Тензорная алгебра и абсолютное дифференциальное исчисление

№1736 

Кафедра математики 

Э.И. Аливердиева, Е.В. Левашкина, М.И. Орлов 

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И АБСОЛЮТНОЕ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

Учебное пособие 

для студентов специальностей 200100, 200200 
и направлений 553100, 551600, 550700 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института 

МОСКВА 2002 

УДК 514.74 
А50 

А50 
Аливердиева Э.К, Левашкина Е.В., Орлов ММ Тензорная алгебра и абсолютное дифференциальное исчисление: Учеб. 
пособие.-М.:МИСиС, 2002.-84 с. 

В учебном пособии представлен теоретический материал по курсу 
"Тензорный анализ" и банк задач для проверки усвоения пройденного материала. В отличие от имеющейся литературы по рассматриваемым вопросам 
в данном пособии носитель объектов риманова пространства считается априори заданным, алгебраические и дифференциальные свойства объектов 
перенесены из основного текста в задачи, неиспользуемые в приложениях 
алгебраические и дифференциальные свойства псевдообъектов не рассматриваются. 

Пособие поможет студентам ознакомиться с основными понятиями 
тензорного анализа, приобрести практические умения и навыки в оперировании объектами, их алгебраическими и дифференциальными свойствами, а 
преподавателям - организовать аудиторную и самостоятельную работу студентов по изучаемому курсу, а также осуществлять контроль за ходом выполнения учебного графика. 

Предназначено для студентов факультета ПМП, обучающихся по 
специальностям 200100, 200200 и направлениям 553100, 551600, 550700. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение 
5 

1. Алгебра тензорных полей 
5 

1.1. Исходные понятия и обозначения 
6 

1.1.1. Индексные обозначения 
6 

1.1.2. Евклидово пространство JlT 
7 

1.1.3. Риманово пространство 
8 

1.1.4. Скалярные, векторные и тензорные поля 
8 

1.1.5. Операции над тензорными полями 
9 

1.1.6. Симметричные тензорные поля 
10 

1.1.7. Антисимметричные тензорные поля и 
дифференциальные формы 
11 

1.2. Координатное представление риманова пространства 
15 

1.2.1. Криволинейные координаты 
15 

1.2.2. Контравариантное представление касательных 
пространств 
17 

1.2.3. Ковариантное представление касательных 
пространств 
20 

1.3. Аналитическое представление тензорного поля 
22 

1.3.1. Общий вид аналитического представления 
22 

1.3.2. Преобразование компонент тензорного поля 
25 

1.3.3. Инвариантная форма записи аналитического 
представления 
26 

1.3.4. Фундаментальный тензор риманова пространства 
27 

1.3.5. Операции поднятия и опускания индекса 
30 

1.3.6. Свертка тензорного поля 
32 

1.4. Векторные поля и диадики 
34 

1.4.1. Скалярное произведение векторных полей 
35 

1.4.2. Векторное и смешанное произведения векторных 

полей 
36 

1.4.3. Диадики 
38 

1.4.4. Алгебра диадиков 
40 

1.4.5. Диадики в трехмерном римановом пространстве 
42 

1.5. Псевдотензорные поля 
49 

1.5.1. Полилинейные формы в локальной карте 
49 

1.5.2. Преобразование касательных векторов локальных 

карт 
50 

3 

1.5.3. Тензорное поле в локальной карте 
52 

1.5.4. Псевдоскалярные поля 
54 

1.5.5. Псевдотензорные поля 
54 

2. Абсолютное дифференциальное исчисление 
57 

2.1. Дифференцирование скалярных и векторных полей 
57 

2.1.1. Абсолютный дифференциал и ковариантная 
производная скалярного поля 
58 

2.1.2. Свойства абсолютных дифференциалов векторных 
полей 
60 

2.1.3. Абсолютный дифференциал в контравариантном 
представлении векторного поля 
60 

2.1.4. Инвариантность абсолютного дифференциала 
62 

2.1.5. Абсолютный дифференциал в ковариантном 
представлении векторного поля 
65 

2.1.6. Ковариантная производная и ковариантное 
дифференцирование векторных полей 
66 

2.1.7. Символы Кристоффеля 1-го рода 
67 

2.2. Дифференцирование тензорных полей 
70 

2.2.1. Свойства абсолютных дифференциалов тензорных 
полей 
70 

2.2.2. Построение абсолютного дифференциала в 
аналитическом представлении тензорного поля 
70 

2.2.3. Инвариантность абсолютного дифференциала 
72 

2.2.4. Ковариантная производная и ковариантное 
дифференцирование тензорных полей 
73 

2.2.5. Дифференциальный оператор "набла" 
73 

2.2.6. Дифференциальные операторы в римановом 
пространстве 
75 

2.2.7. Абсолютная производная и параллелизм 
78 

Библиографический список 
83 

4 

ВВЕДЕНИЕ 

В тензорном анализе рассматриваются специальные математические объекты, тензоры многомерного обобщения поверхности, 
расположенной в пространстве, задаваемые в каждой точке риманова 
пространства и меняющиеся от точки к точке. Эти объекты представляют собой, следовательно, функции точки риманова пространства - тензорные поля. Алгебра тензорных полей обобщает теорию 
векторных пространств, линейных алгебр и их представлений. Абсо­
лютное дифференциальное исчисление тензорных полей является 
продолжением классического дифференциального исчисления и векторного анализа. Применяется тензорный анализ для описания пространств в криволинейных координатах и в теории поля в физике для 
построения моделей линейных анизотропных сред. 

1. АЛГЕБРА ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 

Простейшие алгебраические операции над тензорными полями - такие, как сложение тензорных полей и их внешнее произведение, являются обобщениями соответствующих алгебраических операций классического анализа над функциями и могут быть изложены 
в бескоординатной форме. Однако свертка тензорного поля и операции абсолютного дифференциального исчисления тензорных полей 
требуют для своего определения как координатного описания носителя тензорного поля - риманова пространства, так и самого тензорного поля. В этом случае тензорное поле характеризуется упорядоченным набором функций от криволинейных координат точки риманова пространства, которые выбираются в зависимости от аналитического представления тензорного поля. Операции над тензорными 
полями определяются так, чтобы их результат не зависел ни от координатного представления риманова пространства, ни от аналитического представления тензорного поля. 

5 

1.1. Исходные понятия и обозначения 

Рассмотрим только те алгебраические операции над тензорными полями, которые для своего определения не требуют координатного описания риманова пространства и аналитического представления тензорного поля, а следовательно, могут быть изложены в 
бескоординатной форме. Начнем со вспомогательных понятий и обозначений. 

1.1.1. Индексные 
обозначения 

в тензорном анализе широко используются индексы, которые 
пишут вверху или внизу справа от обозначаемого латинской буквой 
объекта в определенном порядке: на каждой позиции или один верхний индекс, или один нижний индекс, а на незаполненной позиции 
ставится точка, при этом не могут быть незаполненными обе позиции с одним и тем же номером и вверху, и внизу. Например, 

а:^, Jr,i?i;t, ИТ.П. 

Индексы бывают двух видов: немые или свободные. Немые 
индексы - это индексы суммирования, а по свободным индексам 
суммирование никогда не проводится. Использование этих видов 
индексов основано на следующих двух соглашениях: 1) о суммировании и 2) о ранге. Рассмотрим поочередно эти соглашения: 

1) соглашение о суммировании. Суммирование от 1 до размерности п риманова пространства производится по каждому немому индексу в отдельности, встречающемуся по меньшей мере дважды - один раз на верхней позиции и один раз - на нижней позиции. 
Обозначение немого индекса может быть изменено, поскольку немые индексы "взаимно уничтожаются" при суммировании. Разные 
суммирования в одном и том же произведении обозначаются разными немыми индексами; 

2) соглашение о ранге. Все свободные индексы принимают 
независимо друг от друга значения от 1 до размерности п риманова 
пространства. Свободные индексы - как верхние, так и нижние из 
различных частей равенства должны, соответственно, совпадать друг 
с другом, а само такое равенство, содержащее по R свободных индексов в разных своих частях, является сокращенной записью п" 

6 

уравнений. В производных вида did/ и Э/Э х* 
индекс к считается 
нижним индексом. 

ПРИМЕР. Изложенные соглашения об индексах позволяют 
кратко записать следующие суммы: 

а) Z^iw -В,, = С:„ как 4w -В,, = С.,,, 

б) X Z 4 -B.-Cl' = Ei, как 4 -С - Ei„ 

\к=\ 
п 
2 

В 

г=1 
J 

1.1.2. Евклидово пространство 
R"' 

Элементами евклидова пространства J/T являются упорядоченные наборы а = (а\а\...,а'")т 
действительных чисел. Эти 
упорядоченные наборы называются т-мерными векторами, а сами 
числа в этом наборе - компонентами: а' является f-й компонентой 
вектораа=(а\а\...,а'"). 

Любой вектор а е ]/Г можно умножить на любое действительное число ^, т.е. 

Х-а-а.Х-{Х-а\Х-а\...,Х-а'"), 

и любые два вектора а =(а\а\ 
..., а") и b =(b\b\ 
..., 6") из 
][Г можно сложить друг с другом 

а + 6 = ( а Ч б \ а Ч б \ . . . , а ' " + 6'") 

и скалярно умножить друг на друга 

а-Ь-а'-Ь' 
+ г-Ь\...,а'" 
+ Ь'". 

Величина 

\а\ = 4^ 

1 

л 

называется длиной или нормой т -мерного вектора а . Угол аЪ между векторами а и й определяется равенством 

cos ой = ^ ^ . 

|а|-|й| 

Элементы евклидова пространства называют еще многомерными точками. Связь между многомерной точкой и ей соответствующим вектором такая же, как между точкой пространства и ее радиус-вектором. 

-iA.Z. Риманово 
пространство 

Под «-мерным римановым пространством и, расположенным в евклидовом пространстве J/T, где п < т, понимается подмножество из ]/Г, в каждой точке М которого существует «-мерная касательная гиперплоскость П^ . Для любой точки Z касательной гиперплоскости П^ ш-мерный вектор Ш является вектором скорости параметризации некоторой кривой, лежащей в римановом пространстве а и проходящая через точку М. Вектор MZ называется 
касательным вектором в точке М риманова пространства а. Множество Ти касательных векторов в точке М является «-мерным подпространством евклидова пространства R- и называется касательным пространством в точке М риманова пространства а. В дальнейшем точку Z касательной гиперплоскости П^ будем отождествлять с касательным вектором MZ. Риманово пространство является 
многомерным обобщением расположенной в трехмерном пространстве поверхности. 

1.1.4. Скалярные, 
векторные 
и тензорные поля 

Риманово пространство представляет собой носитель основных объектов тензорного анализа - скалярные, векторные и тензорные поля. Дадим определение этих объектов. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вещественно значная функция А{М, Z,, 
Z2,..., Z,) точки М риманова пространства а и упорядоченного 

8 

набора (Zb ...,Z,)r 
касательных векторов в этой точке является линейной по каждому переменному касательному вектору и называется 
тензорным полем валентности г в римановом пространстве а. Переменная М 
называется 
полевой 
переменной, 
а 
переменные 
Zb ..., Z, - тензорными переменными. 

Тензорное поле валентности нуль называется скалярным полем, тензорное поле валентности один - векторным полем, а тензорное поле валентности два - диадиком. Множество тензорных полей 
валентности г в римановом пространстве а обозначим Т^а). Каждое 
из множеств Т,(а) содержит нуль-тензорное поле О как тождественно 
нулевую вещественно значную функцию 

O(M,ZbZ2,...,Z,) = 0 
точки М и упорядоченного набора г - касательных векторов в этой 
точке. 

Скалярные поля будем обозначать малыми греческими буквами: а{М), Р(7кО, у(М); векторные поля - строчными латинскими 
буквами: а{М), Ъ{М), с(М); а тензорные поля, включая диадики, прописными латинскми буквами : А {М), В{М), С{М) и т. п. 

1.1.5. Операции над тензорными 
полями 

Сложение и внешнее тензорное произведение тензорных полей являются обобщениями сложения и произведения функций в 
классическом анализе и поэтому могут быть изложены в бескоординатной форме. Дадим определение этих алгебраических операций. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Тензорные поля А{М, Z,, Z2,..., Z,) и В{М, 
Zb Z2,..., Z,) одной валентности г можно складывать: 

{А + В){М, Zi, Z2,..., Z,) = А(М, Zi, Z2,..., Z,) + В(М, Zi, Z2,..., Z,), 

в результате получится тензорное поле (А + В)(М, Z\, Z2,..., Z^) валентности г; 

2) тензорное поле А{М, Z,, Z^,..., Z,) валентности г можно 
внешним образом умножить на тензорное поле В (М, Z\ Zi,..., Z^) валентности/: 

{А ® В){М, Zb ..., Z,,,) = А(М, Zb Z2,..., Z,) ® i?(M, Z,,,, ... , Z,,,), 

в результате получится тензорное поле (А ® В)(М, Z,, ..., Z,,,) валентности г +/. 

Сложение тензорных полей одной и той же валентности обладает теми же свойствами, что и алгебраическая операция сложения 

9