Математика : основные понятия преобразования Лапласа

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2783

УДК 51 
 
М34

Р е ц е н з е н т ы: 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.С. Воробьев (ОИВТ РАН);
д-р техн. наук, проф. А.Ю. Репин (ГУЗ)

А в т о р ы: 
П.В. Макаров, А.Э. Адигамов, Н.В. Семенова, К.В. Курочкина

 
Математика : Основные понятия преобразования Лапласа : 
М34  
учеб. пособие / П.В. Макаров [и др.]. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2018. – 60 с.
ISBN 978-5-906846-55-6

Охватывает содержание нескольких основных разделов программы курсов «Математика», «Математический анализ», «Функции комплексного переменного» и «Дифференциальные уравнения». Кратко даны основные понятия 
теории операционного исчисления. Рассмотрены простейшие операции над 
оригиналами и изображениями (образами). Материал дан в объеме, достаточном для понимания различных курсов, изучаемых в дальнейшем. Рассмотрены 
также различные приложения теории операционного исчисления.
Теоретический материал сопровождается разобранными примерами и 
зада чами для самостоятельного решения, приведены варианты контрольных 
заданий.
Предназначено для студентов всех специальностей, а также аспирантам и 
соискателям.
УДК 51

 Коллектив авторов, 2018
ISBN 978-5-906846-55-6
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................................4
1. Понятие преобразования Лапласа .......................................................5
2. Изображение основных элементарных функций .............................14
3. Основные теоремы и свойства преобразования Лапласа ................17
4. Задачи и примеры их решения ...........................................................31
Приложение 1. Таблица основных изображений .................................53
Приложение 2. Таблица некоторых изображений функций,  
заданных графически..............................................................................55
Библиографический список ...................................................................58

ВВЕДЕНИЕ

Операционное исчисление появилось в начале XX в. как некоторый формальный метод интегрирования обыкновенных линейных 
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и 
их систем. Решение краевых задач для уравнений теплопроводности, 
диффузии и электродинамики классическими методами для некоторых задач связано с большими трудностями, поскольку эти решения 
часто получаются в виде интегралов или рядов, которые не очень 
пригодны для практического использования. Поэтому в теории в ряде 
случаев успешно применяется операционный метод, который позволяет получить не только точное решение краевой задачи, но и его 
асимптотическое выражение для малых и больших значений времени 
после начала процесса.
В основе методов операционного исчисления лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), позволяющих 
свести обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения 
к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные 
уравнения в частных производных – к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Операционное исчисление позволяет перейти в новое математическое пространство. Для этого над функциями производят преобразования, в результате которых решение дифференциальных, интегральных и иных уравнений сводится к простым арифметическим 
действиям.
Процедура операционного исчисления состоит в следующем:
 – переводим функции (оригиналы) в изображения;
 – оперируем вместо исходных функций их изображениями;
 – производим вычисление изображений;
 – получив результат, возвращаемся к исходным функциям (оригиналам).

1. ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА1

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое определяется соотношением

( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

∞
−
= ∫
.

Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Лапласа, а изображение интегрального преобразования Лапласа называют 
также изображением по Лапласу, поэтому для существования несобственного интеграла функция 
( )
f t  должна обладать определенными 
свойствами.
Определение. Функцией, подвергающейся преобразованию, т.е. 
функцией-оригиналом, называют любую комплексную функцию 
( )
f t  
действительного аргумента t  (вообще говоря, функция может принимать и комплексные значения), удовлетворяющую следующим условиям:
1. Функция 
( )
0
f t ≡
 для всех 
0
t <
.
2. Функция ( )
f t  удовлетворяет условиям Гёльдера2 всюду на оси t, 
кроме отдельных точек, где она имеет разрывы I рода, причем на каждом конечном интервале таких точек конечное число. Это означает, 
что для каждого t (кроме исключительных точек) существуют положительные постоянные A, 0
1
≤ α ≤ и 
0h  такие, что

 
(
)
( )
f t
h
f t
h

α
+
−
≤ Α
, 
(1)

для всех h , для которых 
0
h
h
≤
.
3. Существуют такие постоянные 
0
M >
,
0
s ≥
, что для всех t

 
( )

st
f t
Me
<
. 
(2)

Число 
0
inf
s
s
=
 называют показателем роста функции 
( )
f t , для 
ограниченных оригиналов, очевидно, 
0
0
s =
. Более точно в качестве 
показателя роста принимают нижнюю грань 
0s  таких чисел s , что 

( )

st
f t e−  остается ограниченной при t → ∞ .

1 Пьер Симон Лаплас (1749–1825) – французский математик.
2 Отто Людвиг Гёльдер (1859–1937) – немецкий математик. Условие Гёльдера – 
неравенство, в котором приращение функции оценивается через приращение ее аргумента.

Определение. В качестве преобразований, позволяющих перейти 
от исходной функции к ее изображению, применяется преобразование Лапласа, т.е. изображением функции 
( )
f t  (по Лапласу) называют 
функцию комплексной переменной p
is
+
, определяемую соотношением
 
( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

∞
−
= ∫
, 
(3)

где интеграл берется на положительной полуоси. Эту связь между 
функцией 
( )
f t  и ее изображением F(p) будем записывать символом

( )
{
}
( )
L f t
F p
=
 или 
( )
( )

.
.
F p
f t
=
 или 
( )
( )

.
.
F p
f t
→
.

Если интеграл (3) сходится, причем абсолютно и равномерно в полуплоскости 
0
Re p
s
s
≥
>
, то, являясь аналитической в полуплоскости 
0
Re
s
>
, называется Лапласовым изображением функции 
( )
f t , а 
f(t) оригиналом, или начальной функцией. Заметим, что при 
0
0
s
s
=
=
 
неравенство (2) не выполняется.
Если функция является изображением оригинала f(t), это записывается в виде F(p) = l{f(t)}, или 
( )
( )
L
F p
f t
→
, или 
( )
( )

.
.
F p
f t
=
.

Теорема 1. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено в полуплоскости 
0
Re p
s
>
, где 
0s  – показатель роста f(t), и является в этой полуплоскости регулярной функцией.

Доказательство. В самом деле, при 
0
Re p
s
s
=
>
 интеграл (3) абсолютно сходится, ибо в силу неравенств (1) и (2) он мажорируется 
сходящимся интегралом

( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

+∞
−
=
≤
∫
( )

0

pt
f t
e
dt

+∞
−
≤
∫

0

0

s t
st
i t
Me
e
e
dt

+∞
−
− δ
=
∫

0

0

s t
st
Me
e
dt

+∞
−
=
=
∫

(
)
0

0

s
s t
M
e
dt

+∞
−
=
∫

(
)
0

0
0
0

s
s t
M
M
e
s
s
s
s

−
+∞ =
−
−
  
(4)

(последнее равенство справедливо, так как 
0
0
s
s
−
<
), что и дает сходимость (даже абсолютную) интеграла в формуле (1).
Далее, в любой полуплоскости 
1
0
Re p
s
s
≥
>
 интеграл, получающийся из интеграла (3) дифференцированием по p, сходится равно