Высшая математика. Разделы : кратные интегралы, векторный анализ, ряды, элементы комплексного анализа

Кафедра высшей математики 

Кашапов И.А., Кашапова Р.Ф., Орлов М.И., Софиева В.Ф. 

Одобрено  
методическим  
советом института 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИА 

Разделы: кратные интегралы, векторный анализ, ряды, элементы 
комплексного анализа 

Учебное пособие 
для практических занятий студентов специальностей 200100 и 200200 и 
направлений 553100, 551600, 550700 

№ 1522 

МОСКВА, 1999 

АННОТАЦИЯ 

Настоящее издание представляет собой сборник задач по курсу «Высшая 
математика» для студентов второго курса факультета ПМП. Эти задачи 
предназначены для разбора практических занятий в третьем семестре, а 
также для самостоятельного решения. 

Методическое пособие поможет студентам второго курса познакомиться 
и освоить основы специальных разделов высшей математики, являющихся 
фундаментом математического аппарата математической и теоретической 
физики. Представленное пособие восполняет собой пробел в имеющейся 
учебно-методической и теоретической литературе по указанным разделам 
математики и может оказаться полезным также и преподавателям 
математики, ведущим практические занятия в группах факультета ПМП. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 1999 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
4 

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙАНАЛИЗ .. 5 

1.1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
5 

1.1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых 
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 

1.1.2. Замена переменных в двойном интеграле . . . . . . . . . . . . .  9 
1.1.3. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
12 

1.2. Поверхностные и тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . .  16 

1.2.1. Поверхностный интеграл I рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16 
1.2.2. Поверхностный интеграл II рода. Теорема Стокса . . . . . .  21 
1.2.3. Тройной интеграл. Теорема Остроградского-Гаусса . . . . .  30 
1.2.4. Физические приложения поверхностных и тройных 
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
37 

1.3. Пространственные и плоские векторные поля . . . . . . .  40 

2. РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
46 

2.1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
46 

2.1.1. Необходимый признак сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . .  47 
2.1.2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов . . . . . 47 

2.1.2.1. Ряды с неотрицательными членами . . . . . . . . . . .  47 
2.1.2.2. Ряды с произвольными членами . . . . . . . . . . . . .  56 

2.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  59 

2.2.1. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
59 

2.2.2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость . . . . . . .  63 
2.2.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
70 

3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА . . . . . . . .  75 

3.1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  75 
3.2. Элементарные функции комплексного переменного .  77 
3.3. Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81 
3.4. Изолированные особые точки. Вычеты . . . . . . . . . . . .  
85 

3.5. Операционное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
93 

3.6. Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  104 
3.7. Комплексный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
108 

4. РЯДЫ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
112 

4.1. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
112 

4.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  120 

 
3

ВВЕДЕНИЕ 

Материал данного пособия соответствует программе, лекционному курсу, а также реальным временным затратам, необходимым для усвоения полученных на лекциях теоретических сведений, и для приобретения практических умений и навыков по специальным разделам курса «Высшая математика»: кратные интегралы, векторный анализ, числовые и функциональные 
ряды, элементы комплексного анализа, операционное исчисление, ряды 
Фурье. 

В течение 24 практических занятий третьего семестра изучаются следующие 4 темы: 

1)  кратные интегралы и векторный анализ /16 часов/; 
2)  числовые и функциональные ряды /8 часов/; 
3)  элементы комплексного анализа /24 часа/; 
4)  ряды Фурье /4 часа/. 

Предложенные для решения задачи сгруппированы по темам практических занятий, систематизированы внутри тем и снабжены примерами решения типовых стандартных задач, указаниями к их решению и необходимыми 
теоретическими сведениями. 

 
4 

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ 
АНАЛИЗ 

1.1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 

1.1.1. Вычисление интеграла в декартовых координатах 

Определение 1. Плоская фигура D называется элементарной относительно оси OX, если она ограничена снизу и сверху графиками непрерывных 
функций y = g(x)  и y = h(x), а слева и справа отрезками прямых  x = a и 
x = b. 

    Y                          Y                        Y                       Y 
                  h(x)                h(x)                         h(x)               h(x) 
           D                         D                       D                       D 

                  g(x)                g(x)                  g(x)                    g(x) 

0   a       b        X   0   a         b  X    0 a         b     X  0 a            b   X 

Тогда двойной интеграл 
вычисляется как повторный: 
f x y dxdy

D
( , )
∫∫

 
. 
f x y dy dx
g x

h x

a

b
( , )
( )

( )
∫
∫
⎛

⎝

⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟

Определение 2. Плоская фигура D называется элементарной относительно оси OY, если она ограничена слева и справа графиками непрерывных 
функций  x = p(y)  и x = q(y), а снизу и сверху отрезками прямых y = c и 
y = d. 

5 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Y                      Y                        Y                       Y 

d                       d                q(y)  d                       d 
            D      q(y)          D                       p(y)             p(y)    D 
     p(y)                  p(y)                                      q(y)                  q(y) 
c                        c                                        D 

 c                        c 

 0                  X    0                   X   0                  X   0                   X 

Тогда двойной интеграл 
 вычисляется как повторный 

. 

f x y dxdy
D
( , )
∫∫

(
)
f x y dx dy
p y

q y

c

d
,
( )

( )
∫
∫
⎛

⎝

⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟

Пример 1.1 

Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить двой
ной интеграл 
, если область D ограничена линиями x
x ydxdy
D

2
∫∫

2 + y2 = 2 

и y = x2 (y ≥ x2). 

Решение. 

1 способ.

Линии пересекаются в точках (1; 1) и 
(–1; 1). Линия x2 + y2 = 2 îãðàíèчивает 
круг. Парабола y = x2 делит его на две 
части. Неравенство y≥ x2 уточняет, что 
область D – верхняя часть круга. Область 
D ýëåìåíòàðна относительно оси OX: x∈[–

1;1], g(x) = x2, h x
x
( ) =
−
2
2 . 

Тогда 

 
6 

Y 

2

D 

–1   0       1       X 

1. Кратные интегралы и векторный анализ 

(
)
(
)

x ydxdy
dx
x ydy
x ydy dx
x y
dx

x
x
x
dx
x
x
x
dx

D
x

x

x

x

x

x
2
2
2
2
2
2

2
2
4

1

1
2
2
6

1

1

2

2

2

2
2

1

1

1

1

1

1
2

2

2

2

2
2
2
2
34
105

∫∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫

=
=
⎛

⎝

⎜
⎜⎜

⎞

⎠

⎟
⎟⎟
=
=

=
−
−
=
−
−
⎛

⎝
⎜⎜
⎞

⎠
⎟⎟
=

−

−
−
−

−
−

−
−

. 

2 способ.

Область D элементарна и относительно оси OY: 
[
]
y ∈ 0
2
,
, 

q y
y
y

y
y
( )
,
,

,
=
≤
≤

−
≤
≤

⎧
⎨⎪

⎩⎪

0
1

2
0
2
,  p(y)= –q(y). 
2

Тогда 

(
)
(
)
(
)

(
)

x ydxdy
dy
x ydx
x y
dy
x y
dy

y dy
y
y
dy
y
y
d
y

y

D
p y

q y

y

y

y

y
2
2
3

2
2

2
2
2
2

0

2
3

1
0

0

1
5
2
2
3
2

1

2
7
2

0

1

2
3
2
2

1

2

2
5
2

1

2

3
3

2
3
2
3
2
2
3
2
7
1
3 2
2

4
21
1
3
2
5 2
4
21
2
15
34
105

∫∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫

=
=
⎛

⎝

⎜
⎜⎜

⎞

⎠

⎟
⎟⎟
+

⎛

⎝

⎜
⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟
⎟
=

=
+
−
=
⋅
−
−
−
=

=
−
⋅
−
=
+
=

−
−
−

−

( )

( )

.

Задачи 

1.1. 
Расставить 
пределы 
интегрирования 
в 
двойном 
интеграле 

 двумя способами, если 
f x y dxdy
D
( , )
∫∫

а) область D – прямоугольник с вершинами О(0, 0), А(2, 0), В(2,1), С(0, 1); 
б) область D – треугольник с вершинами О(0, 0), А(1, 0), В(1, 1); 
в) область D – трапеция с вершинами О(0, 0), А(2, 0), В(1, 1), С(0, 1); 

7

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

г) область D – параллелограмм с вершинами А(1, 2), В(2, 4), С(2, 7), 
F(1, 5); 

д) область D – круг с центром в точке О(0, 0) и радиусом R = 1; 
е) область D – круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0, 0), у которого 
концы дуги АВ находятся в точках А(1, 1) и В(–1, 1); 

ж) область D – круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r = 
1 и R = 2 с общим центром О(0, 0); 

з) область D ограничена гиперболой 
 и окружностью 

  

y
x
2
2
1
−
=

y
x
2
2
9
−
=
(
)
. 
y
x
2
2
1
−
≤

1.2. Изменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах: 

а) 
; 
б) 
(
)
dx
f x y dy

x

x
,

3

12

0

4

2∫
∫
(
)
dx
f x y dy

x

x
,
2

3

0

1
∫
∫
; 
в) dy
f x y dx

y

y

0

1

1

1

2
∫
∫

−
−

−

( , )
; 

г) 
dy
f x y dx

y

y

0

2

2

3

2

2
∫
∫

−
( , )

/

; д) 
dx
f x y dy
a

a

ax x

ax

0

2

2

4

2
0
∫
∫

−

>
( , )
(
) . 

1.3. Вычислить следующие двойные интегралы: 

а) 
, где область D – треугольник с вершинами О(0, 0), А(1, 1), 

В(0, 1); 

xdxdy
D∫∫

б) 
, где область D ограничена прямой, проходящей через точки 

А(2, 0), В(0, 2), и меньшей дугой окружности радиуса 1 с центром в точке С(0, 1), отсекаемой этой прямой; 

xdxdy
D∫∫

в) 
e dxdy

x
y

D∫∫
, где область D – криволинейный треугольник, ограничен
ный параболой 
x  и прямыми х = 0 и у = 1; 
y2 =

 
8 

1. Кратные интегралы и векторный анализ 

г) 
xdxdy

x
y
D
2
2 , где область D – параболический сегмент, ограниченный 

параболой 

+
∫∫

y
x
=
2

2

 и прямой у = –х; 

1.1.2. Замена переменных в двойном интеграле 
(
)
Перейдем в двойном интеграле 
 от переменных х, у к пе
ременным u, v. 

f x y dxdy
D
,
∫∫

Пусть функции x = g(u, v) è y = h(u, v) îñóùåñòâëÿþò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå 
непрерывно дифференцируемое отображение области D на область D1. 
Якобиан перехода – 

(
)
(
)
J
x y
u v

u
x
u
y
v
x
v
y

=
=
∂
∂

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

,
,

. 

Тогда 

(
)
f x y dxdy
f g u v
h u v
J dudv
D
D
( , )
( , ), ( , )
= ∫∫
∫∫

1

. 
(1.1) 

Формулы перехода от декартовых координат (х, у) к полярным координатам (r, ϕ): 

x
r

y
r

=

=
⎧
⎨
⎩

cos

sin .

ϕ

ϕ

В этом случае якобиан перехода J = r. 

Пример 1.2 

Вычислить интеграл 
4
9
2
2
x
y dxdy
D
+
∫∫
, где область D задана нера
 
9

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

венствами 1
9
4
4
2
3
0
2
2
≤
+
≤
≤
≥
x
y
y
x
y
,
,
. 

Решение. 

Y                                               r 

4 

2                                                         2 

D                                       D1

X                         1 

0        π/4         ϕ 

Перейдем к новым координатам (r, ϕ): 
 

x
r
y
r
=
=
⎧
⎨
⎩

3
2
cos
sin .
ϕ
ϕ

Тогда прямая y
x
= 2
3

 имеет уравнение sinϕ = cosϕ, tgϕ = 1, а урав
нения эллипсов имеют  вид r = 1 и r = 2. 

Якобиан перехода J
r

r
r
=
−
=
3
3

2
2
6
cos
sin

sin
cos

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ
. 

4
9
36
6
36

36
12
12 7
21

2
2
2
2

2

1

2

0

4
3

0

4

1

2

0

4

1
1
x
y dxdy
r
rdrd
r drd

d
r dr
r
d
d

D
D
D
+
=
=
=

=
=
⋅
=

∫∫
∫∫
∫∫

∫
∫
∫
∫

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ
ϕ
π

π
π
π
/
/
/
.

Пример 1.3 

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми 

 
γ1: (х2 + у2)2 = 2(х2 – у2) и γ2: х2 + у2 = 2х. 

Решение. 

Перейдем к полярным координатам: 

 
10