Высшая математика. Ряды Фурье. Преобразование Фурье
Покупка
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 47
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-906846-84-6
Артикул: 752800.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Практикум содержит примеры решения индивидуальных заданий, а также сами задания по разделу «Ряды Фурье. Преобразование Фурье». В практикуме приведено подробное решение типового варианта и даны варианты заданий. Число вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Предназначен для студентов всех направлений подготовки.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ № 2975 Кафедра математики Г.М. Сёмина И.В. Данченков Высшая математика Ряды Фурье. Преобразование Фурье Практикум Рекомендовано редакционно-издательским советом университета Москва 2018
УДК 517.518.45 С30 Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук, проф. А.Л. Петелин Сёмина Г.М. С30 Высшая математика : ряды Фурье. Преобразование Фурье : практикум / Г.М. Сёмина, И.В. Данченков. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 47 с. ISBN 978-5-906846-84-6 Практикум содержит примеры решения индивидуальных заданий, а так же сами задания по разделу «Ряды Фурье. Преобразование Фурье». В практикуме приведено подробное решение типового варианта и даны варианты заданий. Число вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Предназначен для студентов всех направлений подготовки. УДК 517.518.45 ISBN 978-5-906846-84-6 Г.М. Сёмина, И.В. Данченков, 2018 НИТУ «МИСиС», 2018
СОДЕРЖАНИЕ Занятие 1. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 ............... 4 1.1. Решение типовых задач ................................................................ 4 1.2. Варианты для самостоятельной работы ...................................... 8 Занятие 2. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l .............. 18 2.1. Решение типовых задач .............................................................. 18 2.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 21 Занятие 3. Представление функций интегралом Фурье ...................... 32 3.1. Решение типовых задач .............................................................. 32 3.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 35
Занятие 1 Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 Для изучения этой темы следует проработать теоретический ма териал по рекомендуемой литературе и разобрать приведенные в ней примеры. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – С. 308–341. 2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971. – С. 696–714. 3. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И. Круч ковича. – М.: Высш. шк., 1973. – С. 491–495. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение тригонометрического ряда. 2. Написать формулы коэффициентов Фурье для периодической функции f(x) с периодом 2. 3. Дать определение кусочно-монотонной функции. 4. Сформулировать необходимые и достаточные условия разло жения функции f(x) в ряд Фурье. 5. Написать формулу представления периодической функции f(x) с периодом 2 в ряд Фурье. 6. Написать формулы коэффициентов Фурье для четных и нечет ных функций. 1.1. Решение типовых задач 1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную уравнениями 2 1 0 x f x при при 0, 0 . x x
Решение. Построим график этой функции: Очевидно, что функция f(x) на отрезке [–; ] удовлетворяет усло виям Дирихле, т.е. она ограничена и кусочно-монотонна. Определяем коэффициенты ряда Фурье. Находим 0 0 2 0 0 1 1 1 1 2 1 0 2 2 x a f x dx x dx dx x = 2 1 1 ; 0 0 1 1 cos 2 1 cos 0cos n a f x nxdx x nxdx nxdx 0 2 1 1 1 2 cos sin sin x nx nx nx n n n 2 2 2 2 1 2 2 2 2 cos 1 cos 1 1 n n n n n n n 2 0 4 n при при 2 , 2 1, n k n k 1, 2, 3, ...., . k 0 0 1 1 sin 2 1 sin 0sin nb f x nxdx x nxdx nxdx y x 0 2 3 2
0 2 1 1 1 1 1 1 sin cos cos cos cos x nx nx nx n n n n n n n n 1 при 2 , 1 1 1 1 1 2 при 2 1, n n n k n n n n n k n 1, 2, 3, ...., . k Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид 2 1 1 1 1 1 4 sin 2 cos 2 1 2 2 2 1 k k f x kx k x k 2 sin 2 1 . 2 1 k x k 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную гра фически на отрезке [–; ]. Решение. Из графика очевидно, что функция удовлетворяет усло виям Дирихле. Составим аналитическое выражение функции на отрезке [–; ]. На отрезке [–; 0] функция f(x) = 0. Составим уравнение функции на отрезке (0; ]: 0 4 0 0 4 f x x 4 4 f x x . 4 x f x Составим уравнение этого отрезка: y x 4 0
Таким образом: 0 при 0, при 0 . 4 x f x x x Определим коэффициенты ряда Фурье. Находим 2 0 0 1 1 1 ; 4 4 2 8 x x a f x dx dx x 0 1 1 cos cos 4 n x a f x nxdx nxdx 2 2 2 0 1 1 1 cos 1 cos sin sin 4 4 4 4 4 x nx nx nx nx n n n n n 2 2 0 при 2 , 1 1 1 при 2 1, 4 2 n n k n k n n 1, 2, 3, ...., . k 0 1 1 sin sin 4 n x b f x nxdx nxdx 2 0 1 1 1 sin cos cos . 4 4 4 4 x nx nx nx n n n n Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид 2 1 1 1 1 1 sin 2 cos 2 1 16 4 2 4 2 1 k k f x kx k x k k 1 sin 2 1 . 4 2 1 k x k 3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную на отрезке [–; ] уравнением . f x x Решение Функция x f x x x при при 0 , 0, x x т.е. четная.
Построим график этой функции: Из графика очевидно, что функция удовлетворяет условиям Дирихле. Определим коэффициенты ряда Фурье. Находим 2 0 0 0 0 2 2 2 ; 2 x a f x dx x dx 2 0 0 0 2 2 2 1 cos cos cos sin n x a f x nxdx x nxdx nx nx n n 2 2 2 2 0 2 1 1 2 cos 1 1 4 n n n n n n при при 2 , 2 1. n k n k 1, 2, 3, ...., k . 0. nb Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид 2 1 4 1 cos 2 1 . 2 2 1 k f x k x k 1.2. Варианты для самостоятельной работы 1. В упражнениях под № 1 требуется разложить в ряд Фурье функции с периодом 2, заданные аналитически на отрезке [–; ]. 2. В упражнениях под № 2 требуется разложить в ряд Фурье функции с периодом 2, заданные графически на отрезке [–; ]. 3. В упражнениях под № 3 требуется разложить в ряд Фурье функции с периодом 2, заданные аналитически или графически на отрезке [–; ], и являющиеся четными или нечетными. y x 0 2 3 2 3
№ 1 1. 0 1 0 f x при при при 0, 0 , . x x a a x 3. 2. f x x № 2 1. f x x при при 0, 0 . x x 3. 3. f x x № 3 1. 0 x f x при при 0, 0 . x x 3. . f x x 2. 2. 2.
№ 4 1. 0 x f x при при 0, 0 . x x 3. 4 4 f x при при 0, 0 . x x № 5 1. 0 f x x при при 0, 0 . x x 3. ch . f x x № 6 1. 2 0 f x при при при 2, 2 2, 2 . x x x 3. sh . f x x 2. 2. 2.
№ 7 1. . x f x e 3. x f x x при при 0, 0 . x x № 8 1. . 4 2 x f x 3. cos f x ax (a – не целое число). № 9 1. . 2 2 x f x 3. sin f x ax (a – не целое число). 2. 2. 2.
Доступ онлайн
В корзину