Математическая статистика : проверка гипотезы о виде закона распределения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2976 

Кафедра математики

И.В. Данченков 
В.А. Карасев 
 

Математическая статистика

Проверка гипотезы о виде закона 
распределения 

Практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2017 

УДК 519.2 
 
Д17 

Р е ц е н з е н т  
канд. экон. наук, проф. В.Ф. Михин 

Данченков И.В. 
Д17  
Математическая статистика : проверка гипотезы о виде закона распределения : практикум / И.В. Данченков, В.А. Карасев. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 54 с. 
ISBN 978-5-906846-83-9 

Настоящее издание содержит описание индивидуального задания (лабораторной работы) по теме «Проверка гипотезы о виде закона распределения». В 
первом разделе приведены необходимые для выполнения работы теоретические сведения. Во втором разделе изложено подробное решение четырех различных вариантов. Далее представлены варианты индивидуальных заданий. 
Предназначен для студентов всех направлений подготовки. 

УДК 519.2 

 
 
ISBN 978-5-906846-83-9 

 И.В. Данченков, 
В.А. Карасев, 2017 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Краткие теоретические сведения ...................................................... 4 
1.1. Основные понятия математической статистики ...................... 4 
1.2. Статистические оценки параметров распределения ................ 6 
1.3. Проверка статистических гипотез ............................................. 8 
2. Примеры выполнения индивидуальных заданий ............................ 13 
Пример 1 ............................................................................................. 13 
Пример 2 ............................................................................................. 20 
Пример 3 ............................................................................................. 27 
Пример 4 ............................................................................................. 33 
3. Варианты индивидуального задания ................................................ 41 
Литература .............................................................................................. 44 
Приложение 1. Основные законы распределения ............................... 45 
Приложение 2. Значения функции Ф(х) ............................................... 49 
Приложение 3. Квантили хи-квадрат распределения 
 
2
p k

 ............ 51 

 

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

1.1. Основные понятия 
математической статистики 

Математическая статистика – это раздел математики, в котором 
изучаются математические методы систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических 
выводов. 
Если используемая совокупность объектов состоит из очень 
большого их числа, то провести сплошное её обследование практически невозможно. 
Выборкой называется серия повторных измерений случайной величины, извлечённая из генеральной совокупности. 
Генеральной совокупностью называется множество (гипотетическое) всех возможных результатов измерения некоторой величины, 
которые могут быть получены в данных условиях. 
Объёмом совокупности называется число объектов этой совокупности. 
Пусть для изучения количественного признака X из генеральной 
совокупности извлечена выборка: x1 (наблюдалась n1 раз), x2(n2), … , 

xm(nm), тогда 

1

m

i
i
n
n





 – объём выборки. 

Вариантами называются наблюдаемые значения xi признака X. 
Вариационным рядом называется последовательность вариант, 
записанных в возрастающем порядке. 
Частотами называются числа наблюдений ni. 
Относительными частотами называются отношения частот к 
объёму выборки: 

 
.
i
i
n
w
n 
 

Статистическим распределением выборки называется перечень 
вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni или 
относительных частот wi. 
В статистическом распределении выборки сумма всех частот равна 
объёму выборки n, а сумма всех относительных частот равна единице. 

Статистическое распределение выборки является эмпирическим аналогом распределения случайной величины в теории вероятностей. 
Простым статистическим рядом называется таблица статистического распределения выборки. 
Если число измерений является большим, то для удобства анализа 
статистического материала производится его группировка: весь интервал полученных значений величины X разбивается на l равных 
частичных интервалов 
1
[
;
)
k
k
x
x

 длиной h каждый. 
Если ni – частота случайной величины, попадающей в i-й интервал, то 

i
i
n
w
n

 – относительная частота, соответствующая интервалу 

1;
i
i
x
x

. 

Если X – непрерывная случайная величина, то её эмпирический закон распределения может быть представлен гистограммой частот, т.е. 
эмпирическим аналогом плотности распределения (плотности вероятности) непрерывной случайной величины в теории вероятностей. 
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая 
из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интер
валы длиной h, а высоты равны отношению 
in
h  (плотность частоты). 

Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки n. 
Гистограммой относительных частот называется ступенчатая 
фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых слу
жат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению 
iw
h  

(плотность относительной частоты). 
Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех 
относительных частот, т.е. единице. 
Эмпирический закон распределения для случайной величины X 
(непрерывной или дискретной) можно записать, а также графически 
изобразить по её вариационному ряду и с помощью эмпирической 
функции распределения.  
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция F(x), определяющая для каждого значения x относительную частоту события X < x: 

 
 
,
xn
F x
n

 

где nx – число вариант, меньших x; 
n – объём выборки. 

Свойства функции F(x): 
1) 
 
0
1
F x

 ; 

2) 
 
F x  – неубывающая функция; 
3) если x1 – наименьшая варианта, xm – наибольшая варианта, то 
 
0
F x 
 при 
1
x
x

 и 
 
1
F x   при 
m
x
x

. 

1.2. Статистические оценки параметров 
распределения 

Пусть изучается количественный признак генеральной совокупности, и путём определённых обоснований устанавливается, какое 
именно распределение (предположительно) имеет этот признак. После этого необходимо оценить параметры, определяющие это распределение (например, математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение , если распределение нормальное, или параметр  , если распределение Пуассона и т.п.). 
При исследовании имеются лишь данные выборки, через эти данные и надо выразить оцениваемый параметр, т.е. надо найти функцию от наблюдаемых случайных величин (например, для оценки математического ожидания какого-либо признака случайной величины 
такой функцией служит среднее арифметическое наблюдаемых значений признака). 
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется функция от наблюдаемых случайных величин. 
Точечной оценкой называется статистическая оценка, которая 
определяется одним числом. 
Несмещённой называется точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме 
выборки. Иначе говоря, несмещённость означает отсутствие систематической ошибки (т.е. ошибки одного и того же знака) при повторных применениях алгоритма. 
Смещённой называется точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. 
Несмещённой оценкой генеральной средней (математического 
ожидания) служит выборочная средняя