Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел : Случайные события и их вероятности

№ 1493 
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС Ck 

Кафедра высшей математики 

Браницкая Л.Л. 

Одобрено 
методическим 
советом института 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 

И 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 

Раздел: Случайные события и их вероятности 

Учебное пособие 

для студентов специальности: 
0102, 0608, 0709, 5104, 1106, 1204 

МОСКВА, 1998 

АННОТАЦИЯ 

Настоящее пособие написано на основе лекций, читаемых автором на 
факультете информатики и экономики МИСиС. Лекции ориентированы 
на компьютерный курс по теории вероятностей и математической 
статистики, идея которого и первоначальные разработки принадлежат 
доценту МИСиС Каширину Б.Л. Дальнейшая работа над компьютерным 
курсом ведется автором совместно с группой программистов ИВЦ под 
руководством ведущего специалиста Лопатской Г.Г. Пособие может 
быть использовано студентами других факультетов. Автор выражает 
благодарность профессору кафедры экономики МИСиС Рожкову И.М. 
за внимание к работе и поддержку, доценту кафедры математической 
статистики факультета ВМК МГУ Архангельскому А.Н. за труд по 
рецензированию рукописи, доцентам МИСиС Сабуровой Т.Н. и 
Карасеву В.А. за полезные замечания. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический 
университет) 
(МИСиС) 1998 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Первоначальные понятия 
4 

2. Классическая модель теории вероятностей 
5 

3. Элементы комбинаторики 
6 

4. Дискретная модель 
9 

5. Операции над событиями 
11 

6. Правило сложения для подсчета вероятностей событий 
14 

7. Условные вероятности и правило умножения 
16 

8. Независимость случайных событий 
18 

9. Формула полной вероятности 
22 

10. Формула Байеса 
24 

11. Геометрическая модель 
25 

12. Модель Колмогорова 
28 

Литература 
31 

3 

Браницкая Л.Л. 

§ 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Замечательно, 
что 
науке, 
начинавшейся 
с 
рассмотрения азартных игр, суждено было стать 
важнейшим объектом человеческого знания... 

Пьер Симон Лаплас 

Аналитическая теория вероятностей, 1812. 

В этом параграфе основные понятия теории вероятностей определяются 
на интуитивном уровне. Строгие определения будут даны в § 4. 

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений массового характера. 

Случайным событием называется такое событие, которое может произойти или не произойти при данном комплексе условий эксперимента. 

Событие, которое неизбежно происходит в эксперименте, называется достоверным. Событие, которое заведомо не может произойти, называется 
невозможным. 

Пример 1 

Пусть случайный эксперимент состоит в однократном бросании игральной кости. 

В качестве результата фиксируется число очков Х, выпавшее на верхней 
грани. С данным экспериментом связаны, например, события: 

А = {X – четное число} 
U = {X ≤ 6} 

B= {X = 5} 
V = {X > 6} 

C = {X кратно трем} 

События А, В, С могут произойти или не произойти. Событие U всегда 
наблюдается в эксперименте. Событие V наблюдаться не может. 

Интуитивно ясно, что среди случайных событий есть более вероятные и 
менее вероятные. Так, в предыдущем примере событие А более вероятно, 
чем C, а C более вероятно, чем B. 

Чтобы построить количественную теорию, надо научиться определять 
числом степень возможности появления того или иного события в данном 
эксперименте. 

Вероятность – количественная оценка возможности наступления случайного события. Вероятность достоверного события принимается равной 
единице. Невозможное событие имеет вероятность ноль. Вероятности прочих событий заключены между нулем и единицей. 

4