсткости

а

б

F

A
3

x

a
b
c

A
2
A

1

x

1
2
3

2
3
4

элемента r разносится в ячейки матрицы жёсткости всей конструкции
.
R Завершив просмотр всех КЭ, заканчиваем форми
рование матрицы
.
R

Для определения ячейки матрицы
,
R
в которую следует

поместить элемент матрицы КЭ
,r
руководствуются следую
щим. Каждому неизвестному перемещению Z соответствует i -я
строка, i -й столбец и ii -я ячейка на главной диагонали матрицы
.
R
Далее устанавливается соответствие между глобальной

(для всей конструкции) и местной (для данного КЭ) нумерациями перемещений. Затем последовательно берутся элементы из
матрицы r и вносятся в соответствующие ячейки матрицы
.
R

Причём, элементы с главной диагонали r вносятся в ячейки на
главной диагонали
,
R
а с побочной – в побочную ячейку

в матрице
.
R

Применим изложенный способ для формирования матри
цы
.
R Для определенности будем считать, что в КЭ начало «н» 

примыкает к узлу с меньшим номером, а конец «к» – к узлу
с большим номером. 

КЭ № 1. Матрица жёсткости
)
1
(r
имеет вид

.
)
1(

кк

)
1
(
кн

)
1(

нк

)
1
(
нн
)
1(
⎥
⎦

⎤

⎢
⎣

⎡
=

r
r

r
r
r
                                  (1.11) 

Начало КЭ № 1 примыкает к узлу № 1, а конец – к узлу

№ 2. Поэтому разносим элементы матрицы r
в следующие

ячейки матрицы
:
R

)1
(
нн
r
 – в ячейку на главной диагонали узла № 1; 

)1
(
кк
r
 – в ячейку на главной диагонали узла № 2; 

)1
(
нк
r
 – в ячейку на пересечении 1-й строки и 2-го столбца; 

)1
(
кн
r
 – в ячейку на пересечении 2-й строки и 1-го столбца. 

КЭ № 2. Начало этого элемента находится в узле № 2, 

а конец – в узле № 3. Поэтому его матрица жёсткости