Высшая математика : функциональный анализ

№ 447

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Êàôåäðà ìàòåìàòèêè

È.Å. Ãîïåíãàóç

Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà

Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåêîìåíäîâàíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì
ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà

Ìîñêâà   Èçäàòåëüñêèé Äîì ÌÈÑèÑ
2008

УДК 517.98(075.8) 
 
Г66 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. Б.Е. Гопенгауз 

Гопенгауз И.Е. 
Г66  
Высшая математика: Функциональный анализ: Учеб. пособие. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2008. – 109 с. 

Пособие облегчит студенту поиск подходов к решению задач. С этой целью приводятся полные решения или указания к решению ряда задач. Решения, указания и ответы помещены сразу после условия соответствующей задачи. Кроме того, пособие призвано помочь студенту в подготовке к контрольным работам, индивидуальным домашним  заданиям, а также к экзаменационной работе по предмету. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 
230401. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2008 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Часть I. Линейные нормированные пространства....................... 4 
Введение .......................................................................................... 4 
1. Норма, преднорма, фактор-норма, предел, 
непрерывность ................................................................................ 4 
2. Пространства последовательностей и пространства 
функций. Неравенства. Геометрические вопросы..................... 13 
3. Полнота, компактность, сепарабельность.............................. 24 
4. Гильбертово пространство....................................................... 34 
Часть II. Линейные операторы .................................................... 47 
5. Нормы линейных операторов и линейных 
функционалов................................................................................ 47 
6. Линейные функционалы. Сопряженное пространство и 
сопряженные операторы .............................................................. 65 
7. Основные теоремы о линейных операторах .......................... 79 
8. Вполне непрерывные операторы ............................................ 90 
Библиографический список....................................................... 108 

ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНЫЕ 
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 

Введение 

Функциональный анализ изучает в обобщенном виде методы, используемые в геометрии, линейной алгебре, математическом анализе, дифференциальных уравнениях, численном анализе и т.д. Теоремы функционального анализа позволяют прояснить многие вопросы и получить новые результаты в различных областях математики. Это показывает важность изучения 
функционального анализа и объясняет сложности, которые возникают при его освоении из-за абстрактного характера данной 
дисциплины. Понятна необходимость самостоятельной работы 
для овладения теоретическими положениями функционального 
анализа и особенно – для решения задач.  
По тематике данное пособие повторяет наш же «Курс лекций» (пособие № 1657), именуемый далее просто «Курс», несколько выходя за его рамки. Тем не менее мы сочли необходимым каждый параграф начинать с изложения основных определений и формулировки некоторых теорем. 
В составлении некоторых задач принимала участие доцент 
Т.Н. Фоменко. 

1. Норма, преднорма, фактор-норма, предел, 
непрерывность 

Линейным нормированным пространством (ЛНП) называется линейное пространство X  над полем скаляров (или ) 
вместе с определенной на этом пространстве числовой функцией ⋅ , называемой нормой и подчиняющейся следующим усло
виям (аксиомам нормы): 
1а. 
0
x ≥
 для любого x
X
∈
; 

1б. 
0
x =
 только для нулевого элемента пространства X ; 

2. 
x
x
λ
λ
=
 для любого x
X
∈
 и любого скаляра λ ; 

3. 
1
2
1
2
x
x
x
x
+
≤
+
 для любых 1x  и 
2
x
X
∈
. 

Преднормой (или полунормой) называется числовая функция 
( )
p x , определенная на линейном пространстве X , если 
она подчинена условиям 1а, 2 и 3. Ядро преднормы – это множество тех x
X
∈
, для которых 
( )
0
p x =
. ЛНП X  называется 
строго нормированным, если норма в этом пространстве подчиняется еще одной аксиоме: 
4. 
1
2
1
2
x
x
x
x
+
=
+
 для ненулевых векторов 
1
2
 и
x
x  толь
ко в том случае, если эти векторы сонаправлены, т.е.
2
1
x
x
λ
=
, 

где 
0
λ >
. 
Расстоянием между точками 
1
2
, 
x
x
X
∈
 называется величи
на x
y
−
. Расстоянием между множествами 
1
2
, 
E
E
X
⊂
 назы
вается величина 

, 
1
1
2
2
1
2
1
2
dist (
,
)
inf
∈
∈
=
−
x
E
x
E
E E
x
x
. 

Сферой 
в 
ЛНП 
X  
называется 
множество 
( ) {
}
 
r
S
a
x
X
x
a
r
=
∈
−
=
 (здесь a  − центр сферы, число 
0
r >
 

− ее радиус). Открытым шаром или шаровой окрестностью 
точки a  называется множество 
( ) {
}
 
r
B
a
x
X
x
a
r
=
∈
−
<
, 

замкнутым шаром с центром в точке a  − множество 
( )
( )
( )
r
r
r
B
a
B
a
S
a
=
∪
. 

Множество E
X
⊂
 называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре. Множество E  называется открытым, если любую свою точку a  содержит вместе с некоторой 
ее шаровой окрестностью 
( )
r
B
a . Точка a  называется предель
ной точкой множества E , если любая окрестность 
( )
r
B
a  пере
секается с множеством 
{ }
E α . Множество называется замкну
тым, если оно содержит все свои предельные точки. 
Выпуклой комбинацией точек 
1
2
, 
 
x
x
X
∈
называется линей
ная комбинация 
1 1
2 2
x
x
α
α
+
 с коэффициентами 
1
2
, 
0
α
α ≥
, для 

которых 
1
2
1
α
α
+
= . Множество E
X
⊂
 называется выпуклым, 

если вместе с любыми двумя своими точками содержит все их 
выпуклые комбинации. Отрезок 
1
2
[
,
]
x x
 − это множество всех 

выпуклых комбинаций его концов 1
2
, 
x
x . 

Последовательность { }
n
x
X
⊂
 сходится к элементу a
X
∈
, 

если lim
0
n
n
x
a
→∞
−
=
. 

Пусть X , Y  − ЛНП и пусть 
:  
f
X
Y
→
. Отображение f  не
прерывно в точке 
0x
X
∈
, если из условия 
0
0

X
x
x
−
→
 следу
ет 
0
( )
(
)
0

Y
f x
f x
−
→
. Отображение f  называется равномер
но непрерывным, если любому 
0
ε >
 соответствует такое 

( )
0
δ
δ ε
=
>
, что для любых 
1
2
, 
x
x
X
∈
, для которых 

1
2 X
x
x
δ
−
<
, будет 
( )
(
)
1
2
Y
f x
f x
ε
−
<
. 

Пусть L  − подпространство линейного пространства. Классом смежности элемента x  по модулю L  называется множество { }
x
x
L
=
+
. Пространство распадается на непересекающиеся 

классы смежности. Множество классов смежности образует 
фактор-пространство с естественным определением линейных операций: { } { } {
}
x
y
x
y
+
=
+
 и { } {
}
x
x
λ
λ
=
. 

1.1. Доказать, что норма является равномерно непрерывной 
функцией на всем линейном нормированном пространстве 
(ЛНП). 
Решение. Пусть ε  – произвольное положительное число, 
δ
ε
=
 и 
x
δ
Δ
<
. Тогда будет 
(
)
 
 
=
x
x
x
x
x
x
+ Δ
−
≤
+ Δ
−
 

=
< =  
x
δ ε
Δ
. 

1.2. Пусть X  – ЛНП и пусть x  − ненулевой элемент X . Положим 

( )
x
f x
x
=
. Доказать непрерывность ( )
f ⋅  при любом 
0
x ≠
. 

1.3. Доказать, что в ЛНП операция умножения вектора на скаляр непрерывна по совокупности переменных. 

Решение. Пусть 
0
ε >
, 
min 1,1
x
ε
δ
λ

⎧
⎫
⎪
⎪
=
⎨
⎬
+
+
⎪
⎪
⎩
⎭
 и пусть 
x
δ
Δ
<
, 

λ
δ
Δ
<
. Тогда будет (
)(
)
+Δ
+Δ −
=
x
x
x
λ
λ
λ
x
x
x
λ
λ
λ
Δ ⋅ + ⋅Δ +Δ ⋅Δ < 

(
)
1
x
δ
λ
ε
<
⋅
+
+
=
. 

1.4. Доказать, что в ЛНП операция сложения векторов равномерно непрерывна по совокупности переменных. 

1.5. Если шары 
( )
r
B
a  и 
( )
R
B
b  имеют непустое пересечение, 

то a
b
R
r
−
<
+
. 

1.6. Если пересечение 
( )
( )
r
R
B
a
B
b
∩
 пусто, то a
b
R
r
−
>
+
. 

Решение. 
1. Так как 
( )
R
b
B
b
∈
, то 
( )
r
b
B
a
b
a
r
∉
⇒
−
>
. 

2. Если 
( )
r
b
a
c
a
r
B
a
b
a
−
=
+
⋅ ∈
−
, то 
( )
R
c
B
b
∉
, следовательно, 

c
b
R
−
>
, но c
b
−
= (
)
a
b
a
b
r
a
b
−
−
−
=
−
a b
r
a b
r
−
−
=
−
− . 

Поэтому a
b
R
r
−
>
+
. 

1.7. Если 
( )
( )
r
R
B
a
B
b
⊂
, то r
R
<
 и a
b
R
r
−
<
− . 

1.8. Пусть X  – линейное пространство, ( )
p ⋅  − неотрицательная 

положительно однородная функция и 
( )
{
}
 
1
B
x
X p x
=
∈
<
. 

Доказать, что: 
а) если B  – выпуклое множество, то для функции 
( )
p ⋅  вы
полняется неравенство треугольника; 
б) если для функции 
( )
p ⋅  выполняется неравенство тре
угольника, то B  является выпуклым подмножеством X . 

Доказательство утверждения а). При любом x
X
∈
 и любом 

0
ε >
 
( )

x
x
B
p x
ε
ε
=
∈
+
. Для любых ,x y
X
∈
 
( )
( )
2
x
y
p x
p y
ε
+
=
+
+
 

=
( )
(
)
( )
(
)
( )
( ) 2

x
p x
y
p y
B
p x
p y

ε
ε
ε
ε

ε

+
+
+
∈
+
+
, т.е. 
(
)
( )
( )
2
p x
y
p x
p y
ε
+
<
+
+
. 

Устремляя ε  к нулю, получаем (
)
( )
( )
p x
y
p x
p y
+
≤
+
. 
Утверждение пункта б) доказать самостоятельно. 

1.9. Если три точки прямолинейного отрезка лежат на сфере 

1(0)
S
, то весь этот отрезок принадлежит сфере. 

Решение. Рассмотрим прямолинейный отрезок 
1
2
[ ,
]
e e
 и точку 
(
)
1
2
,
e
e e
∈
. Тогда 
1
2
e
e
e
α
β
=
+
, где α, β >>0, α + β = 1. Пусть 

еще 
( )
1
2
1
, ,
0
e e e
S
∈
, т. е. 
1
2
1
e
e
e
=
=
= . Докажем, что 

(
)
( )
1
1
,
0
e e
S
⊂
. 

Итак, пусть 
(
)
1,
f
e e
∈
. Так как 
1
f
se
te
=
+
, где 
,
0
s t >
 и 

1
s
t
+ = , то 
1
1
 
1
f
se
te
s e
t e
s
t
=
+
≤
+
=
+ = . Предположим, 

что 
1
f < , и постараемся получить противоречие. Представим 

для этого e  в виде
2
e
uf
ve
=
+
, где ,
0
u v >
, 
1
u
v
+
= . 

Мы 
имеем: 
1
2

1

e
e
e

f
se
te

α
β
=
+
⎧⎪⎨
=
+
⎪⎩
. 
Отсюда 
следует, 
что 

2
f
s e
e
s
t

α
β

α

+
=
+
, т.е. u
s
t

α
α
=
+
, 
s
v
s
t

β
α
=
+
. 

Ясно, что 
,
0
u v >
 и 
(
)
1
s
s
s
t
α
β
α
α
α
+
=
+
−
=
+
, т.е. 

1
u
v
+
= . С другой стороны, 
2
1
e
u f
v e
u
v
=
≤
+
<
+ . Полу
ченное противоречие показывает, что 
1
f = . 

Таким образом, 
(
)
( )
1
1
,
,  
0
f
e e
f
S
∀ ∈
∈
, т.е. (
)
( )
1
1
,
0
e e
S
⊂
. 

Точно так же доказывается, что(
)
( )
2
1
,
0
e e
S
⊂
. 

1.10. Для того чтобы ЛНП X  было строго нормированным, необходимо и достаточно, чтобы шар 
( )
1 0
B
 был строго выпук
лым, т. е., чтобы сфера 
( )
1 0
S
 не содержала прямолинейных 

отрезков. 
Доказательство достаточности условия. Пусть
( )
1 0
S
не 

содержит прямолинейных отрезков. Докажем, что X − строго 
нормированное. Предположим противное, т.е. предположим, 
что 
существуют 
несонаправленные 
1
2
,
x x , 
для 
кото
рых
1
2
1
2
x
x
x
x
+
=
+
. Тогда для векторов 
k

k

k

x
e

x

=
, чисел 

1
2

k
k
x

x
x
α =
+
, 
1,2
k =
 и вектора 
1
2

1 1
2 2

1
2

x
x
e
e
e

x
x
α
α
+
=
+
=
+
 

будет 
( )
1
2
1
, ,
0
e e e
S
∈
. Противоречие сразу следует из утвер
ждения задачи 1.8. 
Необходимость условия доказать самостоятельно. 

1.11. Доказать, что в ЛНП элемент x  является предельной точкой множества E  тогда и только тогда, когда во множестве E  
найдется последовательность { }
n
x
, состоящая из элементов 

n
x
x
≠
, и такая, что 
n
x
x
→
 при n → ∞ . 

1.12. Пусть X иY  – ЛНП. Отображение 
:
f
X
Y
→
 непрерывно 
в точке x
X
∈
 тогда и только тогда, когда для любой последовательности { }
n
x
X
⊂
, сходящейся к элементу x , будет 

(
)
( )
n
f x
f x
→
 при n → ∞ . 

1.13. Пусть 
X  и Y  – ЛНП, 
:
f
X
Y
→
 − непрерывное ото
бражение. Доказать, что множество 
( )
{
}
 
y
E
x
X f x
y
=
∈
=
 

замкнуто. 

Решение. Пусть x  − предельная точка множества 
y
E . Сущест
вует последовательность { }
, 
, 
n
y
n
x
E
x
x
n
⊂
≠
∀ , такая, что 

 при 
n
x
x
n
→
→ ∞ . Так как 
(
)
, 
 
n
f x
y
n
=
∀
 и f  непрерывна в 

точке x , то 
( )
(
)
lim
n
n
f x
f x
y

→∞
=
=
 и, следовательно, 
y
x
E
∈
. 

1.14. X  и Y  − ЛНП, 
:
f
X
Y
→
 − непрерывное отображение, 

0
a >
. Доказать, что 
( )
{
}
a
F
x
X
f x
a
=
∈
≤
 
 − замкнутое, а 

( )
{
}
|
a
G
x
X
f x
a
=
∈
<
 
 – открытое множество. 

1.15. Доказать, что 
( )
r
B
a  – открытое множество, а 
( )
r
B
a  − 
замкнутое множество. 

1.16. Доказать, что дополнение открытого множества замкнуто, 
а дополнение замкнутого множество открыто. 

1.17. Доказать, что объединение любого семейства открытых 
множеств, а также пересечение конечного набора открытых 
множеств − открытое множество. 
Решение. Пусть {
}
A
Gα α∈  − семейство открытых множеств и 

пусть

A

x
G
Gα
α∈
∈
= ∪
. Существует 
A
α ∈
 такое, что x
Gα
∈
, а 

так как Gα  − открытое множество, то существует шар
( )
B
x
ρ
, 

являющийся подмножеством Gα  и, тем более, подмножеством 
G . Следовательно, x  − внутренняя точка множества G . 

Пусть теперь 

1

n

k

k

G
G

=
= ∩
 и x
G
∈
. В таком случае x  принад
лежит всем 
k
G , причем каждому из них вместе с некоторым 

шаром 
( )
rk
B
x . Положим 
min

k n
k
r
r

≤
=
. Ясно, что 
0
r >
 и 

( )
,
1,2,...,
r
k
B
x
G
k
n
⊂
=
 
. Поэтому 
( )
r
B
x
G
⊂
 и x  является 
внутренней точкой множества G .