Высшая математика : элементы функционального анализа

№1657

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ
                     Технологический университет
                                    МИСиС

Кафедра математики


И.Е. Гопенгауз









            ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

            Элементы функционального анализа


Курс лекций
для студентов специальности 0730

Рекомендовано редакционно-издательским советом института в качестве учебного пособия


МОСКВА 2001

  УДК517.98(07.042.3/.4)
       Г66



  Г66 Гопенгауз И.Е. Высшая математика: Элементы функционального анализа: Курс лекций. - М.: МИСиС, 2001. - 77с.
         Пособие написано в соответствии с программой курса «Функциональный анализ». В первой его части рассматриваются определения и примеры банаховых и гильбертовых пространств, свойства компактных множеств, вопросы аппроксимации в нормированных пространствах, сепарабельность и абстрактные ряды Фурье. Во второй части излагаются основы теории линейных непрерывных операторов. В заключение приводится доказательство спектральной теоремы Гильберта - Шмидта и дается ее примг-нение к задаче Штурма - Лиувилля.
         Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 0730 «Прикладная математика», а также для преподавателей, читающих лекции по функциональному анализу или ведущих практические занятия по этой дисциплине.



                            © Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет) (МИСиС), 2001

                Оглавление





1. Линейные нормированные пространства                       4
   1.1. Основные понятия.................................... 4
   1.2. Некоторые вспомогательные неравенства............... 7
   1.3. Основные пространства последовательностей и функций . . 11
   1.4. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах . . 13
   1.5. Приближение элементами подпространства ............ 16
   1.6. Сепарабельные пространства. Теорема Вейерштрасса ... 19
   1.7. Банаховы пространства.............................. 23
   1.8. Ряды в пространстве Банаха. Принцип вложенных шаров.
       Теорема Бэра........................................ 25
   1.9. Теорема о пополнении. Лебеговы пространства........ 28
   1.10. Компактные множества.............................. 31
   1.11. Гильбертово пространство.......................... 36
   1.12. Аппроксимация в гильбертовом пространстве.
       Ортогональное дополнение............................ 39
   1.13. Ряды Фурье. Изоморфизм гильбертовых пространств ... 42


2. Линейные операторы                                      48
   2.1. Непрерывность и ограниченность линейных операторов . . 48
   2.2. Пространство линейных непрерывных операторов .... 51
   2.3. Принцип равномерной ограниченности............... 53
   2.4. Непрерывно обратимые операторы .................. 55
   2.5. Теорема Банаха - Хана............................ 57
   2.6. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве ......................................... 59
   2.7. Понятие сопряженного пространства................ 61
   2.8. Свойства самосопряженных операторов.............. 64
   2.9. Вполне непрерывные операторы..................... 67
   2.10. Теорема Гильберта - Шмидта...................... 70
   2.11. Применение теоремы Гильберта - Шмидта к задаче Штурма - Лиувилля..................................... 73
Литература                                                 76

3

1.1. Основные понятия





                1. Линейные нормированные

                пространства





            1.1.  Основные понятия


   Определение 1.1 Пусть X - линейное пространство над полем IR (или (Г). Нормой в X называется числовая функция || • ||, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам нормы):
   la) V® € X ||ж|| > 0 (неотрицательность);
   16) ||ж|| = 0 =?■ х — 0 (невырожденность);
   2)   V® € X, А € IR (или (Г) ||Аж|| < |А| • ||ж|| (положительная однородность);
   3) \/®,р £  ||® I у11<1Н +||у|| (неравенство треугольника).
   Определение 1.2 Линейное пространство вместе с определенной в нём нормой называется линейным нормированным пространством (ЛНП). (Для краткости вместо (X, || • ||) мы будем писать просто X.)
   Определение 1.3 L называется подпространством ЛНП X, если L -линейное подпространство X и в L используется та же норма, что и в X (точнее - её сужение).
   Определение 1.4 Преднормой в X называется числовая функция р(-), удовлетворяющая условиям 1а, 2 и 3 (условие 16 может и не выполняться).
   Всякая норма является преднормой. Обратное утверждение не верно. Рассмотрим, например, функцию р, определённую в IR² следующим образом: для ж = (®i; ®г) р(х) — | ®1|- Ясно, что р - преднорма, не являющаяся нормой, так как для х — (0; ®г) р(®) = 0.
   Упражнение 1.1 Пусть X - ядро преднормы р, определённой в линейном пространстве X, т.е. X = {ж € Х| р(ж) = 0}. Доказать, что X - линейное подпространство пространства X.
   Упражнение 1.2 Доказать, что Уж,р € X р(х — у) > \р(х)
   Решение. Так как х = у + (ж — у) и у = ж + (у — ж), то неравенство треугольника даёт р(ж) < р(у) + р(х — у) и р(у) < р(х) + р(х — у).

4

1.1. Основные понятия

Следовательно, — р(х — у) < р(х) — р(у) < р(х — у), т.е. | р(х) — р(у) | < р(х — у). Ч. и т.д.
Следствие, р(-) - непрерывная функция из X в J? |.
   Определение 1.5 ЛНП называется строго нормированным, если норма в нём кроме аксиом 1-3 удовлетворяет ещё одной:
   4)     равенство ||®+у|| = |а'|| I |Ы1 для ненулевых векторов ж, у возможно только в том случае, если существует такое А > 0, что у — Хх.
   Определение 1.6 Расстоянием d(x,y) между элементами х и у из X называется норма их разности, т.е.

d(x,y) = ||® -у\\.

   Определение 1.7

Вг(а) = {х € X | ||® — а|| < г} — шар;

Sᵣ(a) = {ж € X | ||® — а|| = г} — сфера;
Вг(а) = Bᵣ(a) U Sᵣ(a) — шар с границей.
Здесь г, а - радиус и центр шара (сферы).
   Определение 1.8 Последовательность называется сходящейся, если
||®п. — «|| —> 0 при п —> оо.
В этом случае пишут Нт хп — а.
                    п—>-оо
   Определение 1.9 Пусть Е С X. Точка х G Е называется внутренней точкой множества Е, если существует г > 0 такое, что Вг(ж) С Е, т.е. х принадлежит Е вместе с некоторой своей окрестностью.
   Определение 1.10 Множество G С X называется открытым, если все его точки внутренние.
   Определение 1.11 Точка ® называется предельной точкой множества Е С X, если Vr > 0 Bᵣ(x) А Е ф 0 (здесь Вг(ж) = Вг(ж) \ {®} -проколотая окрестность).
   Определение 1.12 Множество F С X называется замкнутым, если F содержит все свои предельные точки.

5

1.1. Основные понятия

  Упражнение 1.3 Доказать, что:
  1) Вг(а) - открытое множество;
  2)  Вг(а) - замкнутое множество;
   3)   х является предельной точкой множества Е тогда и только тогда, когда существует последовательность С Е \ {ж} такая, что хп —> х

при п —> оо;
  4)  объединение произвольного семейства открытых множеств 
открытое множество;

5)

пересечение произвольного семейства

замкнутых множеств 
замкнутое множество*

6)

дополнение открытого множества замкнуто;

дополнение

замкнутого множества открыто.

6

1.2. Вспомогательные неравенства



            1,2. Некоторые вспомогательные неравенства



   Определение 1.13 Числа р и q называются сопряжёнными показателями, если р, q > 1 и - + - = 1.
   Легко видеть, что для таких р и q (р — 1)(</ — 1) = 1, кроме того, q — Р — * р—1’ ¹ q—1


  Теорема 1.1 (неравенство Юнга). Если р и q - сопряжнные показатели, то ар №
ab <----\--Va, b > 0.
                          Р q


  Доказательство. Рассмотрим функцию у — хр~и х > 0 (или, что то же, х — у¹¹⁻¹, у > 0).
  Площадь фигуры Gr — {(х,у)| 0 < х < а; 0 <у < хр⁻¹} равна
                                 Г        ар
Sr = 5(G'i) = хр~Чх = —, о                      V

а площадь фигуры G? = {(ж,у)| 0 < у < Ф 0 < х < yq х} равна

                                    Г          bq
                     S-> = S(G->) = yq~r dy =
                                   J           Я
о

   Кроме того, ясно, что прямоугольник {(ж; у)\ 0 < х < а; 0 < у < Ъ } содержится в объединении фигур Gr U G% (см. рис. 1.1), следовательно, ab <        Что и требовалось доказать.


Рис. 1.1 К доказательству неравенства Юнга

   Упражнение 1.4 Доказать, что неравенство Юнга обращается в равенство только в том случае, если ар — bq.


7

1.2. Вспомогательные неравенства

  Теорема 1.2 (неравенство Гёльдера). Если р и q - сопряжнные показатели, то

Чп € W, Va.;, b:ₜ € ff.

                                 / п    \1/р        / п    \ 1 /в
Доказательство. Пусть А = I V |fli|p) , В = ( 52 |^|⁴)         • Если
                                 \А-=1 /           \А'=1   /

п        п
обозначить а? = %-, Ъ® = А, то, очевидно, будет 52 |а?|р = 52   = 1k=i      k=i
   Согласно неравенству Юнга

Суммирование полученных неравенств даст

Вспоминая определение и 6°, получим требуемое неравенство:


п     п
1Е«Л|<Е|аЛ|<АВ.
k—i   k=i


   Упражнение 1.5 Доказать, что неравенство Гёльдера обращается в равенство, только если выполнены следующие условия: 1) при некотором А > О |а;|р = A |6j|⁹ при любом г; 2) arg(a^) не зависит от i (например, sign(ai) =sign(&i) Vi ).
   Упражнение 1.6 Доказать, что неравенство Гёльдера справедливо для бесконечных последовательностей. Это значит, что

если только ряды в правой части сходятся (р и q - сопряжённые показатели).

8