Теория функций комплексного переменного

Москва 2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

Кафедра математики

Э.И. Аливердиева
А.В. Сметюхова

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ  
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2440

УДК  517.5  
А50

Р е ц е н з е н т :  
канд. физ.-мат. наук, проф. В.В. Пташинский 

Аливердиева Э.И.
А50 Теория функций комплексного переменного : учеб. пособие / 
Э.И. Аливердиева, А.В. Сметюхова. – М.: Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2018. – 116 с.
ISBN 978-5-906953-32-2

Настоящее учебное пособие содержит задачи по основным разделам теории функций комплексного переменного и операционного исчисления в соответствии с программой изучения указанных дисциплин. В каждом разделе 
приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, 
формулы) и подробное решение типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 11.03.02; 11.03.04; 22.03.01; 28.03.01; 28.03.03.

УДК 517.5

 Аливердиева Э.И., 
Сметюхова А.В., 2018
ISBN 978-5-906953-32-2
 НИТУ «МИСиС», 2018

Оглавление

1. Комплексные числа и действия с ними ...............................................4
1.1. Алгебраическая форма комплексного числа .................................. 4
1.2. Действия с комплексными числами ................................................ 4
1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа ......................... 5
1.4. Показательная форма комплексного числа .................................... 5
1.5. Степень комплексного числа ........................................................... 5
1.6. Корень n-й степени из комплексного числа ................................... 6
2. Дифференцирование функции комплексной переменной ..............17
2.1. Производная функции комплексной переменной ....................... 17
2.2. Критерий дифференцируемости в точке ...................................... 18
2.3. Аналитические функции ................................................................ 18
3. Интегрирование функции комплексной переменной ......................23
3.1. Первообразная ................................................................................. 23
3.2. Интегрирование функции комплексной переменной ................. 23
4. Интегральные теоремы Коши ............................................................31
4.1. Теорема Коши для односвязной области ..................................... 31
4.2. Теорема Коши для многосвязной области ................................... 31
4.3. Интегральная формула Коши ........................................................ 32
5. Ряды Лорана .........................................................................................40
6. Особые точки .......................................................................................45
7. Вычеты .................................................................................................50
8. Теорема Коши о вычетах ....................................................................54
9. Применение вычетов к вычислению  
определенных интегралов ......................................................................64
9.1. Интегралы от рациональных функций ......................................... 64
9.2. Интегралы от произведения рациональной функции  
на тригонометрическую функцию ( sinλx или cosλx ) ....................... 74
10. Операционное исчисление ...............................................................82
11. Применение операционного исчисления к решению  
линейных дифференциальных уравнений с постоянными 
коэффициентами и систем линейных дифференциальных  
уравнений с постоянными коэффициентами .......................................93
Задачи для самостоятельного решения ..........................................113
Библиографический список .................................................................115

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА  
И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

Комплексные числа впервые появились при вычислении корней 
кубических уравнений.
Для разрешения возникшей проблемы итальянский ученый Рафаэль 
Бомбелли (1526–1572) ввел в математику комплексные числа. Но только после появления в XIX в. работ К. Гаусса (1777–1855) и Ф. Бесселя 
(1784–1846) использование комплексных чисел стало общепринятым.

1.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Говорят, что комплексное число z задано в алгебраической форме, 
если оно имеет следующий вид: z
x
iy
=
+
, где x и y – действительные 
числа, а мнимая единица i определяется условием 
2
1
i =- . Число x  
называется действительной частью числа комплексного z
x
iy
=
+
 и 
обозначается 
Re
x
z
=
. Число 
Im
y
z
=
 – это мнимая часть комплексного числа. 

1.2. Действия с комплексными числами

Число z
x
iy
=
 называется комплексно сопряженным к комплексному числу z
x
iy
=
+
. При нахождении комплексно сопряженного 
числа надо изменить знак мнимой части исходного числа.
Суммой двух комплексных чисел 
1
1
1
z
x
iy
=
+
 и 
2
2
2
z
x
iy
=
+
 называется число
1
2
1
2
(
)
(
)
u
x
x
i y
y
=
+
+
+
.
Разностью двух комплексных чисел 
1
1
1
z
x
iy
=
+
 и 
2
2
2
z
x
iy
=
+
 называется число
1
2
1
2
(
)
(
)
u
x
x
i y
y
=
+
.
Таким образом, сумма (разность) комплексных чисел является 
комплексным числом, действительная часть которого равна сумме 
(разности) действительных частей, а мнимая часть равна сумме (разности) мнимых частей.
При 
нахождении 
произведения 
комплексных 
чисел 

(
)(
)
1 2
1
1
2
2
z z
x
iy
x
iy
=
+
+
 нужно раскрыть скобки и воспользоваться равенством 2
1
i =- .
При нахождении частного комплексных чисел 
1

2

z
z  нужно ум
ножить числитель и знаменатель дроби на комплексное число 

2
2
2
z
x
iy
=
, которое является комплексно сопряженным к знаменателю 
2
2
2
z
x
iy
=
+
.

1.3. Тригонометрическая форма  
комплексного числа

Каждому комплексному числу z
x
iy
=
+
 поставим в соответствие 
точку с координатами (
)
;x y  на координатной плоскости XOY . Это 
геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Перейдем от декартовых координат (
)
;x y  к полярным координатам (
)
;ϕ
r
: 
cos , 
sin
ϕ
ϕ
x
r
y
r
=
=
. Тогда комплексное число z
x
iy
=
+
запишется в виде

(
)
cos
sin
ϕ
ϕ
z
r
i
=
+
. 

Эта форма называется тригонометрической формой комплексного 
числа.
Полярный радиус 
2
2
r
x
y
=
+
 называется модулем комплексного 
числа z
x
iy
=
+
 и обозначается z .
Полярный угол ϕ , определяемый из условия tgϕ
y
x
=
, называется 
аргументом комплексного числа z
x
iy
=
+
 и обозначается Arg z .
Главное значение аргумента argz  – это аргумент комплексного 
числа z , удовлетворяющий условию 
arg
π
π
z
- <
£
.

1.4. Показательная форма комплексного числа

Верна следующая формула Эйлера (1707–1783):

cos
sin
ϕ
ϕ
ϕ
ie
i
=
+
.

Тогда комплексное число 
(
)
cos
sin
ϕ
ϕ
z
r
i
=
+
 можно представить 
в виде 
ϕ
i
r
e
=
.
Это показательная форма комплексного числа.

1.5. Степень комплексного числа

При нахождении n-й степени комплексного числа нужно представить это число в тригонометрической форме 
(
)
cos
sin
ϕ
ϕ
z
r
i
=
+
 и 
применить формулу Муавра (1667–1754)  – Лапласа (1749–1827):

(
)
cos
sin
ϕ
ϕ
n
n
z
r
n
i
n
=
+
.

1.6. Корень n-й степени из комплексного числа

При нахождении n-й степени из комплексного числа нужно представить это число в тригонометрической форме 
(
)
cos
sin
ϕ
ϕ
z
r
i
=
+
 и 
воспользоваться формулой

2
2
cos
sin
,
0,1,...,
1.
ϕ
π
ϕ
π
n
n
k
k
z
r
i
k
n
n
n

æ
ö
+
+
÷
ç
=
+
=
÷
ç
÷÷
çè
ø

Геометрически эти n  значений корня представляют собой вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n r  
с центром в начале координат.

Пример 1. Доказать следующие соотношения: а) 
1
2
1
2
z
z
z
z
=
; 
б)
 
1 2
1
2
z z
z z
=
.
Доказательство. По определению имеем

а)
(
)
(
)
(
) (
)
 1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
z
z
x
x
i y
y
x
iy
x
iy
z
z
=
=
=
;

б) 
(
)(
)

(
)

 1 2
1
1
2
2
1 2
1 2
2 1
1 2

1 2
1 2
1 2
2 1

z z
x
iy
x
iy
x x
ix y
ix y
y y

x x
y y
i x y
x y

=
+
+
=
+
+

=
+
+

=

=

(
)
(
)
(
)

(
)(
)
 

1 2
1 2
1 2
2 1
1
2
2
1
2
2

1
1
2
2
1
2,

x x
y y
i x y
x y
x
x
iy
iy
x
iy

x
iy
x
iy
z z

=
+
=
=

=
=
 
что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:
а) 
4
3
z
i
=
+
; б) 
2
2 3
z
i
=- +
; в) 
7
z
i
=- - .

Решение: а) x = 4, y = 3, следовательно, главным значением аргумен
та будет 
3
arg
arctg 4
z =
, т.е. 
 
 
3
arg
arctg
2
,  
,
4
π
z
k
k
Z
=
+
Î
2
2
4
3
5
z =
+
= .

б) x = − 2, y = 2 3 , следовательно, главным значением аргумента 
будет

2 3
2
arg
arctg
arctg 3
2
3
3
π
π
π
π
π
z =
+
=
=
=
; 
(
)

2
2
2
2 3
4.
z =
+
=

в) x = − 7, y = − 1, следовательно, главным значением аргумента 
будет

1
arg
arctg 7
π
z =- +
;

(
)
(
)

2
2
7
1
5 2.
z =
+ =

Пример 3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) – 2; б) 2i , и в показательной форме: в) – 2; г) i .

Решение: а) Имеем 
(
)
( )

2
2
2
0
2
z =
+
= ; 
  
0
tg
0,
.
2
ϕ
ϕ
π
=
=
=
 Следовательно,

(
)
2
2 cos
sin
π
π
i
- =
+
;

б) 
( )
( )

2
2
0
2
2
z =
+
=
; 
  
2
tg
,
.
0
2
π
ϕ
ϕ
=
= +¥
=
 
Следовательно, 

 2
2 cos
sin
2
2
π
π
i
i
æ
ö÷
ç
=
+
÷
ç
÷÷
çè
ø ;

в) Имеем 
(
)
( )

2
2
2
0
2
z =
+
= ; 
  
0
tg
0,
.
2
ϕ
ϕ
π
=
=
=
 Следовательно, 

2
2
π
ie
- =
;

г) 
( )
( )

2
2
0
1
1
z =
+
= ; 
  
1
tg
,
.
0
2
π
ϕ
ϕ
=
= +¥
=
 Следовательно, 
2
1
.

π
i

i
e
=

Пример 4. Вычислить: а) 

8
1
;
1
i
i

æ
ö
- ÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
+
 б) (
)
7
2
2i
.

Решение: а) Представим число 
1
1
i
z
i
= +  в тригонометрической 

форме. Для этого выполним преобразования, чтобы выделить действительную и мнимую части нашего комплексного числа:

(
)(
)

(
)(
)

 

2

2
2
1
1
1
1
2
2
,
1
1
1
2
1

i
i
i
i
i
i
z
i
i
i
i
i

+
=
=
=
=
=+
+

значит, x = 0, y = − 1. Тогда  
 
1
tg
0
ϕ
=
=-¥,  
2
π
ϕ=-  и 
( )
(
)

2
2
0
1
1
z =
+ = . 

Таким образом, применяя формулу возведения в степень, получаем: 

8
8(cos8(
)
sin8(
))
2
2
1
cos( 4 )
sin( 4 )
1
π
π
π
π
i
z
i
=
=
+
+
=
.

б) Решаем аналогично: 
 
2
2
z
i
= , x = 2, y = − 2, значит

(
)

2
2
2
2
8
2 2
z =
+ =
=
, 
2
tg
1
2
ϕ
=
=-  и  
4
π
ϕ=;

(
)
7
7
7 3
7
7
2 2
cos7(
)
sin7(
)
2 2
2 cos(
)
sin(
)
4
4
4
4
π
π
π
π
z
i
i
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
=
+
=
+
=
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø

7 3
10
7
7
2 2
2 cos(
)
sin(
)
2
2 cos 2
sin 2
4
4
4
4
π
π
π
π
π
π
i
i
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö÷
÷
ç
÷
÷
ç
ç
ç
÷
=
=
=
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø

(
)
(
)
10
10
10
10
2
2
2
2
2 cos
sin
2
2
2
2
1
2
1
.
4
4
2
2
2
π
π
i
i
i
i

æ
ö
æ
ö
æ ö
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
=
+
=
+
=
+
=
+
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
è ø
è ø
ç
è
ø
è
ø

Пример 5. Найти все значения корня: а) 4
1
- ; б)  
 
3 i ; в) 
 
4
.i

Решение: а) Приводим комплексное число − 1 к тригонометрическому виду 
(
)
1
1 cos
sin
π
π
i
- =
+
.

Следовательно, 4
4
2
2
1
1 cos
sin
.
4
4
π
π
π
π
k
k
i
æ
ö
+
+
÷
ç
- =
+
÷
ç
÷÷
çè
ø  Полагая k = 0, 
1, 2, 3, найдем:

(
)
(
)
 
4
4
2
2
2
0 ,   
1
1 cos
sin
1
1
4
4
2
2
2
π
π
k
i
i
i

æ
ö
æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
=
- =
+
=
+
=
+
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷÷
è
ø
çè
ø

;

(
)

(
)

  4
4
2
2
1 ,  
1
1 cos
sin
4
4

3
3
2
1 cos
sin
1
;
4
4
2

π
π
π
π

π
π

k
i

i
i

æ
ö
+
+
÷
ç
=
- =
+
=
÷
ç
÷÷
çè
ø

æ
ö÷
ç
=
+
=
- +
÷
ç
÷÷
çè
ø

(
)

(
)

  4
4
4
4
2 ,  
1
1 cos
sin
4
4

5
5
2
1 cos
sin
1
;
4
4
2

π
π
π
π

π
π

k
i

i
i

æ
ö
+
+
÷
ç
=
- =
+
=
÷
ç
÷÷
çè
ø

æ
ö÷
ç
=
+
=
- ÷
ç
÷÷
çè
ø

(
)
(
)
    4
4
6
6
7
7
2
3 ,  
1
1 cos
sin
1 cos
sin
1
.
4
4
4
4
2
π
π
π
π
π
π
k
i
i
i
æ
ö
æ
ö
+
+
÷
÷
ç
ç
=
- =
+
=
+
=
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø

б) 
1 cos
sin
.
2
2
π
π
i
i
æ
ö÷
ç
=
+
÷
ç
÷÷
çè
ø  Следовательно,

3
3
2
2
2
2
1
.
3
3

π
π
π
π
k
k
i
cos
isin

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
+
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

Полагая k = 0, 1, 2, найдем:

(
)
(
)
 
 
3
3
3
1
1
0 ,  
1 cos
sin
1
3
.
6
6
2
2
2
π
π
k
i
i
i
i

æ
ö
æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
=
=
+
=
+
=
+
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷÷
è
ø
çè
ø

(
)
(
)
  
3
3
2
2
5
5
1
2
2
1 , 
1 cos
sin
1 cos
sin
3
.
3
3
6
6
2

π
π
π
π
π
π
k
i
i
i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
æ
ö
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
=
=
+
=
+
=
+
÷
ç
ç
÷
÷÷
ç
ç
÷
è
ø
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

(
)
 
3
3
4
4
9
9
2
2
2 ,  
1 cos
sin
1 cos
sin
3
3

3
3
cos
sin
0
.

6
6

2
2

π
π
π
π
π
π

π
π

k
i
i
i

i
i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
æ
ö
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
=
=
+
=
+
=
÷
ç
ç
÷
÷÷
ç
ç
÷
è
ø
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

=
+
= - =
в) 
1 cos(
)
sin(
)
2
2
π
π
i
i
æ
ö÷
ç
- =
+
÷
ç
÷÷
çè
ø. Следовательно, 

4
4
2
2
2
2
1 cos
sin
4
4

π
π
π
π
k
k
i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
- =
+
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

.

Полагая k = 0, 1, 2, 3, найдем:

(
)   
 
4
4
2
2
0 ,
1 cos
sin
cos(
)
sin(
)
cos
cos
4
4
8
8
8
8

π
π

π
π
π
π
k
i
i
i
i

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
- =
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

;

(
)    
4
4
2
2
3
3
2
2
1 ,
1 cos
sin
cos
sin
4
4
8
8

π
π
π
π
π
π
k
i
i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
- =
+
=
+
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

;

(
)    
4
4
4
4
2
2
2 ,
1 cos
sin
4
4

7
7
cos
sin
cos
sin
;
8
8
8
8

π
π
π
π

π
π
π
π

k
i
i

i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
- =
+
=
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

=
+
=
(
)  
4
4
6
6
2
2
3 , 
1 cos
sin
4
4

11
11
3
3
cos
sin
cos
sin
.
8
8
8
8

π
π
π
π

π
π
π
π

k
i
i

i
i

æ
ö÷
ç
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
- =
+
=
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

=
+
=
Пример 6. Найти множество точек на плоскости комплексного переменного z, которые определяются заданными условиями: 

а) 
(
)
  
3
–
arg
1
;
2
4
π
π
z
i
£
+ £
б) 
   
1
1,
0;
z
z ³
¹

в)
1
4;
z
i
- - £
 г) 1
2;
z
i
<
+ <
 

д) 
1
1;
1
z
z
<
+
 е) 
1
1
Im
.
2
z

æ ö÷
ç
<÷
ç ÷÷
çè ø

Рис. 1. Множество точек на комплексной плоскости переменного z, 

которые определяются условиями 
(
)
 
3
–
arg
1
2
4
π
π
z
i
£
+ £