Методы математического моделирования

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ 
 
Кафедра полупроводниковой электроники  
и физики полупроводников

C.Ю. Юрчук

Методы математического  
моделирования

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2938

УДК  621.3 
Ю83

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Ковалев

Юрчук С.Ю.
Ю83   
Методы математического моделирования: учеб. пособие / 
С.Ю. Юрчук. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 96 с.
ISBN 978-5-906953-43-8

Изложены основные методы численного моделирования полупроводниковых структур микро- и наноэлектроники, основанные на решении фундаментальной системы уравнений: Пуассона, непрерывности и переноса. Рассмотрены основные приближения базовой системы уравнений и границы их 
применимости. Представлены методы дискретизации фундаментальной системы уравнений (конечных разностей и конечных элементов) для последующего решения и сами методики решения. Отдельно рассмотрены подходы 
к моделированию полупроводниковых наноструктур с учетом влияния квантовых эффектов. Описаны методы численного решения стационарного и нестационарного уравнений Шредингера и метод совместного решения уравнений 
Шредингера и Пуассона для полупроводниковых гетероструктур.
Предназначено для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению подготовки 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника».

УДК 621.3

 С.Ю. Юрчук, 2018
ISBN 978-5-906953-43-8
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОглавлеНИе

введение ...................................................................................................... 4
1. Физико-топологическое моделирование полупроводниковых 
структур ....................................................................................................... 5
1.1. Базовые уравнения физических процессов  
в полупроводниковой структуре ...............................................................5
1.2. Основные приближения фундаментальной системы уравнений. 
границы применимости ...........................................................................11
1.3. Особенности приближенных структурно-физических моделей .....22
1.4. граничные условия ............................................................................26
1.5. Модели электрофизических параметров .........................................29
1.6. Основные подходы к численному моделированию .......................32
2. Методы дискретизации дифференциальных уравнений ................... 35
2.1. Метод конечных разностей ...............................................................35
2.2. Конечно-разностные сетки ...............................................................35
2.3. Сеточные функции, конечные разности  
и шаблоны ..................................................................................................36
2.3. Метод конечных элементов...............................................................41
3. Методики решения фундаментальной системы уравнений .............. 51
3.1. Метод прогонки ..................................................................................51
3.2. Численные методы решения дифференциальных уравнений ......52
3.3. Двухмерное моделирование .............................................................57
3.4. Решение уравнения непрерывности ................................................61
3.5. Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона .....63
4. Моделирование полупроводниковых наноструктур .......................... 67
4.1. Уравнение Шредингера .....................................................................67
4.2. Основные характеристики двухмерных полупроводниковых 
структур ......................................................................................................69
4.3. Прямоугольная потенциальная яма  
конечной глубины .....................................................................................74
4.4. Параболическая и треугольная квантовые ямы..............................77
4.5. Квантовые проволоки ........................................................................79
4.6. Квантовые точки ................................................................................81
4.7. Численное решение уравнения Шредингера ..................................83
4.8. Методы численного решения нестационарного уравнения 
Шредингера ................................................................................................88
4.9. Совместное решение уравнения Пуассона и уравнения 
Шредингера ................................................................................................92
Библиографический список  ..................................................................95

ВВеДение

в настоящее время математическое моделирование играет определяющую роль в проектировании приборов и технологических процессов полупроводниковой электроники. Чисто экспериментальный 
подход к оптимизации конструкции элементов интегральных схем 
(ИС) в технологии из производства, представляющий собой по сути 
дела метод проб и ошибок, стал совершенно неприемлемым.
Математическое моделирование элементов и технологических 
процессов изготовления сверх- и ультрабольших ИС (СБИС и УБИС) 
становится той областью, где достижения фундаметальных наук – 
физики полупроводников и физического материаловедения, радиационной физики и физики плазмы, химии и физической химии, фундаментальной и прикладной математики – дают непосредственный 
экономический эффект.
За последние годы был разработан ряд моделей, описывающих основные физические явления, лежащие в основе функционирования 
ИС. Кроме того, с созданием программ ЭвМ, позволяющих моделировать физико-топологические процессы в ИС, появилась возможность оценивать работу устройств полупроводниковой электроники 
еще на этапе проектирования. в последнее время стали доступными 
и программы, предназначенные непосредственно для разработки перспективных устройств наноэлектроники.
Настоящее учебное пособие предназначено для освоения студентами современных моделей полупроводниковых приборов и подходов 
к математическому моделированию устройств наноэлектроники.
в пособии представлена информация о широко используемых 
в настоящее время физических моделях устройств полупроводниковой электроники, их возможностях и ограничениях. 
Представленный материал позволит студентам более глубоко усвоить лекционный материал при подготовке к практическим занятиям и 
окажет помощь при выполнении домашних заданий и курсовых работ.

1. ФизиКо-топологичеСКое 
моДелироВание полУпроВоДниКоВых 
СтрУКтУр

Задачами физико-топологического моделирования является расчет 
электрических характеристик полупроводниковых приборов и определение их статических и динамических параметров, характеризующих заданный прибор в пределах использованной схемотехнической 
модели. Наличие большого числа разнообразных полупроводниковых 
приборов, использующихся как в дискретном виде, так и в составе 
больших ИС с различными режимами их работы, требует большого 
числа подходов к их моделированию. в настоящее время при проектировании полупроводниковых приборов и ИС используется большое 
количество математических моделей биполярных и полевых структур 
на основе многообразных полупроводниковых материалов. Однако 
все эти модели основываются на общей математической модели и являются ее частными случаями. Так как общая модель очень сложна, 
часто прибегают к определенным упрощениям для конкретного типа 
приборов, облегчающих ее реализацию. 

1.1. Базовые уравнения физических процессов 
в полупроводниковой структуре

Уравнение пуассона. Уравнение устанавливает зависимость распределения потенциала и напряженности электрического поля от распределения заряда, образованного подвижными носителями и ионизированными примесями. в общем случае только часть атомов, 
составляющих полупроводниковую структуру, ионизируется, а другая 
часть остается нейтральной. в полупроводнике всегда имеются свободные носители заряда, отрицательные и положительные ионы. Подвижные носители заряда образуют электрический ток, неподвижные ионы 
формируют электрическое поле. Нейтральные атомы также могут влиять на электрофизические параметры полупроводниковой структуры.
Плотность заряда описывается выражением

 
ρ =
−
+
−
(
)
+
−
q p
n
N
N
D
A , 
(1.1)

где q – заряд электрона, Кл; р – концентрация дырок, см–3; п – концентрация электронов, см–3; ND

+  – концентрация ионизированных доноров, см–3; N A

−  – концентрация ионизированных акцепторов, см–3.

в соответствии с фундаментальными уравнениями Максвелла при 
отсутствии магнитного поля

 
div
div
div
grad
D
E
=
(
) =
(
) =
ρ
εε
ρ
εε
ϕ
ρ
,
,
0
0
, 
(1.2)

где D – электрическая индукция, Кл/см2; Е – напряженность электрического поля, в/см; φ – электрический потенциал, в; ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума (8,85·10–14 Ф/см); ε – диэлектрическая 
проницаемость материала.
При подстановке в уравнение (1.2) выражения для плотности заряда (1.1) и приняв диэлектрическую проницаемость ε постоянной 
величиной, получим уравнение Пуассона для полупроводниковых 
областей:

 
, 
(1.3)

где N
N
N
p
D
A
=
−
+
− .

Для диэлектрических областей приборных структур без встроенного заряда справедливо уравнение лапласа:

 
∇
=
2
0
φ
. 
(1.4)

Уравнение Пуассона является фундаментальным уравнением общей физико-математической модели и не зависит от частных модельных представлений.
Уравнение непрерывности. Уравнение описывает условие сохранения заряда в локальной области полупроводниковой структуры.
Рассмотрим локальный объем полупроводниковой структуры V, 
ограниченный замкнутой поверхностью S, с концентрацией подвижных носителей заряда электронов п и дырок р. При условии, что 
в этом объеме происходят процессы генерации и рекомбинации со 
скоростями G(n, p) и R(n, p) и протекают токи электронов и дырок 
с плотностями Jn и Jp, число электронов, покидающих за единицу 
времени некоторый объем Vi, находящийся в объеме V и ограниченный поверхностью Si, будет равно

 
1

1
q
J
dS
n
S
⋅
(
)
∫
n

, 
(1.5)

где n – единичный вектор нормали к поверхности Si.

Число электронов, образующихся за счет генерации и исчезающих 
за счет рекомбинации в объеме Vi в единицу времени, составляет

 
G
R dV

Vi
−
(
)
∫
. 
(1.6)

Совокупное изменение количества электронов в объеме Vi в единицу времени t описывается выражением

 
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
t
ndV
n
t dV

V
V
i
i

. 
(1.7)

С учетом представленных физических процессов, проходящих в 
полупроводниковой структуре, и исходя из закона сохранения заряда 
уравнение баланса числа электронов представляется в виде

 
∂
∂
=
⋅
(
)
+
−
(
)
∫
∫
∫

n
t dV
q
J
dS
G
R dV

V
n
V
S
i
i
i

1
n

. 
(1.8)

аналогично уравнение равновесия общего числа дырок можно записать в виде

 
∂
∂
=
⋅
(
)
+
−
(
)
∫
∫
∫

p
t dV
q
J
dS
G
R dV

V
p
V
S
i
i
i

1
n

. 
(1.9)

в соответствии с теоремой Остроградского – гаусса можно преобразовать поверхностные интегралы в объемные:

 
divJ
q G
R
q n

t dV
n
Vi
+
−
(
) −
∂
∂
=
∫
0, 
(1.10)

 
divJ
q G
R
q p

t dV
p
Vi
+
−
(
) +
∂
∂
=
∫
0 . 
(1.11)

С учетом того, что объем Vi выбран произвольно, то из выражений 
(1.10), (1.11) вытекают следующие уравнения:

 
∂
∂ −
=
−
(
)
n
t
q
J
G
R
n

1 div
, 
(1.12)

 
∂
∂ +
=
−
(
)
p
t
q
J
G
R
p

1 div
. 
(1.13)

Представленные уравнения являются уравнениями непрерывности 
для электронов и дырок, и являются неотъемлемой частью общей математической модели полупроводниковой структуры.
Кинетическое уравнение Больцмана (КУБ). Кинетические явления в полупроводниковых структурах, которые определяются движением носителей заряда при воздействии внешних и внутренних полей, температуры или градиента, описываются КУБ.
Носители заряда, испытывающие действие электромагнитных 
сил в электрическом поле, перемещаются в пространстве. Такое направленное движение образует электрический ток плотностью jn для 
электронов и jp для дырок. Эти токи называются токами проводимости (дрейфовые токи). Уравнение для плотностей тока электронов и 
дырок представляются в виде

 
J
qnv
J
qpv
n
n
p
p
= −
= −
,
, 
(1.14)

где vn, vp – скорости направленного движения электронов и дырок соответственно.
главной проблемой описания кинетических явлений переноса носителей заряда в полупроводнике является выявление связи средних 
скоростей носителей с концентрацией и напряженностью электрического поля. Это является одной из основных задач описания процессов переноса в полупроводниковой структуре. в качестве базовой 
«квазиклассической» модели переноса носителей заряда используется модель, для которой принимаются следующие допущения: 1) свободные носители заряда в полупроводниковой структуре рассматриваются как точечные частицы в фазовом пространстве координат и 
моментов. Квантовые эффекты учитываются косвенно в эффективной 
массе; 2) число подвижных носителей заряда в структуре достаточно велико, чтобы было правомочным использовать методы статистического анализа; 3) можно считать, что носители заряда в структуре 
практически не взаимодействуют, поэтому функцию распределения 
нескольких частиц можно записать как произведение отдельных 
функций распределения.
Для описания кинетических явлений в полупроводнике, обусловленных движением носителей заряда при наличии внутренних и 
внешних полей, градиента температур, применяется кинетическое 
уравнение Больцмана. Так как полное число состояний в полупроводнике является постоянной величиной, полная производная по времени от функции распределения частиц по состояниям f(x, k, t) (в про

странстве семи измерений: координат x (x, y, z), моментов волнового 
вектора k (kx, ky, kz) и времени t) равна нулю: 

 
df
dt = 0. 
(1.15)

Понятие функции распределения f(х, k, t) вводится для описания 
кинетических явлений. Эта функция описывает вероятность нахождения частицы в заданной точке пространства, с определенным импульсом в определенный момент времени. Функция распределения 
включает полную информацию о системе частиц и дает возможность 
определить ее макроскопические характеристики. При этом функция 
распределения fn определяется как вероятность согласно формуле 
расчета концентраций n в полном объеме Vk.
Интегрирование функции распределения по всему импульсному 
пространству Vk позволяет определить концентрацию подвижных частиц, например, электронов с определенной проекцией спина:

 
n x t
f
t d

Vk
,
(
) =
(
)
(
)
∫

1

2
3
π
x k
k
, ,
,

где dk = dkx dky dkz.
Продифференцировав f(x, k, t) по времени с учетом того, что 
df/dt = 0 и x, k являются функциями времени, получим

 

∂

∂
+
+
=
f

t
f
d

dt
f
d

dt

n p
n p
n p
n p
n p
,
,
,
,
,
grad
grad
k
x
k
x
0 . 
(1.16)

Из уравнения (1.16) видно, что изменение функций распределения 
дырок и электронов fn,p во времени (далее будет рассматриваться отдельно fn и fp) в каждой точке фазового пространства (x, k) вызвано 
движением частиц в пространстве координат и моментов в результате 
действия внешних Fe и внутренних Fi сил. 
Изменение во времени функции распределения представляется 
в виде суммы двух членов – полевого и столкновений:

 

∂
∂
= ∂

∂

+ ∂

∂

f
t

f
t

f
t

n
n
n

пол
ст

.

Для нахождения 
 используют статистические методы 
описания физических явлений.

Производная по времени ∂k/∂t определяется общим числом внешних и внутренних сил в полупроводнике Fп = Fе + Fi и описывается 
выражением

 
d
dt
Fn
k =  . 
(1.17)

в то же время внешние силы Fe являются совокупностью сил лоренца и кулоновских сил, а внутренние силы Fi  определяются столкновениями частиц. Переход частицы из одного состояния в другое 
происходит в результате столкновения, и для расчета этого перехода 
используют статистические методы описания физических явлений. 
Слагаемое, описывающее столкновения, с учетом (1.17) можно описать следующим образом:

 
−
=
+
+
+
gradk
i
eph
ed
er
ee
f F
S
S
S
S

, 
(1.18)

где Seph – интеграл столкновений носителей с решеткой (с фононами); 
Sed – интеграл столкновений носителей с дефектами решетки; Ser – 
член выражения, описывающий процессы рекомбинации, ударной ионизации; See – интеграл столкновений носителей между собой и т.п. 
Интеграл столкновений описывает рассеяние (изменение состояния) 
подвижных носителей при участии различных механизмов.
Производная dx/dt, описывает групповую скорость носителей заряда:

 
d
dt
v
x =
. 
(1.19)

Подставляя соотношения (1.17) – (1.19) в уравнение (1.16), получаем обобщенное КУБ:

 
∂
∂ +
∇
=
+
+
+
f
t
F
f
S
S
S
S
e
k
eph
ed
er
ee

. 
(1.20)

При наличии нескольких типов носителей кинетические уравнения необходимо записывать отдельно для каждого типа носителей. 
При взаимном рассеянии подвижных частиц или при превращении 
частиц различных типов в правые части этих уравнения (1.20) должны быть введены соответствующие интегралы. в результате кинетические уравнения для различных частиц получаются связанными и 
образуют систему уравнений.
Можно сказать, что КУБ является уравнением непрерывности 
в коор динатах пространства х (х, у, z) и импульса k (kх, kу, kz).