Математика: Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной
Покупка
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Авторы:
Сурская Ирина Валерьевна, Макаров Петр Витальевич, Адигамов Аркадий Энгелевич, Шерстов Сергей Вадимович
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 49
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-906846-43-3
Артикул: 752807.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Сборник содержит практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл». Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Некоторые разделы сборника начинаются с указания тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Сборник задач предназначен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 27.03.03: Системный анализ и управление
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
№ 2769 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» Кафедра математики Математика Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной Сборник задач Рекомендовано редакционно-издательским советом университета МИСиС Москва 2016
УДК 517.3 М34 Рецензент д-р техн. наук, проф. А.В. Горбатов Авторы: И.В. Сурская, П.В. Макаров, А.Э. Адигамов, С.В. Шерстов Математика : Предел функции. Дифференциальное и инте-М34 гральное исчисление функций одной переменной : сб. задач / И.В. Сурская [и др.]. - М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. - 49 с. ISBN 978-5-906846-43-3 Сборник содержит практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл». Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Некоторые разделы сборника начинаются с указания тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Сборник задач предназначен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС». УДК 517.3 ISBN 978-5-906846-43-3 © Коллектив авторов, 2016 © НИТУ «МИСиС», 2016
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ............................................ 4 I. Предел функции .......................................5 II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной . 13 III. Интегральное исчисление функций одной переменной ..26 IV. Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения ......................... 34 V. Несобственный интеграл .............................45 3
ПРЕДИСЛОВИЕ В сборнике подобраны практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл». Некоторые разделы начинаются с перечня тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Затем представлены индивидуальные задачи для каждого студента группы. Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Это позволит преподавателям пользоваться данным сборником при выполнении студентами не только контрольных аудиторных, но и домашних работ, ориентируясь на разный уровень подготовленности студентов. Сборник задач составлен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может использоваться студентами других вузов при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для проведения контрольных работ. Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по электронной почте: ivsurs@mail.ru. 4
I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1. Определение предела функции. Свойства пределов. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций. 3. Раскрытие неопределенностей. 4. Первый и второй замечательные пределы. Вариант 1 Вариант 2 1. lim x ^w 5 x + 2 3 x⁴+7x¹ ²+2; 1. lim x ^w 3 x⁴ + 5 x² + 2 . 5 x² - 8 x -1 ; 2. lim x ^2 2. lim x ^5 5x² - 26x + 5 x² - 2 x -15 ’ x² - 5 x + 6 2 x² - 3 x - 2 ; x ^0 x 1- cos 6x 4. lim-----;----; x ’ x 5 5. 5+ + x - >/13 - x 3. lim-----------. ------x >4 2 - V8 - x sin x 4. lim----- x>n x ; К arcsin² 4x 5. lim----------; x >0 x tg3 x 3x e -1 5. lim---------; x >-0 arctg 8 x 6. lim x ^w 2 x - 3 ^ x 2 x - 2 ) 6. lim x ^w 3 x + 4 ^ x 3 x + 2 J Вариант 3 Вариант 4 1. lim x ^w 3 x⁵ - 7 x³ + 5 . 2 x + 8 ; 1. lim x ^w 7 x⁴ + 5 x³ - 2 ; 3 x³ - 5 x² ’ 2. lim x ^-2 3 x² + 5 x - 2 x² + 3 x + 2 ’ 2. lim x ^-1 2 x² + x -1 x² +6x+5 3. lim x ^1 "Vx — 2- — x 8+ + x - л/10 - x 3. 6 6- - x - y/x - 4 lim----------------; x ^5 x - 5 4. lim xsin8x x>0' 1 - cos x 4. 5. lim x ^0 arctg 11 x e⁻⁷ x -1 5. sin² 3x lim——— ; x ^0 x³ + 2 x² 1- cos3x lim ; x ^0 x ■ arctg x 6. lim x ^w f 3 x - 5 \ L 3 x + 2 J 6. lim x ^w x + 5 x - 2 7x -1 5
Вариант 5 Вариант 6 1. lim x ^w 7 x⁴ + 3 x² + У5 . 1~T-x² + 3 x 1. lim x ^w 4 x³ + 5 x² -1 ; 5 x⁴ - 3 x ’ 2x² +9x+9 2. lim —----------; x ^-3 x² + 2 x - 3 x ,. lx +1 -11 - x 3. lim---. ------- x ^0 1+ + x -1 sin³ 7x 4. lim----2— ; x>⁰ хsin² 6x 2. lim x ^-3 3 x² + 8 x - 3 x² + 5x+ 6 ; 3. lim x ^4 2 - V8 - x x - 4 tg² 3x 4. lim—=-2— ; x>0 sin² 5x e⁷x 5. lim e e³x x >-0 tg 8 x 3x , г™ I x +1 ] 6. lim I------I x>v I x + 5 J ; cos4x-cos2x 5. lim-------2---x >⁰ arcsin² 3 x 6. lim x ^w 2 x +1 2 x - 5 4x+1 1. lim x ^w Вариант 7 2 x + 7 3 x³ + 5 x + 2; Вариант 8 1. lim x ^w 6 x³ + 8 x² -1 3 x + 2 ; 2. lim x ^-3 ² -4x-21 3x² +11x+6 2. lim x ^1 3. lim—== x -14 3-x ; 4 x + x — 5 x² + 2 x - 3 ’ 3. lim x ^3 ; — Г — sin² 2x 4. lim—------; x >0 x + 3 x cosx-1 4. lim-------x^2" x - 2л lncos5x 5. lim--------; x >0 ln cos 8 x x⁴ sin — 5 5. lim 4 x ^0 arctg⁴ x ; 6. lim x ^w 5 x + 4 5 x - 3 2x+3 6 x² , I 3 x² - 2 ) 6. lim I —2-----I x^w 1 3 x² + 4 J 6
Вариант 9 Вариант 10 1 lim x ^w 8 x³ - 4 x +1 3 x² - 7 x + 5 ; 9x⁶+ 3x² 1. lim ----- x>' 2x³+3x +1 -1 ; x² -14x+40 2. lim —2-------; x>⁴ 6x² - 23x - 4 2. lim 2x² 2 -7x-4 -2x-8 3 lim x ^3 4 lim 7- - x - 2 x - 3 ; x² 3. lim x ^2 x-2 x-1 - Тэ ; — x 5 lim 1- cos 4x lncos2x sin⁴ 9x 4. lim——---x^0 х² tg² 2x ; x>0 x sin 5x ; 2x² л г I x ⁺ ⁴ I 6 . lim I —------I x >v 1 x² - 5 J 1 - e⁻⁴x 5. lim---------x >0 arcsin 3 x 6. lim x ^w 4x+10 4x-7 ; 3x+1 1. lim x ^w Вариант 11 7x² +3x-2 Вариант 12 2. lim x ^-4 x⁴+ 5x³+ 4 3 x² +14 x + 8 x² + 2 x - 8 ’ 1. lim x ^w 2. lim x ^1 5 x + 4 9 x² + 8 x - 7 ; 4 x² - 7 x + 3 2 x - x -1 .. x- - 2 - 4- - x 3. lim-------------- x >³ x - 3 sin² 5x 4. lim—------- ; x > 2 x² + x 1- cos7x 5. lim------2— ; x>⁰ arcsin² 5x ; 3. lim x ^1 1-x x - 2- - x tg4x 4. lim —²-----; x^0 x cos 2x 6. lim x ^w 5x -1I⁴x ln (x + 1) - sin² 5x 5. lim—--------------; x ^0 arcsin 4 x 5x+7 6. lim x ^w 3x-4 x+7 I x-10 7
Вариант 13 Вариант 14 1. lim x ^w 3 x⁶ + 3 x³ -1 . x⁵ + 4 x + 2 ’ 1. lim x ^w 7 x⁴ - 3 x³ + 5 . 1° x⁵ + 5 x + 3 ; 2. lim x ^5 2. lim x ^-1 7 x² + 9 x + 2 ; 2 x² + x -1 2x² - 6x - 20 ; x² - 2 x -15 ’ . x- - 2 -1 3. lim---------; x>³ x - 3 3. lim x ^3 x - 3 5/7 — x — x X + 1 4. lim-tg-²- ; x >° x + 3 x 3x Sin — 5. lim----4- ; x ° arctg x 5x-2 i I 6x + 3 ^ 6. lim I-----I x ^w I 6 x -1 J 1- cos4x 4. lim--------; x >° . x x Sin — 2 8x 3x e8x ₋e3x 5. lim---------; x >° arctg 4 x 4x-5 6. lim x ^w 2 x - 3 2 x + 5 Вариант 15 Вариант 16 1. lim x ^w 5 x⁵ + 4 x - 6 3 x⁶ - 5 x +10 ; 1. lim x ^w 9 x⁹ + 7 x ⁷ 3 x³ - 2 x² +1; 2. lim x ^2 3 x² - 7 x + 2 . 2 x² - 3 x - 2 ; 2. lim x ^-4 x² - 3x - 28 3 x² + 8 x -16 ; 3. lim x ^5 a/9 - x x-5 3. lim x ^2 x - 2 x-^1 -1 ; 4. lim sin²10x x>° tg 4x ■ sin 5x x² - 6x+5 4. lim---------; x^⁵ sin(x - 5) cos8x-1 5. lim-----2— ; x >⁰ arcsin² 3x 3 x + 7 Y x 5. lim x ^° arctg² 9 x ( e ⁻ ⁸ x -1) tg x 6. lim x ^w 3x-8 6. lim x ^w 2x-1 6 x + 7 1 6x-4 8
1. lim x ^w Вариант 17 x² -3x+2 2. lim x ^-2 5x+2 3 x² + 8 x + 4 . 2 x² + 7 x + 6 ; 1. lim x ^w Вариант 18 (30x⁷ + 5)(x +1) 2. lim x ^5 71 - x - 2 3. lim ----=— x>³ Vx - 2 -1 ; 3. lim 10-x⁸ x² + x - 30 4x² -15x - 25 ; x-4 ; - V13 - x ’ 3 _____ 4x² 4. lim x >⁰ tg3x ■ sin² 7x ; In (2x +1)- tg² 4x 5. lim—---------- 6. lim x ^w arcsin9x 3x+2 5 x - 2 | ; 8+2x-x² 4. lim--------- ; x>⁴ sin(4 - x) lncos3 x x >0lncos7x ’ 5 x + 4 6. lim x ^w 5x+1 x -10 ] x-7 1. lim x ^w Вариант 19 (x+5)³+3x-1 2. lim x ^-3 5x³ +4x+1 2 x² + 9 x + 9 4 x² +11 x - 3 ; ; 1. lim x ^w Вариант 20 (30 - x)(x³ +1) 2. lim x ^-5 5x⁴ -1 ; 4 x² +19 x - 5 2 x² +13 x +15 ; V8⁻ x 3. lim--- x>4 x - 4 sin² 5x 4. lim-------- ; x >0 x sin 2 x 1- cos9x 5. lim-------- x >0 x arcsin x x ; ; 2x² +1 , I 3 x² - 2 ) 6. lim I —2-----I x^w 1 3x² + 5 J 3. lim x ^3 4. lim V1 + x - 2 x - 3 ; 1- cos 4x x>0 x tg2x 1-e 5. lim-- -5x x>0 sin3x 6. lim x ^w ; ; 3x+4 5 x - 8 | 5x+5 9
1. lim x ^w Вариант 21 3 x⁵ + x - 4 _ >9 x⁵ - 4 x +1; Вариант 22 1. Um (3x22 ⁺ "2x ⁻ ⁴⁾. x^w (x -1)(x² - 2x) 2. lim x ^-7 2x² + 9x - 35 3x² +17x - 28 ; (x-2)² 2. lim 5x² 2x² 18 x - 8 4 x -16 ; 3. lim -----=----= x >; Vx -1 - V3 sin² 4x 4. lim---------; x >⁰ x³ ctg 3 x ; x 3. lim _ x - V8 2 - Y8 - x x ~i=; xx 4. lim 1 - cos 5x x >0 x - 3 x 2; e²x 5. lim e -e x ^+0 arctg 8 x ; arcsin³ 8x 5. lim--------2— ; x >⁰sin xtg 8x 6. lim x ^w 7x -10 ^6x ⁺ ³ 7x+1 6. lim x ^w x+5 4 x + 9 ) 4x-8 1. lim x ^w Вариант 23 (7-x²)(2x³+4) 2. lim x >' 6 x x⁵ + 10 x² - 25 . ² - 29x - 5 ; ; 1. lim Вариант 24 9x³+2x²+1 x>' (x 2. lim 3. lim 4. lim x² x² ctg x x>0 sin 2x ; ² - 4)(x +1) 8x² 6x² -5x-3 x-5 5. lim—--- x ^0 ex -1 ; 6. lim x ^w 3 x - 4 Y x⁺⁵ 3x+10 3. lim = x ^1 <8 + x 4. lim x-1 - V10 - x ’ sin(x - 3) x'" x 2 6; -x-6 ln (cos 4 x ) 5. lim—¹—2—- ; x>⁰ arcsin² 7 x 6. lim x ^w 4 x -1Y x⁺¹ 4x + 5 10
1. lim x ^w Вариант 25 (x - 4)(13 - x) 2. lim x ^-5 3. lim x ^0 4. lim 8 x² + 5 x - 2 ’ x² + 3 x -10 4x² + 23x +15 ’ 1 + x² -1 ---------; x 4 - x² 1. lim x ^w Вариант 26 4 x² + 8 x - 5 2 x - 3 • 2. lim x^i 2x' 3. lim x ^3 x³ -1 2 x - 5 ’ x x — 2 — 4 - — x x +1 - 2 • x >2 sin(2 - x) x x tg5 x 5. lim-----2— • x >⁰ arctg² 9 x • 4. lim 1 - cos3x • 2 • Sin x 5. lim x ^0 e tg 3x ,6 x e² x • а г f ⁷ x - 4 Yx 6. lim I-----I x ^w I 7 x +10 J 6. lim x ^w 5 x - 8 5 x +1 x-7 1. lim x ^w Вариант 27 (x - 2)⁴ + 2x Вариант 28 2. lim x ^-3 3 x⁴ - 5 x² -1’ 4 x² + 9 x - 9 7 x² +10 x + 3 ; 1. lim x ^w 2. lim x ^-2 3. lim x ^5 4. lim x ^V lx -1 - 2 • x - 5 ’ sin 2x ---— • 3. lim x ^5 7 x³ + 4 x + 2 . 4x +1 - (10 - x)³ ; x² - 3 x -10 9x² + 22x + 8 ; (x - 5)² 6б - x - yjx - 4 x x arctg5 x 5. lim-------2---• x>⁰ arcsin² 7x z \5x-2 , f f x + 11 1 6. lim I-------I x>v I x - 9 J tg²2 x 4. lim-²—— ; x^⁰ sin 3 x x ln (4 x +1) 5. x™ lncos3x • 6. lim x ^w _ X 3 x +1 4 x +10 Vx 4 x - 7 11
Доступ онлайн
В корзину