Математика: Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной

№ 2769           МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
     «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»


   Кафедра математики






                Математика




            Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной


  Сборник задач


  Рекомендовано редакционно-издательским советом университета





МИСиС


Москва 2016

УДК 517.3 М34

Рецензент
д-р техн. наук, проф. А.В. Горбатов


Авторы: И.В. Сурская, П.В. Макаров, А.Э. Адигамов, С.В. Шерстов






        Математика : Предел функции. Дифференциальное и инте-М34 гральное исчисление функций одной переменной : сб. задач /

     И.В. Сурская [и др.]. - М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. - 49 с.
        ISBN 978-5-906846-43-3




         Сборник содержит практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл».
         Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Некоторые разделы сборника начинаются с указания тем, знание которых необходимо при выполнении заданий.

          Сборник задач предназначен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС».


УДК 517.3



ISBN 978-5-906846-43-3

© Коллектив авторов, 2016
© НИТУ «МИСиС», 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ............................................ 4
I. Предел функции .......................................5
II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной . 13
III. Интегральное исчисление функций одной переменной ..26
IV. Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения ......................... 34
V.  Несобственный интеграл .............................45

3

ПРЕДИСЛОВИЕ
   В сборнике подобраны практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл».
   Некоторые разделы начинаются с перечня тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Затем представлены индивидуальные задачи для каждого студента группы. Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Это позволит преподавателям пользоваться данным сборником при выполнении студентами не только контрольных аудиторных, но и домашних работ, ориентируясь на разный уровень подготовленности студентов.
   Сборник задач составлен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может использоваться студентами других вузов при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для проведения контрольных работ.
   Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по электронной почте: ivsurs@mail.ru.

4

I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
   1. Определение предела функции. Свойства пределов.
   2.   Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
   3. Раскрытие неопределенностей.
   4. Первый и второй замечательные пределы.


    Вариант 1

    Вариант 2


1. lim
x ^w

5 x + 2
3 x⁴+7x¹ ²+2;

1. lim
x ^w

3 x⁴ + 5 x² + 2 .
5 x² - 8 x -1 ;

2. lim
x ^2

2. lim
x ^5

5x² - 26x + 5
x² - 2 x -15 ’

x² - 5 x + 6
2 x² - 3 x - 2 ;

x ^0    x

       1- cos 6x
4. lim-----;----;
   x ’ x

5 5. 5+ + x - >/13 - x
3. lim-----------. ------x >4   2 - V8 - x

sin x
4. lim-----
x>n x 
;
К

arcsin² 4x
5.  lim----------;
x >0 x tg3 x

          3x
         e -1
5.  lim---------;
   x >-0 arctg 8 x

        6. lim
          x ^w

2 x - 3 ^ x
2 x - 2 )

6. lim
x ^w

3 x + 4 ^ x
3 x + 2 J


    Вариант 3

    Вариант 4


        1. lim

           x ^w

3 x⁵ - 7 x³ + 5 .
2 x + 8 ;

1. lim
x ^w

7 x⁴ + 5 x³ - 2 ;
3 x³ - 5 x² ’

2. lim
x ^-2

3 x² + 5 x - 2
x² + 3 x + 2 ’

2. lim
   x ^-1

2 x² + x -1 x² +6x+5

3. lim
x ^1

"Vx — 2- — x 8+ + x - л/10 - x


    3.


6 6- - x - y/x - 4 lim----------------;
x ^5     x - 5

4. lim

xsin8x

x>0' 1 - cos x


    4.


5. lim
x ^0

arctg 11 x e⁻⁷ x -1


    5.


sin² 3x lim——— ;
x ^0 x³ + 2 x²
1-   cos3x lim  ;
x ^0 x ■ arctg x

6. lim
x ^w

f 3 x - 5 \
L 3 x + 2 J

6. lim
x ^w

x + 5
x - 2

7x -1

5