Высшая математика. Ряды Фурье. Преобразование Фурье

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ  

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ 

УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

№ 2975 

Кафедра математики

Г.М. Сёмина
И.В. Данченков

Высшая математика

Ряды Фурье. Преобразование Фурье

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

Москва 2018

УДК 517.518.45 
 
С30 

Р е ц е н з е н т  

д-р физ.-мат. наук, проф. А.Л. Петелин 

Сёмина Г.М. 

С30  
Высшая 
математика 
: 
ряды 
Фурье. 
Преобразование 

Фурье : практикум / Г.М. Сёмина, И.В. Данченков. – М. : Изд. 
Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 47 с. 

ISBN 978-5-906846-84-6 

Практикум содержит примеры решения индивидуальных заданий, а так
же сами задания по разделу «Ряды Фурье. Преобразование Фурье». В практикуме приведено подробное решение типового варианта и даны варианты 
заданий. Число вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому 
студенту. 

Предназначен для студентов всех направлений подготовки. 

УДК 517.518.45 

 
 
ISBN 978-5-906846-84-6 

 Г.М. Сёмина, 

И.В. Данченков, 2018 

 НИТУ «МИСиС», 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

Занятие 1. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 ............... 4 

1.1. Решение типовых задач ................................................................ 4 
1.2. Варианты для самостоятельной работы ...................................... 8 

Занятие 2. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l .............. 18 

2.1. Решение типовых задач .............................................................. 18 
2.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 21 

Занятие 3. Представление функций интегралом Фурье ...................... 32 

3.1. Решение типовых задач .............................................................. 32 
3.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 35 
 

Занятие 1 

Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 

Для изучения этой темы следует проработать теоретический ма
териал по рекомендуемой литературе и разобрать приведенные в ней 
примеры. 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – 

М.: Наука, 1972. – Т. 2. – С. 308–341. 

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического 

анализа. – М.: Наука, 1971. – С. 696–714. 

3. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И. Круч
ковича. – М.: Высш. шк., 1973. – С. 491–495. 

Вопросы для самоконтроля 

1. Дать определение тригонометрического ряда. 
2. Написать формулы коэффициентов Фурье для периодической 

функции f(x) с периодом 2. 

3. Дать определение кусочно-монотонной функции. 
4. Сформулировать необходимые и достаточные условия разло
жения функции f(x) в ряд Фурье. 

5. Написать формулу представления периодической функции f(x) 

с периодом 2 в ряд Фурье. 

6. Написать формулы коэффициентов Фурье для четных и нечет
ных функций. 

1.1. Решение типовых задач 

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную 

уравнениями 

 
 

2
1

0
x
f x


 



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

Решение. Построим график этой функции: 

 

Очевидно, что функция f(x) на отрезке [–; ] удовлетворяет усло
виям Дирихле, т.е. она ограничена и кусочно-монотонна. Определяем коэффициенты ряда Фурье. Находим 

 
 



0
0
2

0

0

1
1
1
1
2
1
0
2 2

x
a
f x dx
x
dx
dx
x





















 




 = 

 





2
1
1 ;

      

 

 
 



0

0

1
1
cos
2
1 cos
0cos
n
a
f x
nxdx
x
nxdx
nxdx




















 




 

 

0

2

1
1
1
2
cos
sin
sin
x
nx
nx
nx
n
n
n












 

 






2
2
2
2

1
2
2
2
2
cos
1
cos
1
1

n
n
n

n
n
n
n





 

 
 









 

 

2

0

4
n


 




при
при  
2 ,

2
1,

n
k

n
k





  

 
1, 2, 3, ....,
.
k 
  

 
 



0

0

1
1
sin
2
1 sin
0sin
nb
f x
nxdx
x
nxdx
nxdx


























 

 

  
 
 

 

 

                          

y 

x

0 

 
  
2  
3  
2
