Методы математической физики. Ч. 2. Уравнение колебаний конечной струны

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э., Облаков В.Г. 
Г95  
Методы математической физики. Ч. 2. Уравнение колебаний 
конечной струны: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2005. – 26 с. 

В пособии излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач для уравнения колебаний конечной струны. 
Несмотря на обилие учебников по математической физике, большинство 
из них предназначены для университетов и фактически малодоступны для 
многих студентов технических вузов из-за чрезмерной сложности изложения 
и большого объема. Данное пособие отличается более простым изложением с 
подробными разъяснениями. 
Предназначено для студентов второго курса технологических факультетов, может быть использовано для самостоятельной работы и при подготовке 
к экзаменам. 
Так как курс «Методы математической физики» читается и на других факультетах МИСиС, пособие, как надеются авторы, будет полезным и для студентов других факультетов. 
 

© Московский государственный институт

стали и сплавов (Технологический  
университет) (МИСиС), 2005 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Формулировка краевой задачи. Первая смешанная задача ..............4 
2. Вторая смешанная задача ..................................................................11 
3. Третья смешанная задача (тип А) .....................................................16 
4. Третья смешанная задача (тип Б)......................................................21 
Библиографический список...................................................................25 
 

1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. 
ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 

Уравнение колебаний рассматривается для тонкой струны длины l . 
Рассмотрим процесс малых поперечных колебаний струны около 
положения равновесия (
)
0
,
≡
t
x
u
. 

 
(
)t
x
f
x
u
a
t
u
,
2

2
2
2

2
+
∂
∂
=
∂
∂
. 
(1.1) 

Искомая функция (
)t
x
u
,
 – отклонение точки струны с абсциссой 

x , в момент времени t . Здесь 

;)
const
 
струны
 
плотность
;
const
 
струны
 
натяжения
 
величина
(
0
0
2
−
−
ρ
−
−

ρ
=
T
T
a
 

(
)
(
)

ρ
=
t
x
R
t
x
f
,
,
, ( (
)t
x
R
,
 – нагрузка, приложенная к струне в точке 

с абсциссой x , в момент времени t ). Если 
(
)
0
,
≡
t
x
f
, то уравнение 
описывает свободные колебания струны, если же (
)
0
,
≡/
t
x
f
, то говорят о вынужденных колебаниях струны. 
Чтобы решение было вполне определено, функция (
)t
x
u
,
 должна 
удовлетворять краевым и начальным условиям, соответствующим 
физическим условиям задачи. 
Краевые условия так называемой первой смешанной задачи формулируются следующим образом: 

(
)
( )
(
)
( )
⎭
⎬
⎫
≥
ψ
=

≥
ψ
=

0
,
;

0
,
;0

2

1
t
t
t
u

t
t
t
u

l

– граничные 
условия 
I 
типа

(условия закрепления на концах).
(1.2)

Начальные условия формулируются следующим образом: 

(
)
( )

(
)
( )
⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

x
x
t
u

x
x
u

2

1

0,

0,
 
– начальная форма струны при 
0
=
t
, 

– начальная скорость каждой точки
струны при 
0
=
t
. 

 

(1.3)