Высшая математика. Раздел : теоретические основы тепловых процессов

 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ 
СТАЛИ И СПЛАВОВ 
Технологический университет 
 

ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ 

(филиал МИСиС) 

Кафедра высшей математики и информатики 

Т.В. Дудникова 
 
 

МОСКВА 2001

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Раздел: Теоретические основы тепловых процессов 
 
Учебное пособие  
 для студентов специальности 1106 

Рекомендовано  
редакционно-издательским советом института 
в качестве учебного пособия 

УДК 
517.9 
 
Д 81 
 
 
Пособие посвящено изложению методов математической 
физики для описания распространения тепла в материальных средах. 
Материал иллюстрируется достаточным количеством подробно 
решенных типовых задач. В конце каждой главы приведены задачи 
для самостоятельного решения с ответами. 
 
 
 
 
 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(технологический университет) 
(МИСиС) 2001 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ............................................................. 4 
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ .............................. 9 
2.1. Распространение тепла в стержне .................................................. 9 
2.2. Распространение тепла в среде .................................................... 11 
3. МЕТОД ФУРЬЕ .................................................................................... 14 
3.1. Идея метода Фурье ........................................................................ 14 
3.2. Задача Штурма – Лиувилля и ее решения ................................... 15 
3.3. Разложение по собственным функциям задачи Штурма –
 Лиувилля .............................................................................................. 19 
4. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ................... 22 
4.1. 
Случай 
однородного 
уравнения 
и 
однородных  
краевых условий ................................................................................... 22 
4.2. 
Распространение 
метода 
Фурье 
на  
неоднородные уравнения ..................................................................... 29 
4.3. Неоднородные краевые условия .................................................. 33 
5. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ......................................................................................... 37 
5.1. Пластина ......................................................................................... 37 
5.2. Цилиндр .......................................................................................... 42 
5.3. Шар ................................................................................................. 46 
6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ 
БЕСКОНЕЧНОГО СТЕРЖНЯ ........................................................... 48 
6.1. Бесконечный стержень .................................................................. 48 
6.2. Полубесконечный стержень ......................................................... 55 
7. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ............................. 59 
7.1. Оператор Лапласа в различных системах координат ................. 59 
7.2. Уравнение Лапласа в прямоугольнике ........................................ 62 
7.3. Уравнение Пуассона в прямоугольнике ...................................... 68 
7.4. Краевые задачи в кольце и круге ................................................. 70 
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Классификация линейных уравнений в 
частных производных второго порядка ............................................ 81 
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Ряды Фурье ............................................................... 89 
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Интеграл Фурье ........................................................ 93 
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Уравнение Бесселя ................................................. 100 
Литература .......................................................................................... 105 
 

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Общее 
дифференциальное 
уравнение 
с 
частными 
производными – это уравнение вида 
 

 
0
1
1
1
=









∂
∂

∂
∂
∂
∂
∂

n
m
n
m

m

n
x
x

u
x
u
x
u
x
u
F
...
,...,
,...,
,
,
. 
(1.1) 

 
Здесь 
(
)
n
n
R
x
x
x
∈
=
,...,
1
, 
(
)
nx
x
u
u
,...,
1
=
, 
n
m
m
m
+
+
=
...
1
 – наивысший 
порядок частной производной, входящей в уравнение, называется 
порядком уравнения (1.1). Решением уравнения (1.1) будем называть 
функцию 
)
(x
u
, 
обладающую 
непрерывными 
частными 
производными до порядка m  включительно и обращающую его в 
тождество. 
Наиболее часто встречаются и играют главную роль в 
математической физике линейные дифференциальные уравнения 
второго порядка (
2
=
m
) 
 

 
∑
∑
=
=
=
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
n

i
i
i

n

j
i
j
i
j
i
x
f
u
x
c
x
u
x
b
x
x
u
x
a
1
1

2
).
(
)
(
)
(
)
(
,

 
(1.2) 

 
Классификация линейных уравнений в частных производных 
второго порядка приведена в Приложении 1. 
Для 
ряда 
физических 
процессов 
сформулируем 
математические 
модели, 
которые 
основаны 
на 
решении 
дифференциальных уравнений второго порядка. 

Основные уравнения математической 
физики 

Уравнение колебаний 

Многие задачи механики (колебание струн, стержней, 
мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные 
колебания) описываются уравнением колебаний вида 

 
),
,
(
)
grad
(
div
t
x
F
u
q
u
p
t
u
+
−
=
∂
∂
ρ
2

2

 
(1.3) 

где 
u(x,t) – неизвестная функция, зависящая от n (n = 1, 2, 3) 
пространственных 
координат 
и 
времени 
t; 
ρ, q, p – коэффициенты, определяются свойствами среды, где 
происходят колебания; 
F(x,t) – 
функция, 
выражает 
интенсивность 
внешнего 
возмущения. 
Напомним, что в соответствии с определением операторов div 
(дивергенция), grad (градиент) имеем 










∂
∂
∂
∂
=

nx
u
x
u
u
,...,
grad

1

,   
∑
=









∂
∂
∂
∂
=
n

i
i
i
x
u
p
x
u
p
1
)
grad
(
div
. 

Уравнение диффузии 

Процессы распространения тепла или диффузии частиц в 
среде описываются общим уравнением диффузии вида 

 
)
,
(
)
grad
(
div
t
x
F
u
q
u
p
t
u
+
−
=
∂
∂
ρ
. 
(1.4) 

Уравнение стационарных процессов 

Для стационарных (т.е. не меняющихся со временем) 
процессов F(x,t) = F(x), u(x,t) = u(x), уравнение колебаний и 
уравнение диффузии принимают вид 

).
(
)
grad
(
div
x
F
u
q
u
p
=
+
−
 
(1.5) 

 
При p = const , q = 0 и f  = – F/p выражение (1.5) принимает вид 
 

 
)
(x
f
u =
∆
 
(1.6) 

 
и называется уравнением Пуассона. При f = 0 уравнение (1.6) 
называется 
уравнением 
Лапласа. 
Напомним, 
что 
через 
∆ 
обозначается оператор Лапласа 

 
2

2

2
1

2

nx
x
∂

∂
+
+
∂

∂
=
∆
...
. 

Классификация краевых задач 

Пусть 
n
R
G ⊂
 – область, где происходит процесс, и S – ее 
граница. Предположим, что коэффициенты ρ, q, p уравнений (1.3) – 
(1.5) не  зависят от времени t, а также пусть 
,
)
(
0
>
ρ x
 p(x) > 0, 

0
≥
)
(x
q
, при этом, согласно классификации (см. Приложение 1), 
уравнение колебаний (1.3) относится к гиперболическому типу, 
уравнение диффузии (1.4) – к параболическому типу и стационарное 
уравнение (1.5) – к эллиптическому типу.  

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, 
необходимо, кроме самого уравнения задать краевые условия, т.е. 
начальное состояние процесса (начальные условия) и режим на 
границе той области, в которой происходит процесс (граничные 
условия). Математически это связано с неединственностью решений 
дифференциальных 
уравнений. 
Вспомним, 
что 
даже 
для 
обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка общее 
решение зависит от n произвольных постоянных. Для уравнений в 
частных 
производных 
решение, 
вообще 
говоря, 
зависит 
от 
произвольных функций. 

Задача 1.1. Найти общее решение уравнения 
0
=
∂
∂
x
y
x
u
)
,
(
. 

Три основных типа краевых задач 

1. Задача Коши (
n
R
G =
) для уравнений гиперболического (1.3) и 
параболического 
(1.4) 
типов: 
найти 
функцию 
u(x,t), 
удовлетворяющую уравнению (1.3) или (1.4) и начальным условиям: 

в случае уравнения (1.3) 
)
(
)
,
(
x
u
x
u
0
0 =
, 
)
(
)
,
(
x
u
x
t
u
1
0 =
∂
∂
, 
(1.7) 

в случае уравнения (1.4) 
)
(
)
,
(
x
u
x
u
0
0 =
. 
(1.8) 

2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа (1.5) – (1.6): 
найти функцию u(x), удовлетворяющую в области G уравнению (1.5) 
и граничному условию: 

 
v
n
u
u

S
=
∂
∂
β
+
α
, 
(1.9) 

где α, β, v – заданные функции на границе S области G, 
0
≥
α
)
(x
, 

0
≥
β
)
(x
, α(x) + β(x) > 0, x∈ S. 
 
Выделяют следующие типы граничных условий (1.9): 
 

I рода (α = 1, β = 0) 
1v
u S =
. 

 

II рода (α = 0, β = 1) 
2v
n
u

S
=
∂
∂
. 

 

III рода (α ≥ 0, β = 1) 
3v
n
u
u

S
=
∂
∂
+
α
. 

 
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, 
II и III рода. Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача I 
рода 

)
(x
f
u =
∆
, 
1v
u S =
 

называется задачей Дирихле, краевая задача II рода  

 
)
(x
f
u =
∆
,
2v
n
u

S
=
∂
∂
 

называется задачей Неймана. 
3. Смешанная задача (
n
R
G ≠
) для уравнений гиперболического 

(1.3) и параболического (1.4) типов: найти функцию u(x,t), 
удовлетворяющую уравнению (1.3) или (1.4), начальным условиям 
(1.7) или (1.8) соответственно и граничным условиям (1.9). При этом 
должны быть выполнены условия согласования 

 
0
0
0
=
=
∂
∂
β
+
α
t
S
v
n
x
u
x
u
)
(
)
(
, 

0

1
1
=
∂
∂
=
∂
∂
β
+
α

t
S
t
v
n
x
u
x
u
)
(
)
(
. 

Для решений краевых задач применяют различные методы: 
метод Фурье (метод разделения переменных), метод интегральных 
преобразований, операционный метод, численный метод конечных 
разностей, вариационные методы, метод Римана и многие другие. 
 
Основные определения см. также в работах [1, с.9-20], 
[2, c.350], [3, c.5-7]. 

2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

2.1. Распространение тепла в стержне 

Пусть имеется прямолинейный однородный стержень длиной l. 
Направим ось x вдоль стержня. Пусть x = 0 – левый конец стержня, а  
x = l – правый. Обозначим через u(x,t) температуру стержня в точке x  в 
момент времени t. Покажем, что u(x,t) удовлетворяет уравнению 
теплопроводности 

 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
t
x
f
x
t
x
u
a
t
t
x
u
+
∂
∂
=
∂
∂

2

2
2
. 
(2.1) 

Обозначим через 
)
,
(
t
x
F
 плотность внешних источников тепла в точке x в 
момент времени t. На участок [
]
x
x
x
∆
+
,
 за время от t до t + 
t
∆ поступает 
извне количество тепловой энергии 

 
t
x
t
x
F
Q
∆
∆
=
)
,
(
1
. 
(2.2) 

 
Запишем уравнение теплового баланса для участка [
]
x
x
x
∆
+
,
 за 
время от t до t + 
t
∆

T
m
c
Q
∆
=
. 
(2.3)  

 
Здесь c – удельная  теплоемкость вещества; m = ρ Δ x – масса, ρ –
 плотность; 
)
,
(
)
,
(
t
x
u
t
t
x
u
T
−
∆
+
≈
∆
. С другой стороны, 

 

 
1
Q
Q =
 + 
л
Q
n
Q
+
, 
(2.4) 

 
где Q – полученное участком тепло; 
л
Q  и 
n
Q – тепло, полученное 
соответственно слева (т.е. через точку x) и справа (т.е. через точку 

x
x
∆
+
). По закону теплопроводности 

 
,
)
,
(
t
t
x
x
u
S
k
Qл
∆
∂
∂
−
=
,
)
,
(
t
t
x
x
x
u
S
k
Qn
∆
∆
+
∂
∂
=
 
(2.5) 

где 
k – коэффициент теплопроводности вещества; 
 
S – площадь поперечного сечения стержня. 
Закон (2.5), грубо говоря, означает, что скорость передачи 
тепла через поперечное сечение стержня в точке x  пропорциональна 

«перепаду температур» 
)
,
(
t
x
x
u
∂
∂
. Знаки в (2.5) выбраны так, чтобы 

тепло передавалось от нагретых тел к холодным (2-е начало 

термодинамики). 
Например, 
0
≤
л
Q
,
0
≥
п
Q
, 
0
≥
∂
∂
x
u
 
всюду. 

Подставляем выражения (2.5) и (2.3) в уравнение (2.4): 
 

 
(
) ≈
−
∆
+
∆
ρ
)
,
(
)
,
(
t
x
u
t
t
x
u
x
c

t
t
x
x
u
t
x
x
x
u
S
k
t
x
t
x
F
∆








∂
∂
−
∆
+
∂
∂
+
∆
∆
≈
)
,
(
)
,
(
)
,
(
. 
(2.6) 

 
Отсюда делением на Δx Δt и предельным переходом 
0
→
∆ x
, 
0
→
∆t
 
получаем  

 
)
,
(
t
x
F
x
u
S
k
t
u
c
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
2

2

. 
(2.7) 

 

Вводя обозначения 
,
ρ
= c
S
k
a 2

ρ
= c
F
f
, получаем уравнение (2.1). 

Для дополнительного описания процесса распространения 
тепла в стержне задаются начальные и граничные условия. Начальное 
условие для уравнения (2.7) состоит в задании температуры в 
некоторый момент времени, от которого ведется отсчет времени; 
обычно полагают, что начальный момент t = 0. Тогда начальное 
условие имеет вид  

 
u(x, 0) = f (x), где f (x) – заданная функция. 

Граничные условия должны выполняться там, где стержень 
может иметь теплообмен с окружающей средой, т.е. на торцевых 
сечениях стержня x = 0, x = l (боковая поверхность стержня по 
условию теплоизолирована). Граничные условия имеют вид