Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Покупка
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 57
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-906846-74-7
Артикул: 752796.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читавшихся авторами студентам ИНМиН. Курс предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» Б.Г. Разумейко И.С. Недосекина Л.Р. Ким-Тян № 3129 Кафедра математики Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций Рекомендовано редакционно-издательским советом университета Москва 2017
УДК517.5 Р17 Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, Т.В. Морозова Разумейко Б.Г. Р17Дифференциальное исчисление функций многих переменных : курс лекций / Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. КимТян. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 57 с. ISBN 978-5-906846-74-7 Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читавшихся авторами студентам ИНМиН. Курс предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС». УДК 517 ISBN 978-5-906846-74-7 Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. Ким-Тян, 2017 НИТУ «МИСиС», 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ................................................................................................................ 4 1. Понятие функции многих переменных. Предел и непрерывность .......................................................................................... 5 1.1. Понятие функции двух и трех переменных ......................................... 5 2.2. Евклидово пространство Rm. Понятие функции m переменных ........................................................................................................... 8 1.3. Множества точек евклидова пространства Rm .................................... 9 1.4. Предел и непрерывность функции многих переменных ............... 13 2. Производные и дифференциалы функций многих переменных .... 15 2.1. Частные производные ............................................................................... 15 2.2. Дифференцируемость функции многих переменных. Дифференциал .................................................................................................... 16 2.3. Дифференцирование сложной функции ............................................. 20 2.4. Правила дифференцирования ................................................................ 21 2.5. Касательная плоскость и нормаль к графику функции двух переменных ......................................................................................................... 22 2.6. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных ......................................................................................................... 24 2.7. Производная по направлению и градиент .......................................... 25 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков ......... 29 3.1.Частные производные высших порядков ............................................ 29 3.2. Некоторые сведения из теории квадратичных форм ...................... 30 3.3. Дифференциалы высших порядков ...................................................... 31 3.4. Формула Тейлора для функции многих переменных ..................... 33 4. Неявные функции и их дифференцирование ................................... 35 4.1. Неявные функции одной переменной ................................................. 35 4.2. Неявные функции от нескольких переменных ................................. 37 5. Экстремумы функций многих переменных ..................................... 39 5.1. Локальные экстремумы ........................................................................... 39 5.2. Условный экстремум ................................................................................ 44 5.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на компакте ........................................................................................ 51 Библиографический список .................................................................................. 56
Предисловие Курс лекций является составной частью учебно-методического комплекса раздела «Дифференциальное исчисление» дисциплины «Математика». Комплекс включает в себя курс лекций, практикум и пособие, посвященное разбору экзаменационных билетов. Предлагаемый вашему вниманию курс лекций соответствует программе по математике физико-химических специальностей, но может быть использован студентами и других инженерных специальностей. Предыдущая часть курса посвящена изучению функций одной переменной. Однако на практике нередки случаи, когда независимых переменных оказывается несколько. Например, объем V кругового цилиндра есть функция двух переменных – радиуса его основания R и высоты Н; зависимость между этими переменными выражается формулой V = R2H. Изучая физическое состояние какого-либо объекта, часто приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Например, плотность материала, из которого изготовлено тело, температура, электрический потенциал – все эти величины являются функциями от координат x, y, z точки, в которой они измеряются. Если физическое состояние тела меняется еще и во времени, то к этим независимым переменным добавляется время t и мы имеем дело с функциями четырех переменных. Курс посвящен изучению дифференциальных свойств функций многих переменных и приложению дифференциального исчисления к исследованию поведения функций.
1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1.1. Понятие функции двух и трех переменных Множество всевозможных упорядоченных пар (х, у) вещественных чисел х и у называется координатной плоскостью. При этом каждую пару (х, у) мы будем называть точкой этой плоскости и обозначать одной буквой М (рис. 1.1). Числа х и у называются координатами точки М. Запись М(х, у) означает, что точка М имеет координаты х и у. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью R2, если между любыми двумя ее точками М'(х', у') и М''(х'', у'') определено расстояние (М', М'') по формуле 2 2 ( , ) ( '' ') ( '' ') . M M x x y y Рис. 1.1. Точки на евклидовой плоскости R2 Если каждой точке М(х, у) из некоторого множества {М} точек евклидовой плоскости R2 ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число z, то говорят, что на множестве {М} задана функция z = z(M), или z = f(M), или z = f(х, у): f: R2 R. Множество {М} называется областью определения функции и обозначается D(f). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве D(f), называется областью значений функции и обозначается E(f). x y 0 x´ x´´ y´´ y´ M´´(x´´, y´´) M´(x´, y´) (M´, M´´)
Для функции двух переменных можно ввести понятие графика, а именно: графиком функции z = f(х, у) называется поверхность, точки которой имеют координаты (х, у, f(х, у)). Множество точек М(x, y) евклидовой плоскости R2, в которых функция принимает одно и то же значение С, называется линией уровня функции z = f(х, у), соответствующей данному значению С. Линии уровня находятся как решения уравнения f(х, у) = С , где С = const. Если взять числа С1, С2, … , образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление о графике функции, т.е. о форме поверхности. Там, где линии расположены гуще, функция изменяется быстрее (поверхность идет круче). Термин «линии уровня» заимствован из картографии. Линия уровня на географической карте – это географическое место точек одинаковой высоты. Пример 1.1. 2 2 4 z x y Областью определения этой функции является круг радиусом 2 с центром в начале координат, т.е. 2 2 2 ( ) { ( , ) : 4} D f M x y R x y , а множество значений ( ) { :0 2} E f z R z . График функции – верхняя полусфера радиусом 2 с центром в начале координат (рис. 1.2). Линии уровня определяются уравнением 2 2 4 x y С или 2 2 2 4 , 0. x y С С Далее, по аналогии с функцией двух переменных, введем понятие функции трех переменных. Для этого, аналогично понятиям координатной и евклидовой плоскости, вводятся понятия координатного и евклидова пространства.
y x z Поверхность D x y D x2 + y2 = 4 Линии уровня Рис. 1.2. График и линии уровня функции 2 2 4 z x y Множество всевозможных упорядоченных троек (х, у, z) вещественных чисел называется координатным пространством. При этом каждую тройку (х, у, z) мы будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой М. Числа х, у и z называются координатами точки М. Координатное пространство называется евклидовым пространством R3, если между любыми двумя его точками М'(х', у', z´) и М''(х'', у'', z'') (рис. 1.3). Определено расстояние (М', М'') по формуле 2 2 2 ρ( , ) ( '' ') ( '' ') ( ) . M M x x y y z z x y M´(x´, y´, z´) M´´(x´´, y´´, z´´) z О (M´, M´´) Рис. 1.3. Точки в евклидовом пространстве R3
Пусть теперь {М} – множество точек евклидова пространства R3. Если каждой точке М(х, у, z){М} ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что на множестве {М} задана функция и = u(M), или и = f(М), или и = f(х, у, z): f: R3 R. Аналогично линиям уровня для функции трех переменных вводится понятие поверхности уровня. Множество точек М(x, y, z) евклидова пространства R3, в которых функция принимает одно и то же значение С, называется поверхностью уровня функции и = f(х, у, z), соответствующей данному значению С. Поверхности уровня находятся как решения уравнения f(х, у, z) = С , где С = const. Пример 1.2. 2 2 2. u x y z Областью определения этой функции является все евклидово пространство R3 , а множеством значений – полупрямая u 0. Поверхности уровня определяются уравнением 2 2 2 , 0. x y z С С 2.2. Евклидово пространство Rm. Понятие функции m переменных Познакомившись с понятиями евклидовой плоскости и евклидова трехмерного пространства, перейдем к рассмотрению более общего случая. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (х1, х2, … , хm) из m действительных чисел х1, х2, …, хm называется mмерным координатным пространством. При этом каждую упорядоченную совокупность (х1, х2, … , хm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. Числа х1, х2, …, хm называются координатами точки М. Запись М(х1, х2, … , хm) означает, что точка М имеет координаты х1, х2, … , хm. m-мерное координатное пространство называется евклидовым пространством Rm, если между любыми двумя его точками М'(х1´, х2´, … , хm´) и М''(х1´´, х2´´, … , хm´´) определено расстояние (М', М'') по формуле
2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( '' ') ( '' ') ... ( " ') . m m M M x x x x x x Расстояние между точками в Rm обладает следующими свойствами (рис. 1.4): (М', М'') 0, причем (М', М'') = 0 М' = М''; (М', М'') = (М'', М'); (М', М'') (М', М) + (М, М'')(неравенство треугольника). Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация неравенства треугольника в R2 Если каждой точке М(х1, х2, … хm) из некоторого множества {М} точек евклидова пространства Rm ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что на множестве {М} задана функция u = f(M), или u = f(х1, х2, … , хm). f: Rm R. Пример 1.3. При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных: трех координат x, y, z и времени t. Пусть u – температура в определенной точке комнаты в момент времени t. Тогда u = f(x, y, z, t). 1.3. Множества точек евклидова пространства Rm Множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm, координаты которых х1, х2, … , хm удовлетворяют неравенству 0 2 0 2 0 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) m m x x x x x x R , x y O M´´(x´´, y´´) M´(x´, y´) M(x, y)
называется m-мерным шаром радиусом R с центром в точке 0 0 0 0 1 2 ( , ,..., ) m M x x x . Таким образом, m-мерный шар определяется как множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm , расстояние от каждой из которых до некоторой точки М0 Rm удовлетворяет неравенству (М, М0) R. Если расстояние от каждой точки множества {М} до точки М0 удовлетворяет строгому неравенству (М, М0) < R, то множество {М} называется открытым m-мерным шаром. Будем называть ε-окрестностью точки 0 0 0 0 1 2 ( , ,..., ) m M x x x m-мерного евклидова пространства открытый m-мерный шар радиусом ε с центром в точке М0 (рис. 1.5). При этом для ε-окрестности будем использовать обозначение Uε(M0). Проколотой ε-окрестностью точки М0 Rm будем называть множество Uε(M0), из которого удалена точка М0. Это множество будем обозначать 0 ( ) U M . Рис. 1.5. ε-окрестность точки 0 M евклидовой плоскости Пусть {М} – некоторое множество точек евклидова пространства Rm. Введем следующие понятия (рис. 1.6). Точка М множества {М} называется внутренней точкой этого множества, если существует -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству {М}. y О ε M0(x0, y0 ) x
Точка М называется граничной точкой множества {М}, если в любой -окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие множеству {М}, так и точки, не принадлежащие {М} (заметим, что граничная точка может не принадлежать множеству {М}). Границей множества {М} называется совокупность всех его граничных точек. Рис. 1.6. Точки множества {М} евклидовой плоскости R2 Множество {М} называется открытым, если все его точки внутренние. Множество {М} называется замкнутым, если каждая его граничная точка принадлежит {М}. Непрерывной кривой Г в евклидовом пространстве Rm называется множество точек этого пространства, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметра t: х1 = x1(t), х2 = x2(t), … , хm = xm(t), t[, ]. Пример 1.4. х = аcost, y = bsint, t[0, 2] – параметрические уравнения эллипса в R2. Множество {М} Rm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой Г, целиком лежащей в этом множестве. Открытое и связное множество {М}Rm называется областью (рис. 1.7). Если {М} Rm представляет собой область, то множество, полученное присоединением к {М} всех его граничных точек, называется замкнутой областью. ε ε {М} Граничная точка множества {М} Внутренняя точка множества {М}
Доступ онлайн
В корзину