Высшая математика : элементы функционального анализа

№1657

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ
                     Технологический университет
                                    МИСиС

Кафедра математики


И.Е. Гопенгауз









            ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

            Элементы функционального анализа


Курс лекций
для студентов специальности 0730

Рекомендовано редакционно-издательским советом института в качестве учебного пособия


МОСКВА 2001

  УДК517.98(07.042.3/.4)
       Г66



  Г66 Гопенгауз И.Е. Высшая математика: Элементы функционального анализа: Курс лекций. - М.: МИСиС, 2001. - 77с.
         Пособие написано в соответствии с программой курса «Функциональный анализ». В первой его части рассматриваются определения и примеры банаховых и гильбертовых пространств, свойства компактных множеств, вопросы аппроксимации в нормированных пространствах, сепарабельность и абстрактные ряды Фурье. Во второй части излагаются основы теории линейных непрерывных операторов. В заключение приводится доказательство спектральной теоремы Гильберта - Шмидта и дается ее примг-нение к задаче Штурма - Лиувилля.
         Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 0730 «Прикладная математика», а также для преподавателей, читающих лекции по функциональному анализу или ведущих практические занятия по этой дисциплине.



                            © Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет) (МИСиС), 2001

                Оглавление





1. Линейные нормированные пространства                       4
   1.1. Основные понятия.................................... 4
   1.2. Некоторые вспомогательные неравенства............... 7
   1.3. Основные пространства последовательностей и функций . . 11
   1.4. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах . . 13
   1.5. Приближение элементами подпространства ............ 16
   1.6. Сепарабельные пространства. Теорема Вейерштрасса ... 19
   1.7. Банаховы пространства.............................. 23
   1.8. Ряды в пространстве Банаха. Принцип вложенных шаров.
       Теорема Бэра........................................ 25
   1.9. Теорема о пополнении. Лебеговы пространства........ 28
   1.10. Компактные множества.............................. 31
   1.11. Гильбертово пространство.......................... 36
   1.12. Аппроксимация в гильбертовом пространстве.
       Ортогональное дополнение............................ 39
   1.13. Ряды Фурье. Изоморфизм гильбертовых пространств ... 42


2. Линейные операторы                                      48
   2.1. Непрерывность и ограниченность линейных операторов . . 48
   2.2. Пространство линейных непрерывных операторов .... 51
   2.3. Принцип равномерной ограниченности............... 53
   2.4. Непрерывно обратимые операторы .................. 55
   2.5. Теорема Банаха - Хана............................ 57
   2.6. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве ......................................... 59
   2.7. Понятие сопряженного пространства................ 61
   2.8. Свойства самосопряженных операторов.............. 64
   2.9. Вполне непрерывные операторы..................... 67
   2.10. Теорема Гильберта - Шмидта...................... 70
   2.11. Применение теоремы Гильберта - Шмидта к задаче Штурма - Лиувилля..................................... 73
Литература                                                 76

3

1.1. Основные понятия





                1. Линейные нормированные

                пространства





            1.1.  Основные понятия


   Определение 1.1 Пусть X - линейное пространство над полем IR (или (Г). Нормой в X называется числовая функция || • ||, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам нормы):
   la) V® € X ||ж|| > 0 (неотрицательность);
   16) ||ж|| = 0 =?■ х — 0 (невырожденность);
   2)   V® € X, А € IR (или (Г) ||Аж|| < |А| • ||ж|| (положительная однородность);
   3) \/®,р £  ||® I у11<1Н +||у|| (неравенство треугольника).
   Определение 1.2 Линейное пространство вместе с определенной в нём нормой называется линейным нормированным пространством (ЛНП). (Для краткости вместо (X, || • ||) мы будем писать просто X.)
   Определение 1.3 L называется подпространством ЛНП X, если L -линейное подпространство X и в L используется та же норма, что и в X (точнее - её сужение).
   Определение 1.4 Преднормой в X называется числовая функция р(-), удовлетворяющая условиям 1а, 2 и 3 (условие 16 может и не выполняться).
   Всякая норма является преднормой. Обратное утверждение не верно. Рассмотрим, например, функцию р, определённую в IR² следующим образом: для ж = (®i; ®г) р(х) — | ®1|- Ясно, что р - преднорма, не являющаяся нормой, так как для х — (0; ®г) р(®) = 0.
   Упражнение 1.1 Пусть X - ядро преднормы р, определённой в линейном пространстве X, т.е. X = {ж € Х| р(ж) = 0}. Доказать, что X - линейное подпространство пространства X.
   Упражнение 1.2 Доказать, что Уж,р € X р(х — у) > \р(х)
   Решение. Так как х = у + (ж — у) и у = ж + (у — ж), то неравенство треугольника даёт р(ж) < р(у) + р(х — у) и р(у) < р(х) + р(х — у).

4

1.1. Основные понятия

Следовательно, — р(х — у) < р(х) — р(у) < р(х — у), т.е. | р(х) — р(у) | < р(х — у). Ч. и т.д.
Следствие, р(-) - непрерывная функция из X в J? |.
   Определение 1.5 ЛНП называется строго нормированным, если норма в нём кроме аксиом 1-3 удовлетворяет ещё одной:
   4)     равенство ||®+у|| = |а'|| I |Ы1 для ненулевых векторов ж, у возможно только в том случае, если существует такое А > 0, что у — Хх.
   Определение 1.6 Расстоянием d(x,y) между элементами х и у из X называется норма их разности, т.е.

d(x,y) = ||® -у\\.

   Определение 1.7

Вг(а) = {х € X | ||® — а|| < г} — шар;

Sᵣ(a) = {ж € X | ||® — а|| = г} — сфера;
Вг(а) = Bᵣ(a) U Sᵣ(a) — шар с границей.
Здесь г, а - радиус и центр шара (сферы).
   Определение 1.8 Последовательность называется сходящейся, если
||®п. — «|| —> 0 при п —> оо.
В этом случае пишут Нт хп — а.
                    п—>-оо
   Определение 1.9 Пусть Е С X. Точка х G Е называется внутренней точкой множества Е, если существует г > 0 такое, что Вг(ж) С Е, т.е. х принадлежит Е вместе с некоторой своей окрестностью.
   Определение 1.10 Множество G С X называется открытым, если все его точки внутренние.
   Определение 1.11 Точка ® называется предельной точкой множества Е С X, если Vr > 0 Bᵣ(x) А Е ф 0 (здесь Вг(ж) = Вг(ж) \ {®} -проколотая окрестность).
   Определение 1.12 Множество F С X называется замкнутым, если F содержит все свои предельные точки.

5

1.1. Основные понятия

  Упражнение 1.3 Доказать, что:
  1) Вг(а) - открытое множество;
  2)  Вг(а) - замкнутое множество;
   3)   х является предельной точкой множества Е тогда и только тогда, когда существует последовательность С Е \ {ж} такая, что хп —> х

при п —> оо;
  4)  объединение произвольного семейства открытых множеств 
открытое множество;

5)

пересечение произвольного семейства

замкнутых множеств 
замкнутое множество*

6)

дополнение открытого множества замкнуто;

дополнение

замкнутого множества открыто.

6

1.2. Вспомогательные неравенства



            1,2. Некоторые вспомогательные неравенства



   Определение 1.13 Числа р и q называются сопряжёнными показателями, если р, q > 1 и - + - = 1.
   Легко видеть, что для таких р и q (р — 1)(</ — 1) = 1, кроме того, q — Р — * р—1’ ¹ q—1


  Теорема 1.1 (неравенство Юнга). Если р и q - сопряжнные показатели, то ар №
ab <----\--Va, b > 0.
                          Р q


  Доказательство. Рассмотрим функцию у — хр~и х > 0 (или, что то же, х — у¹¹⁻¹, у > 0).
  Площадь фигуры Gr — {(х,у)| 0 < х < а; 0 <у < хр⁻¹} равна
                                 Г        ар
Sr = 5(G'i) = хр~Чх = —, о                      V

а площадь фигуры G? = {(ж,у)| 0 < у < Ф 0 < х < yq х} равна

                                    Г          bq
                     S-> = S(G->) = yq~r dy =
                                   J           Я
о

   Кроме того, ясно, что прямоугольник {(ж; у)\ 0 < х < а; 0 < у < Ъ } содержится в объединении фигур Gr U G% (см. рис. 1.1), следовательно, ab <        Что и требовалось доказать.


Рис. 1.1 К доказательству неравенства Юнга

   Упражнение 1.4 Доказать, что неравенство Юнга обращается в равенство только в том случае, если ар — bq.


7

1.2. Вспомогательные неравенства

  Теорема 1.2 (неравенство Гёльдера). Если р и q - сопряжнные показатели, то

Чп € W, Va.;, b:ₜ € ff.

                                 / п    \1/р        / п    \ 1 /в
Доказательство. Пусть А = I V |fli|p) , В = ( 52 |^|⁴)         • Если
                                 \А-=1 /           \А'=1   /

п        п
обозначить а? = %-, Ъ® = А, то, очевидно, будет 52 |а?|р = 52   = 1k=i      k=i
   Согласно неравенству Юнга

Суммирование полученных неравенств даст

Вспоминая определение и 6°, получим требуемое неравенство:


п     п
1Е«Л|<Е|аЛ|<АВ.
k—i   k=i


   Упражнение 1.5 Доказать, что неравенство Гёльдера обращается в равенство, только если выполнены следующие условия: 1) при некотором А > О |а;|р = A |6j|⁹ при любом г; 2) arg(a^) не зависит от i (например, sign(ai) =sign(&i) Vi ).
   Упражнение 1.6 Доказать, что неравенство Гёльдера справедливо для бесконечных последовательностей. Это значит, что

если только ряды в правой части сходятся (р и q - сопряжённые показатели).

8

1.2. Вспомогательные неравенства.

  Упражнение 1.7 Доказать неравенство Гёльдера для интегралов, например, в такой формулировке: если функции / и д непрерывны на отрезке [а; &], а р и q - сопряжённые показатели, то

  Теорема 1.3 (неравенство Минковского). При любом р > 1, натуральном п и произвольных Xi, у;

Доказательство. Так как при р = 1 неравенство Минковского сразу следует из того, что \х{ + у,.\ < |.гг| + |г/^|, то можно сосредоточиться на случае р > 1.
  Мы имеем

9

1.2. Вспомогательные неравенства

   Пусть q —       - отряжённый с р показатель. Тогда последнее
выражение ввиду неравенства Гёльдера не превосходит

Таким образом, если учесть, что 1 = 1/р + 1/q, получим

/ п        \ V?
Сокращая обе части полученного неравенства на ( У2 | ж,- + yi |р)     ,
                                                      \fe=i      /
получаем требуемый результат.
   Упражнение 1.8 Доказать, что при р > 1 неравенство Минковского (для ненулевых наборов {•/:;,}. {'/,'}) обращается в равенство тогда и только тогда, когда существует такое А > О, что yi — Аж, при всех i


  Упражнение 1.9. Сформулировать и доказать неравенство Минковского для бесконечных последовательностей.
  Упражнение 1.10 Сформулировать и доказать неравенство Минковского для интегралов.


10

1.3. Основные пространства



            1.3. Основные пространства последовательностей и функций



   Пространство , 1 < р < оо, это - n-мерное координатное пространство с нормой порядка р. Это означает, что норма элемента / п \ 1/р
х — {®1, •••, xₙ} € Z” равна по определению ||ж||   ( У |жг|Р) , если
р < оо и ||ж|| ~ тах{|.т.;|; 1 < п}, если р — оо.
   Разумеется, необходимо убедиться в том, что для введённой только что функции выполняются аксиомы нормы. Но проверка положительной определённости и положительной однородности нс вызывает затруднений, а неравенство треугольника при р [1; оо) -это просто неравенство Минковского.

   Упражнение 1.11 Проверить неравенство треугольника при р = <х>.
   Пространство lₚ, 1 < р < оо, - это пространство бесконечных последовательностей х = {#i,®2, •••} со сходящимся рядом У l-z'i|p.
k=i
/ ОС. \ 1/р
Норму в 1Р определяют следующим образом: ||ж|| = ||ж||р := ( У} )   •
Неравенство Минковского для последовательностей показывает, что такие последовательности можно складывать и что для введённой нормы справедливо неравенство треугольника (случай р = оо и здесь нужно рассмотреть отдельно). Возможность умножать последовательность из 1Р на скаляр и положительная однородность нормы, а также сё положительная определённость почти очевидны.
   Замечание. Для часто используется обозначение тп. Таким образом, т - пространство всех ограниченных бесконечных последовательностей с нормой ||ж|| := sup{|.т;|, i — 1,2,...}.
   Пространство с - это подпространство пространства т. состоящее из всех сходящихся последовательностей.

11

1.3. Основные пространства

   М[а; Ь] - пространство ограниченных на отрезке [а; 6] функций ж(-) с нормой ||ж|| := sup{|®(i)|;f € [а; 6]}.
   С'[а; Ь] - подпространство М[а; &], состоящее из непрерывных функций. Отметим, что по теореме Вейерштрасса ж € С[а- 6] достигает на [а; Ь] своих крайних значений, поэтому sup в определении нормы можно здесь заменить на max.
   Пространство Ср[а', b], 1 < р < оо, - тоже пространство непрерывных / ъ                                                 \^р
на [а; Ь] функций, но с нормой INI = IMIc^ := / |ж(£)|р dx I . Здесь неотрицательность и положительная однородность нормы очевидны. Невырожденность нормы является следствием свойства локального сохранения знака непрерывной функцией. Наконец, неравенство треугольника - это просто неравенство Минковского для интегралов из предыдущего параграфа.
   Точно так же определяются пространства функций M\Q), C(Q),CP(Q), заданных на ограниченном замкнутом (измеримом по Жордану) подмножестве Q Е IRⁿ.
   Рассмотрим теперь линейное пространство функций, имеющих на отрезке [а; Ь\ непрерывную производную порядка г (пространство г раз гладких функций). Если использовать в этом пространстве

норму ||ж||с := подпространство

тах{|ж(/)|; t € [а; &]}, то мы получим просто линейного нормированного пространства С [а; Ь].

Такая норма не характерна для пространства гладких функций, а 11х11с■> k = 1,2,...,г - преднормы. Сг[а; 6] - это пространство г раз гладких функций х(•) с нормой ||ж|| = ЦжЦс- ■= ||«||c + ||ж'||с + ... + ||«W||c-Подобным же образом при р Е [1; оо) определяется пространство Ср[а; 6] с нормой ||ж|| - ЦжЦс-г := ||ж||с<р + Цж'Ц^ + ... + ||®w||<7ₚ.

12

1.4. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах



            1.4.  Эквивалентность норм в конечномерных пространствах


   Определение 1.14 Пусть X - линейное пространство и || • ||i, || • ||г - нормы в X. Говорят, что норма || • ||i подчинена норме || • ||₂, если существует такая константа С > 0, что для любого х из * 1Ы11<^1И|₂   Определение 1.15 Две нормы || • ||i и || • 11₂ эквивалентны, если каждая из них подчинена другой, иначе говоря, если существуют положительные константы А и В такие, что А||ж||1 < ||ж||₂ < В||ж||1       € X.
Мы будем писать в этом случае: || • ||i ~ || • ||₂.
   Упражнение 1.12 Проверить, что отношение ~ транзитивно, рефлексивно и симметрично и, следовательно, является отношением эквивалентности.
   Упражнение 1.13 Доказать, что если ||-||i ~ ||-||₂, то в пространствах (X, || • ||i) и (X, || • ||₂) один и тот же запас ограниченных множеств, один и тот же запас замкнутых множеств, один и тот же запас открытых множеств, один и тот же запас сходящихся последовательностей, один и тот же запас фундаментальных последовательностей (последовательность {ж„} называется фундаментальной, если ||жп — жт|| —> 0 при n,m —> 00).
   Упражнение 1.14 Пусть Хх = {X, || • ||i}, Х₂ = {X, || • ||₂}, где || • ||i ~ || • Ц2, У - произвольное ЛНП и f : X —> У. Если f непрерывно в точке ж € X как отображение из Х± в У, то / непрерывно в этой же точке и как отображение из Х₂ в У.
   Пример. Введём в пространстве функций, непрерывных на отрезке 1
[0; 1], две нормы: ||ж||1 = J |ж(/)| dt и ||ж||₂ = шах{|ж(£)|, t € [0; 1]}. о
Ясно, что первая из норм подчинена второй, так как ||ж||1 < 1 • ||ж||₂. Рассмотрим теперь последовательность жп(<) =             Так как
||жп||1 = 1, ||ж„||₂ = п, то эта последовательность ограничена по первой норме и неограничена по второй. Согласно упражнению 1.13 эти нормы не могут быть эквивалентными.

13

1.4. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах

   Теорема 1.4. В конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны между собой.

Доказательство. Пусть Хп - «-мерное линейное пространство (мы будем считать для простоты, что Х„ - вещественное пространство). Сравним произвольную норму || • || в Хп с некоторой ’’выделенной” нормой || • ||₂ в этом пространстве. ’’Выделенную” норму определим следующим образом: выберем в Хп базис {ei, е₂,..., еп} и представим произвольный п                                                 / п   \ 1/2
х Е Хп в виде х = £ xkCk', наконец, положим ||х||₂ = ( J3 xk ) • (Можно
k=l                              \l=k J
сказать, что (Хп, || • ||₂) изоморфно пространству ZJ.)
   Докажем сначала, что норма || • || подчинена норме || • ||₂. Действительно, п                   п            / п      \  1/2 / п  \ 1/2
Пж11 = Н52ж*е4< 52Ы1Ы1 < (521Ы1²             (52жи = л-11ж1|2         fc=l       А=1          \А=1     /     \А1=1 /

   Перед тем как доказывать, что норма || • ||₂ подчинена норме || • ||, заметим, что функция || • || в любой точке х непрерывна относительно нормы || • ||₂. Это следует из доказанного только что неравенства. Действительно,

IIM/1-II-IH |<||(ж + /г)-ж|| = ||/г||<л.||/г||₂.

   Докажем теперь требуемое подчинение. Для этого рассмотрим функцию || • || на множестве S — {ж € Хп| ||ж||₂ = 1}. Обозначим т — пнп{||ж||, ж € S}. Так как в Щ непрерывная функция принимает на ограниченном замкнутом множестве свои крайние (наибольшее и наименьшее) значения, то существует точка ж₀ € 5, где ||жо|| = т > 0. Легко видеть, что т ф 0 (в противном случае было бы ||ж₀|| = 0 => жо = 0 =>• ||ж₀||₂ = 0, в то время как ||жо||₂ = 1). Теперь ясно, что на множестве S ||ж|| > ||жо|| = т > 0. Значит, всюду в Хп ||ж|| >т- ||ж||₂ или ||ж||₂ < ^||ж||.
   Мы доказали, что любая норма в Хп эквивалентна ’’выделенной” норме. Из свойств отношения эквивалентности отсюда следует, что любые две нормы в Хп эквивалентны между собой. Теорема доказана.


14