Теория вероятностей и математическая статистика : теория вероятностей : краткий курс с примерами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2441 

Кафедра математики

И.Э. Гурьянова 
Е.В. Левашкина 

Теория вероятностей
и математическая статистика 

Теория вероятностей: краткий курс с примерами

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2016 

УДК 519.2 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э. 
Г95  
Теория вероятностей и математическая статистика : теория 
вероятностей : краткий курс с примерами : учеб. пособие / 
И.Э. Гурьянова, Е.В. Левашкина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2016. – 106 с. 
ISBN 978-5-87623-915-0 

Учебное пособие охватывает разделы дисциплины «Теория вероятностей 
и математическая статистика», входящие в учебные программы для студентов вузов, обучающихся по техническим и экономическим специальностям. 
Пособие содержит основные теоретические сведения по теории вероятностей 
и предназначено для закрепления теоретических знаний по этому курсу. В 
нем рассматриваются элементы комбинаторики, основные понятия и теоремы теории вероятностей, законы распределения случайных величин, закон 
больших чисел. В конце каждого раздела теоретический материал иллюстрируется примерами. 
Предназначено для студентов второго курса всех институтов НИТУ 
«МИСиС», учебный план которых содержит курс теории вероятностей; также может быть использовано при самостоятельной работе и в ходе подготовки к экзаменам. Пособие может быть полезно преподавателям вузов, а также 
лицам, изучающим теорию вероятностей самостоятельно. 

УДК 519.2 

 
© И.Э. Гурьянова, 
Е.В. Левашкина, 2016 
ISBN 978-5-87623-915-0 
© НИТУ «МИСиС», 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Комбинаторика. Бином Ньютона........................................................5 
2. Теория вероятностей ..........................................................................14 
2.1. Основные теоремы теории вероятностей..................................14 
2.1.1. Виды случайных событий....................................................14 
2.1.2. Классическое определение вероятности ............................15 
2.1.3. Статистическое определение вероятности.........................15 
2.1.4. Геометрическое определение вероятности ........................16 
2.1.5. Алгебра случайных событий ...............................................17 
2.1.6. Теорема умножения вероятностей......................................21 
2.1.7. Теорема умножения вероятностей (принцип Ферма) .......21 
2.1.8. Теорема сложения вероятностей (принцип Лапласа) .......23 
2.1.9. Формула полной вероятности .............................................29 
2.1.10. Формулы Байеса .................................................................31 
2.1.11. Повторные независимые испытания. 
Схема Бернулли ..............................................................................33 
2.1.12. Формула Бернулли .............................................................34 
2.1.13. Наиболее вероятное число успехов ..................................35 
2.1.14. Локальная приближенная формула Лапласа....................37 
2.1.15. Интегральная приближенная формула Лапласа ..............39 
2.1.16. Оценка отклонения относительной частоты 
от вероятности ................................................................................40 
2.1.17. Предельная теорема и приближенные 
формулы Пуассона .........................................................................41 
2.2. Случайные величины ..................................................................43 
2.2.1. Функция распределения вероятностей 
(интегральная функция распределения).......................................44 
2.2.2. Независимость случайных величин....................................44 
2.2.3. Дискретные случайные величины.......................................45 
2.2.4. Функция от случайной величины .......................................45 
2.2.5. Числовые характеристики дискретных 
случайных величин.........................................................................47 
2.2.6. Основные законы распределения дискретных 
случайных величин.........................................................................57 
2.2.7. Непрерывные и абсолютно непрерывные 
случайные величины ......................................................................59 
2.2.8. Некоторые законы распределения 
непрерывных случайных величин ................................................69 

2.2.9. Начальные и центральные моменты случайных 
величин............................................................................................80 
2.3. Случайные векторы (многомерные случайные величины) .....83 
2.3.1. Функция распределения.......................................................84 
2.3.2. Дискретные случайные векторы .........................................84 
2.3.3. Абсолютно непрерывные случайные векторы ..................85 
2.3.4. Независимость компонент случайного вектора.................87 
2.3.5. Числовые характеристики случайного вектора.................87 
2.3.6. Условные распределения и условные математические 
ожидания .........................................................................................89 
2.3.7. Двумерные нормальные векторы........................................96 
Библиографический список.................................................................104 
 

1. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА 

Предварительно рассмотрим необходимую в комбинаторике 
функцию – факториал ! 1 2 ...
n
n
= ⋅ ⋅
⋅
.  
Свойство факториала: (
)
(
)
1 !
!
1
n
n n
+
=
+
. При этом считается, что 
0! = 1. 
При больших значениях n справедлива формула Стирлинга 

 
(
)
!
2
 n
n
n
n n e
n
−
≈
π
→ ∞  

или 

 
( )
(
)
1
1
ln
!
ln
ln 2
2
2
n
n
n
n
⎛
⎞
=
+
−
+
π
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Полуфакториалы: 

 
(
)
2
!!
2 4 6
2
n
n
=
⋅ ⋅ ⋅…⋅
; 

 
(
)
(
)
2
1 !! 1 3 5
2
1
n
n
−
= ⋅ ⋅ ⋅…⋅
−
. 

Свойства полуфакториалов: 

 
(
) (
)
(
)
2
!! 2
1 !!
2
!
n
n
n
−
=
; 

 
(
)
2
!!
2 !! !
n
n
n
=
; 

 
(
)
(
) (
)
2
1 !!
2
1 !! 2
1
n
n
n
+
=
−
+
; 

 
(
)
(
) (
)
2
2 !!
2
!! 2
2
n
n
n
+
=
+
. 

Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов конечного множества, в частности комбинаторных задач на подсчет числа 
различных комбинаций. 
Будем 
рассматривать 
последовательности 
данной 
длины 
(
)
1
2
 
, ,
,
n
n x x
x
…
, состоящие из некоторых элементов 
1
2
, ,
,
n
x x
x
…
 (не 
обязательно различных). 
Правило произведения (принцип логического умножения). 
Если элемент 
1x  может быть выбран 
1n  способами, после каждого 
такого выбора элемент 
2x  может быть выбран 
2
n  способами и т.д., 
после каждого (k – 1) выбора элемент 
kx  может быть выбран 
kn  

способами, то выбор всех элементов 
1
2
, ,
,
k
x x
x
…
 в указанном порядке может быть осуществлен 
1 2
k
n n
n
⋅…⋅
 способами. 
Пример 
В группе 30 человек. Нужно выбрать старосту, его заместителя и 
профорга. Сколькими способами это можно сделать? 
Решение. 30 ⋅ 29 ⋅ 28 = 24 360. 
Правило суммы (принцип логического сложения). Если элемент 

1x  может быть выбран 
1n  способами, элемент 
2x  другими 
2
n  способами, 
3x  – отличными от первых двух 
3n  способами и т.д., 
kx –
kn  способами, отличными от первых (k – 1), то выбор одного из элементов 
– или 
1x , или 
2x , или 
kx  может быть осуществлен 
1
2
k
n
n
n
+
+…+
 
способами. 
Пример 
В ящике 300 деталей. Из них 150 деталей первого сорта, 120 – второго, а остальные – третьего сорта. Сколькими способами можно извлечь из ящика одну деталь первого или второго сорта? 
Решение. 
1
150
n =
,
2
120
n =
; 
1
2
150
120
270
n
n
+
=
+
=
. 
Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов, 
0
m
n
≤
≤
. 
Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов (т.е. представляют собою просто подмножества), то 
их называют сочетаниями из n элементов по m. 
Число сочетаний из n элементов по m равно 

 
(
)

!
!
!

m
n
n
C
m n
m
=
−
. 

Свойства сочетаний 
1. 
0
1
n
n
n
C
C
=
= , ибо 0! 1
= . 

2. 
m
n m
n
n
C
C −
=
– свойство симметрии. 

3. 
1
1
1
m
m
m
n
n
n
C
C
C
+
+
+
+
=
 – рекуррентное соотношение. 

4. 
0
1
2
2
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
+
+
+…+
=
 – следствие бинома Ньютона. 

5. 
(
)
0
1
2
3
1
0
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
−
+
−
+…+ −
=
. 

Свойство 5 означает, что сумма биномиальных коэффициентов, 
стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, т.е. 

 
0
2
4
1
3
5
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
+
+
+…=
+
+
+…. 

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом 
элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), 
то такие комбинации называются размещениями из n элементов по 
m. Таким образом, размещения – это упорядоченные подмножества 
из n элементов по m. 
Число размещений равно 

 
(
)(
)
(
)
1
2
 
1
m
n
A
n n
n
n
m
=
−
−
⋅…⋅
−
+
, 

или 

 
(
)

!
!

m
n
n
A
n
m
=
−
. 

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком 
расположения этих элементов, то их называют перестановками из n 
элементов. 
Число перестановок 

 
!
nP
n
=
. 

Если в сочетаниях (размещениях) из n элементов по m некоторые 
из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания (размещения) называются сочетаниями (размещениями) с 
повторениями из n элементов по m. 
Замечание. В этом случае m может быть больше n. 
Число сочетаний с повторениями 

 
1
m
m
n
n m
C
C +
−
=
. 

Число размещений с повторениями 

 
m
m
n
A
n
=
. 

Пример 
Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 сорта пирожных? 

Решение. m
n
>
; 6
6
6
4
4 6 1
9
9!
7 8 9
84
6!3!
1 2 3
C
C
C
+ −
⋅ ⋅
=
=
=
=
=
⋅ ⋅
. 

Пример 
Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 
3, 5, при условии, что цифры могут повторяться? 

Решение. 2
2
3
3
9
A =
=
. 
Если в множестве из n элементов есть n1 элементов первого вида, 
n2 элементов второго вида, …, nk элементов k-го вида, причем 

1
2
k
n
n
n
n
+
+…+
=
, то такие перестановки из этих n элементов называются перестановками с повторениями. 
Число перестановок с повторениями 

 
(
)
1
2
1
2

!
, ,
,
 .
!
!
!
n
k
k

n
P n n
n
n n
n
…
=
…
 

Пример 
Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 
красные лампочки? 

Решение. 
(
)
6
6!
5 6
2,4
15 .
2!4!
2
P
⋅
=
=
=
 

Задачи для самостоятельного решения 

1. В группе 22 студента, из них 5 отличников. Сколькими способами можно сформировать делегацию из 5 студентов, в числе которых двое отличников?  
Ответ: 6800. 
2. Сколькими способами можно выбрать 5 чисел из 36 в карточке 
«Спортлото», чтобы 3 числа были счастливыми?  
Ответ: 4650. 
3. Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, если использовать красный, синий, 
белый цвета?  
Ответ: 6.  
4. Сколькими способами можно составить список из 9 студентов?  
Ответ: 362 880.  
5. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 
8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?  
Ответ: 40 320. 

6. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за круглым 
столом?  
Ответ: 120.  
7. Сколькими способами можно разложить 8 различных писем по 8 
различным конвертам, если в каждый конверт кладется только 1 письмо?  
Ответ: 40 320.  
8. Сколькими способами могут разместиться на скамейке 10 человек?  
Ответ: 3 628 800. 
9. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 
красные лампочки?  
Ответ: 15. 
10. Сколько всего существует семизначных чисел, у каждого из 
которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5 – четыре раза?  
Ответ: 35. 
11. Сколькими способами можно переставить буквы в слове: а) 
математика; б) абракадабра; в) какао, чтобы получались всевозможные различные наборы букв?  
Ответ: а) 151 200; б) 83 160; в) 30. 
12. Сколько различных шестизначных чисел можно написать с 
помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?  
Ответ: 20. 
13. Сколькими способами можно выбрать 4 человек на 4 различные должности из 9 кандидатов на эти должности?  
Ответ: 3024.  
14. В группе 25 студентов. Они обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?  
Ответ: 600.  
15. Из скольких различных элементов можно составить 210 размещений по 2 элемента в каждом?  
Ответ: 15.  
16. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?  
Ответ: 303 600.  
17. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, избирает в 
президиум 2 человек, один из которых должен быть председателем, а 
другой – секретарем. Каким числом способов это можно сделать?  
Ответ: 380.  
18. Профком учреждения, состоящий из 9 человек, на своем заседании должен избрать председателя, его заместителя и казначея. 
Сколько различных случаев при этом может быть?  
Ответ: 504.  

19. На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами 
можно расставить на них 4 поезда?  
Ответ: 360.  
20. Сколько всего существует семизначных телефонных номеров, 
в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?  
Ответ: 604 800.  
21. Сколько различных двузначных чисел можно составить из 
цифр 1, 3, 5 при условии, что цифры могут повторяться?  
Ответ: 9. 
22. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из нечетных цифр, если цифры могут повторяться?  
Ответ: 625. 
23. Сколько различных комбинаций появления орла и решки может быть при n-кратном бросании монеты?  
Ответ: 2n. 
24. Замок камеры хранения открывается при наборе определенной 
комбинации из четырех цифр от 0 до 9. Сколько существует таких 
комбинаций?  
Ответ: 10 000. 
25. Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько 
можно составить телефонных номеров из цифр 2, 3, 5, и 7? 
Ответ: 16 384. 
26. Список экзаменационных вопросов состоит из 19 вопросов. Из 
них нужно составить экзаменационные билеты, причем в каждом 
билете – ровно 2 вопроса. Сколько билетов можно составить?  
Ответ: 171. 
27. Из 20 рабочих нужно выделить 6 для работы на определенном 
участке. Сколькими способами можно это сделать?  
Ответ: 38 760.  
28. Сколькими способами можно выбрать 3 краски из 5 имеющихся?  
Ответ: 10.  
29. В группе 25 студентов. Из них нужно избрать 4 делегата на 
конференцию. Сколькими способами это можно сделать?  
Ответ: 12 650.  
30. Сколько чисел можно составить из простых делителей числа 
2310, которые содержат только два простых делителя?  
Ответ: 10.  
31. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые 2 
шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?