Методы математической физики. Ч. 5. Задачи для уравнений колебаний, теплопроводности и стационарные задачи в прямоугольнике

№ 388

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Êàôåäðà ìàòåìàòèêè

È.Ý. Ãóðüÿíîâà
Â.Ã. Îáëàêîâ

Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè

×àñòü V. Çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé êîëåáàíèé,
òåïëîïðîâîäíîñòè è ñòàöèîíàðíûå çàäà÷è
â ïðÿìîóãîëüíèêå

Êóðñ ëåêöèé

Ðåêîìåíäîâàíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì
ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà

Ìîñêâà  Èçäàòåëüñòâî «Ó×ÅÁÀ»
2007

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э., Облаков В.Г. 
Г95  
Методы математической физики. Ч. 5. Задачи для уравнений колебаний, теплопроводности и стационарные задачи в 
прямоугольнике: Курс лекций. – М.: МИСиС, 2007. – 30 с. 

Данное издание представляет собой пятую часть курса лекций по математической физике. Первая и вторая главы посвящены двойным рядам Фурье и 
рядам Фурье по системам ортогональных функций. В последующих четырех 
главах подробно излагается решение смешанных задач для уравнения колебаний прямоугольной мембраны и для уравнения теплопроводности для 
прямоугольной пластины. Решаются задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике. 
Соответствует программе курса «Методы математической физики». 
Предназначен для студентов второго курса всех факультетов. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2007 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Двойные ряды Фурье............................................................................4 
2. Двойные ряды Фурье по системам ортогональных функций...........8 
3. Колебания прямоугольной мембраны ..............................................11 
3.1. Первая смешанная задача для однородного уравнения 
колебаний ............................................................................................11 
3.2. Вторая смешанная задача для однородного уравнения 
колебаний ............................................................................................14 
4. Распространение тепла  в прямоугольной пластине. Первая 
смешанная задача для однородного уравнения...................................18 
5. Уравнение Лапласа в прямоугольнике.............................................21 
6. Уравнение Пуассона в прямоугольнике...........................................27 
Библиографический список...................................................................29 
 

1. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 

Если функция 
(
)
,
f x y  имеет период 2ℓ  по переменной x , период 

2h  по переменной y , непрерывна и имеет непрерывные производ
ные 
f
x

∂
∂
; 
f
y

∂
∂
; 

2 f
x y
∂
∂ ∂
 в прямоугольнике 

;
:
,

x

h
y
h

− <
<
⎧
⎨− <
<
⎩
Κ
ℓ
ℓ  

то 
(
)
,
f x y  представима двойным рядом Фурье 

 
(
)
,
,
,
,
0

,
,

,
cos
cos
sin
cos

cos
sin
sin
sin
,

m n
m n
m n
m n

m n
m n

mx
ny
mx
ny
f
x y
a
b
h
h

mx
ny
mx
ny
c
d
h
h

∞

=

π
π
π
π
⎛
=
λ
+
+
⎜⎝

π
π
π
π
⎞
+
+
⎟⎠

∑
ℓ
ℓ

ℓ
ℓ

 

где 
,

1
при
0;
4
1
при
0,
0 или
0,
0;
2
1
при
0,
0

m n

m
n

m
n
m
n

m
n

⎧
=
=
⎪
⎪⎪
λ
=
>
=
=
>
⎨
⎪
>
>
⎪
⎪⎩

 

и при 
0
m ≥
, 
0
n ≥
 

(
)
,
1
,
cos
cos
d d
m n
mx
ny
a
f x y
x y
h
h
π
π
=
∫∫
Κ
ℓ
ℓ
, 

(
)
,
1
,
sin
cos
d d
m n
mx
ny
b
f x y
x y
h
h
π
π
=
∫∫
Κ
ℓ
ℓ
, 

(
)
,
1
,
cos
sin
d d
m n
mx
ny
c
f x y
x y
h
h
π
π
=
∫∫
Κ
ℓ
ℓ
, 

(
)
,
1
,
sin
sin
d d
m n
mx
ny
d
f x y
x y
h
h
π
π
=
∫∫
Κ
ℓ
ℓ
. 

При этом в частных случаях ряд Фурье имеет неполный вид, а 
именно: 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1
,
,
,
но
,
,
,
cos cos;

,
,

f
x
y
f x y
f
x y
f x y
f x
y
f x y

−
−
=
⎫
⎪
−
=
⇒
⋅
⎬
⎪
−
=
⎭

)
 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

2
,
,
,
но
,
,
,
sin sin;

,
,

f
x
y
f x y
f
x y
f x y
f x
y
f x y

−
−
=
⎫
⎪
−
= −
⇒
⋅
⎬
⎪
−
= −
⎭

)
 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

3
,
,
,
но
,
,
,
cos sin;

,
,

f
x
y
f x y
f
x y
f x y
f x
y
f x y

−
−
= −
⎫
⎪
−
=
⇒
⋅
⎬
⎪
−
= −
⎭

)
 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

4
,
,
,
но
,
,
,
sin cos.

,
,

f
x
y
f x y
f
x y
f x y
f x
y
f x y

−
−
= −
⎫
⎪
−
= −
⇒
⋅
⎬
⎪
−
=
⎭

)
 

Например, во втором частном случае 

(
)
,
,
1
,
sin
sin
m n
m n

mx
ny
f x y
d
h

∞

=

π
π
= ∑
ℓ
 

(здесь 
,
1
m n
λ
= ), 

(
)
,
0 0

4
,
sin
sin
d d

h

m n
mx
ny
d
f x y
x y
h
h
π
π
=
∫∫

ℓ

ℓ
ℓ
. 

Пример 
(
)

2
,
f x y
x y
=
, 1
1
x
− <
< , 
1
=
ℓ
, 2
2
y
− <
<
, 
2
h =
, 
0
n ≠
. 

(
)
,
,
,
0

,
0,
,
,
0,
1
,
1

0,
,
1
,
1

,
cos
sin
1
2

sin
cos
sin
2
2

1
sin
cos
sin
;
2
2
2

m n m n
m n

m n
n
m n m n
m
n
m n

n
m n
n
m n

mx
ny
f x y
c

ny
ny
c
c
mx

ny
ny
c
c
mx

∞

=

∞
∞

=
=
=

∞
∞

=
=

π
π
=
λ
=

π
π
=
λ
+
λ
π
=

π
π
=
+
π

∑

∑
∑

∑
∑

 

(
)
(
)
(
)

1 2
1
2
2
2
0,
0 0
0
0

2
3

0

0

, d 
d
2 4
1sin
d d
2
d
sin
d
d
sin
d
1 2
2
2
2
2 cos 2

1
2
2
2
2
cos
cos
d
0
0
3
2
2

2
8
1
2
2
4
8
2cos
0
sin
1
0
3
2
3

n

n
n

u
y
u
y
ny
ny
ny
c
x y
x y
x
x y
y
v
y

ny
v
n

x
ny
ny
y
y
n
n

ny
n
n
n
n

+

=

=
=
⋅
π
π
π
=
⋅
=
=
=
=
⋅
π
= − π

⎛
⎞
π
π
= ⋅
⎜−
⋅
+
⎟ =
⎜
⎟
π
π
⎝
⎠

⎡
⎤
−
π
⎢
⎥
=
−
π −
+
= −
−
=
⎢
⎥
π
π
π
⎢
⎥
⎣
⎦

∫∫
∫
∫

∫

1

0, ;
3
n
c
n
=
π⋅

1 2
1
2
2
2
,
0 0
0
0

4
cos
sin
d d
2
cos
d
sin
d .
1 2
2
2
m n
ny
ny
c
x y
mx
x y
x
mx
x
y
y
π
π
=
π
=
π
⋅ ∫∫
∫
∫

 
Вычислим первый интеграл: 

(
)

2

1
1
2
2

0
0
0

1

0

2
0

,
d
2 d ,
1
1 2
cos
sin
sin
d
d
cos
d ,
0
1 sin

d
sin
d
1
2
1
cos
cos
d
1
d
d
cos
0

2
1
1
cos
0
sin

u
x
u
x x
x
x
mx d x
mx
x
mx x
v
mx x
m
m
v
mx
m

u
x
v
mx x
x
mx
mx x
u
x
v
mx
m
m
m
m

n
mx
m
m
m

=

=

=
=
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
π
=
=
π
−
π
=
=
π
⎜
⎟
π
π
⎝
⎠
=
π
π

=
=
π
⎛
⎞
=
= −
−
π
+
π
=
⎜
⎟
⎜
⎟
=
= −
π
π
π
π
⎝
⎠
π

= −
−
π −
+
π
π
π
π

∫
∫

∫

(
)

(
)
2
1
2
1
.
0

m

m

⎛
⎞
⎜
⎟ =
−
⎜
⎟
π
⎝
⎠
Второй интеграл равен: 

(
)

2

1

0

4
sin
d
1
2

n
ny
y
y
n

+
π
=
−
π
∫
 (см. выше). 

Таким образом, 

(
)

(
)
(
)
(
)

1

1
,
2
3
2
16
1
2
4
2
1
1

m n
m
n
m n
c
n
m n
m

+ +
+
−
=
−
−
=
π
π
π
. 

Следовательно, 

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

1
1

3
2
0,
1
,
1

1
1

3
2
1
,
1

8
1
16
1
1
,
sin
cos
sin
2
3
2
2

1
1
4
16
sin
cos
sin
.
3
2
2

n
m n

m
n
m n

n
m n

n
m n

n
n
f x y
y
mx
y
n
m n

n
n
y
mx
y
n
m n

+
+ +
∞
∞

=
=
=

+
+ +
∞
∞

=
=

−
−
π
π
=
+
π
=
π
π

−
−
π
π
=
+
π
π
π

∑
∑

∑
∑

 

2. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМАМ 
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 

Определение 1. Функция 
(
)
,x y
ϕ
 называется интегрируемой с 

квадратом в прямоугольнике 
[
] [
]
,
,
a b
c d
×
Κ :
, если 

 
(
)
2
,
d
d

b d

a c
x y
x
y
ϕ
< ∞
∫∫
. 

Обозначим этот класс функций K [φ]. 
Определение 2. Скалярным произведением двух функций φ1,φ2 называется число (φ1,φ2), определяемое 

 
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
,
,
,
d d

b d

a c

x y
x y
x y
ϕ ϕ
=
ϕ
ϕ
∫∫
. 

Определение 3. Нормой функции (
)
,x y
ϕ
∈ K[φ] называется чис
ло ϕ , определяемое соотношением 

 
(
)
(
)

2
,
,
d d

b d

a c
x y
x y
ϕ =
ϕ ϕ =
ϕ
< ∞
∫∫
. 

Определение 4. Функции 
(
)
1
,x y
ϕ
 и 
(
)
2
,x y
ϕ
, (φ1,φ2∈ K[φ]) называются ортогональными, если 

 
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
,
,
,
d d
0

b d

a c
x y
x y
x y
ϕ ϕ
=
ϕ
ϕ
=
∫∫
. 

Определение 5. Система функций 
(
)
1
,x y
ϕ
, 
(
)
2
,x y
ϕ
, …, 
(
)
,
n x y
ϕ
∈ K[φ] называется ортогональной, если 

 
(
)
0
при
,
,
0 при
.
n
m
n

m
n

d
m
n

≠
⎧
ϕ ϕ
= ⎨
≠
=
⎩
 

Если 
1
n
d =  для 
n
∀ , то система функций называется ортонормированной. 

Пример. Покажем, что система функций 

,
1,2,...

sin
sin

m n

m
n
x
y
h

=
⎧⎪⎨
π
π
⎪⎩
ℓ

 орто
гональна в прямоугольнике 0
,

0
.

x
y
h

≤
≤
⎧
⎨ ≤
≤
⎩

ℓ  

Действительно, 

 
0
0

0
0

sin
sin
sin
sin
d d

sin
sin
d
sin
sin
d
0,

h

h

k
p
m
n
x
y
x
y x y
h
h

k
m
p
n
x
x x
y
y y
h
h

π
π
π
π
=

π
π
π
π
=
⋅
=

∫ ∫

∫
∫

ℓ

ℓ
ℓ
ℓ

ℓ
ℓ

 

если k
m
≠
 и p
n
≠
. 
Если же k
m
=
 или p
n
=
, то, как известно, первый интеграл ра
вен 2

ℓ , а второй равен 2

h , т.е. двойной интеграл равен 4

h
ℓ . 

Таким образом, 
(
)

2
2
,
,
sin
sin
4

m n

m
n
h
x y
x
y
h
π
π
ϕ
=
= ℓ
ℓ
. 

Ряд Фурье по системе ортогональных функций имеет вид 

 
(
)
(
)
,
,
1

,
,
m n
n
m n

f x y
a
x y

∞

=
=
ϕ
∑
; 

 
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)

,
2
2

,
,
d d
,
,

,
d d

b d

n
n
a c
m n
b d
n
n
a c

f x y
x y
x y
f
x y
a

x y
x y

ϕ
ϕ
=
=
ϕ
ϕ

∫∫

∫∫

. 

Пример 

(
)
,
f x y
x y
=
; 
2
2 при
3
3 при
x
y
− <
<
⎧
⎨− <
<
⎩

2,
3.
h
=
=
ℓ
 

(
)
,
,
1

,
sin
sin
;
2
3

m n
m n

m
n
f x y
d
x
y

∞

=

π
π
= ∑
 

(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

2 3
2
3

,
0 0
0
0

3
1

0

1

2

1
1

2

4
2
sin
sin
d
sin
d
sin
d
2 3
2
3
3
2
3

3
2
4
3
3
1
cos
cos
d
0
3
3
3

3
8
3
9
1
3cos
0
sin
0
3
3

8
9
24
1
1
1
1
3

m n

m

m

m
n
m
n

m
n
m
n
d
xy
x
y y
x x
y y

y
ny
n y y
m
n
n

n
n
y
m
n
n

m
n
mn

+

+

+
+

π
π
π
π
=
=
=
⋅

⎛
⎞
⎛
⎞ −
π
π
=
−
⎜
+
⎟ =
⎜
⎟⎜
⎟
π
π
π
⎝
⎠⎝
⎠
⎛
⎞
−
π
⎜
⎟
=
−
π −
+
=
⎜
⎟
π
π
π
⎝
⎠
⎛
⎞
−
=
−
−
=
−
−
⎜
⎟
π
π
π
⎝
⎠

∫∫
∫
∫

∫

(
)

1
2

2
24
1
;

m n
mn

+
+ +
=
−
π

 

(
)
(
)

2

2
,
1

1
24
,
cos
sin
2
3

m n

m n

m
n
f x y
x
y
mn

+ +
∞

=

−
π
π
=
π ∑
. 

Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид 

 
(
)

2

,
,
,

mx
n y
i
h

m n
m n
f x y
c
e

⎛
⎞
∞
π
+
⎜
⎟
⎝
⎠

=−∞
= ∑
ℓ
, 

где 
(
)

2

,
1
,
d d

mx n y
i
h
m n
c
f x y e
x y
h

⎛
⎞
− π
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
∫∫
Κ

ℓ
ℓ
 
( ,
)
m n
Z
∈
. 

3. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 

3.1. Первая смешанная задача для однородного 
уравнения колебаний 

Рассмотрим прямоугольную мембрану, занимающую в положении 
равновесия область D : 
 

0
,

0
.

x
y
h

≤
≤
⎧
⎨ ≤
≤
⎩

ℓ  

 
Задача о свободных колебаниях прямоугольной мембраны с неподвижными закрепленными краями имеет вид 

2
2
2
2

2
2
2

u
u
u
a

t
x
y

⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
; 
 

(
)
(
)

(
)
(
)

1

2

, ,0
,
,

, ,0
,

u x y
x y

u x y
x y
t

⎧
= ϕ
⎪∂
⎨
= ϕ
⎪ ∂
⎩

 
– начальные условия; 

(
)
(
)
(
)
(
)

0, ,
0,

, ,
0,

,0,
0,

, ,
0

u
y t

u
y t

u x
t

u x h t

⎧
=
⎪
=
⎪⎨
=
⎪
⎪
=
⎩

ℓ
 
 
– однородные граничные условия; 

 
 
 
 
0
x
≤
≤ ℓ , 0
y
h
≤
≤
, 
0
t ≥
. 

Применим метод Фурье разделения переменных. Ищем (
)
, ,
u x y t  
в виде 

 
(
)
( ) ( ) ( )
, ,
u x y t
X x Y y T t
=
. 

Продифференцируем 
(
)
, ,
u x y t  и подставим результат в уравнение: 

 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(
)
2
T
t X x Y y
a
X
x Y y T t
X x Y
y T t
′′
′′
′′
=
+
; 

разделив на 
( ) ( ) ( )

2
X x Y y T t a , получим 

y 

x 
ℓ

h