Математический анализ : функции нескольких переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2357 

Кафедра математики

Т.В. Лоссиевская 
 
 

Математический анализ

Функции нескольких переменных 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2014 

УДК 517.5 
 
Л79 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. П.И. Черноусов 

Лоссиевская, Т.В. 
Л79  
Математический анализ : функции нескольких переменных : учеб. пособие / Т.В. Лоссиевская. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2014. – 77 с. 
ISBN 978-5-87623-791-0 

Настоящее пособие содержит справочный материал по теме «Функции нескольких переменных», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также 
подробный разбор методов решения типовых задач домашнего задания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 231300. 
 

УДК 517.5 

ISBN 978-5-87623-791-0 
© Т.В. Лоссиевская, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Функции нескольких переменных и их свойства..............................4 
1.1. Частные производные ...................................................................4 
1.2. Дифференцируемость ФНП в точке ............................................5 
1.3. Дифференциал ...............................................................................7 
1.4. Производная сложной функции ...................................................7 
1.5. Инвариантность формы первого дифференциала ...........................8 
1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................9 
1.7. Скалярное поле ............................................................................11 
1.8. Производная по направлению. Градиент ..................................11 
1.9. Производные и дифференциалы высших порядков......................12 
1.10. Формула Тейлора для ФНП......................................................15 
1.11. Неявные функции ......................................................................15 
1.12. Экстремумы ФНП (безусловные) ............................................22 
1.13. Условный экстремум.................................................................25 
1.14. Задача отыскания наибольшего и наименьшего значений 
функции, заданной в замкнутой ограниченной области......................34 
2. Решение типовых задач......................................................................36 
3. Задания ................................................................................................56 
Библиографический список...................................................................76 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 
И ИХ СВОЙСТВА 

В настоящем разделе дается справочный материал, касающийся 
дифференциальных 
свойств 
функций 
нескольких 
переменных 
(ФНП). Ради геометрической наглядности изложение ведется 
для функций двух переменных: 
( , )
f x y . В случае необходимости 
рассматриваются функции большего числа переменных.  

1.1. Частные производные 

Пусть функция 
( , )
f x y  определена в некоторой окрестности точки 
0
0
0
(
,
).
M
x
y
 
Определение 1.1. Полным приращением функции 
( , )
f x y  в точке 

0
0
0
(
,
),
M
x
y
 соответствующим приращениям аргументов 
и
,
Δ
Δ
х
у  называется разность 
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
+ Δ
+ Δ
−
f x
x y
y
f x
y
 и обозначается 
.
Δf  
Таким образом,  

 
0
0
0
0
(
,
)
(
,
).
Δ =
+ Δ
+ Δ
−
f
f x
x y
y
f x
y
  
(1.1) 

Замечание. Точка 
0
0
(
,
)
M x
x y
y
+ Δ
+ Δ
 принадлежит окрестности 
точки 
0
0
0
(
,
),
M
x
y
где определена функция 
( , )
f x y . 
Определение 1.2. Частным приращением функции 
( , )
f x y  по переменной х, соответствующим приращению 
,
Δх  называется разность 

0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
+ Δ
−
f x
x y
f x
y
 и обозначается 
.
Δx f  
Таким образом, 

 
0
0
0
0
(
,
)
(
,
).
x f
f x
x y
f x
y
Δ
=
+ Δ
−
  
(1.2) 

Аналогично определяется частное приращение функции 
( , )
f x y  
по переменной у.  
Определение 1.3. Пусть функция 
( , )
f x y  определена в некоторой окрестности точки 
0
0
0
(
,
).
M
x
y
 Если существует конечный предел 

0
lim
,
x

x

f
x
Δ →
Δ
Δ
 
то 
он 
называется 
частной 
производной 
функции 

( , )
f x y по переменной х в точке 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
и обозначается 
0
0
(
,
)
f
x
y
x
∂
∂
, 

или 
0
0
(
,
).
xf
x
y
′
 

Таким образом, 

 
0
0
0
(
,
)
lim
.
x

x

f
f
x
y
x
x
Δ →
Δ
∂
=
∂
Δ
 
 (1.3) 

Аналогично определяется частная производная функции 
( , )
f x y  
по переменной у. 

Из определения 1.3 следует, что частная производная f

x

∂
∂  вычисляется 

при фиксированном у, т.е. она вычисляется так же, как производная 
функции ( )
( , )
x
f x y
ϕ
≡
 одной переменной х, а у является параметром. 

1.2. Дифференцируемость ФНП в точке  

Определение 1.4. Функция 
( , )
f x y  называется дифференцируемой в точке 
0
0
0
(
,
),
M
x
y
 если ее полное приращение в этой точке 

представимо в виде 

 
2
2
( ),
(
)
(
)
f
A
x
B
y
o
x
y
Δ =
⋅ Δ +
⋅ Δ +
ρ
ρ =
Δ
+ Δ
, 
 (1.4) 

где величины А и В не зависят от 
и
.
х
у
Δ
Δ
 

Замечание. Всякая функция, определенная в некоторой окрестности точки 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
, имеет полное приращение, но не для всякой 
функции ее полное приращение представимо в виде (1.4), т.е. не всякая функция дифференцируема в точке 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
. 

Пример 1.1. Доказать, что функция 
3
( , )
f x y
xy
=
 недифференцируема в точке (0,0). 
Доказательство. Предположим противное: существуют величины 
А и В, независящие от 
,
и
x
y
Δ
Δ
 такие, что имеет место равенство 

 
(
,
)
(0,0)
( )
f
f
x
y
f
A
x
B
y
o
Δ ≡
Δ
Δ
−
=
⋅Δ +
⋅Δ +
ρ ,  
см. (1.4). 

Так как f(0,0) = 0, то отсюда получаем, что  

 

3
( )
х
у
А
х
В
у
о
Δ ⋅Δ =
⋅Δ +
⋅Δ +
ρ .  
(1.5) 

В (1.5) положим у
х
Δ = Δ . Тогда  

 

1
 3
(
)
(
)
(
)
о
х
х
А
В
х

−
Δ
Δ
=
+
+
Δ
.  
(1.6) 

В 
(1.6) 
переходим 
к 
пределу 
при 
0
х
Δ →
. 
Получим 

(
)
0,
А
В
∞ =
+
+
 что невозможно. 
Теорема 1.1 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция дифференцируема в некоторой точке, то 
она непрерывна в этой точке. 
Теорема 1.2 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция 
( , )
f x y  дифференцируема в точке 

0
0
0
(
,
)
M
x
y
, то в этой точке существуют обе частные производные 

и
f
f

x
y

∂
∂
∂
∂  и имеет место равенство 

 
2
2

0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
( ),
(
)
(
) .
f
f
f
x
y
x
x
y
y
o
x
y
x
y
∂
∂
Δ =
⋅Δ +
⋅Δ +
ρ ρ =
Δ
+ Δ
∂
∂
 (1.7)  

Замечание. Существование обеих частных производных в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции 
( , )
f x y  

в этой точке. Например, функция 
( , )
f x y  = 3 ху  недифференцируема 

в точке (0,0) (см. пример 1.1), но 
(0,0)
(0,0)
0
f
f
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
 (доказать). 

Теорема 1.3 (достаточное условие дифференцируемости функции 

в точке). Если обе частные производные 
и
f
f

x
y

∂
∂
∂
∂  определены в не
которой окрестности точки 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
 и непрерывны в самой точке 

0,
M
 то функция 
( , )
f x y  дифференцируема в точке 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
. 
Замечание. Непрерывность частных производных в точке не является 
необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке. 
Пример 1.2. Доказать, что функция 

 

2
2

2
2
1
(
) sin
,  ( , )
(0,0),

( , )

0,
( , )
(0,0)

x
y
x y
f x y
x
y

x y

⎧
+
≠
⎪
=
+
⎨
⎪
=
⎩

 
 

дифференцируема в точке (0,0), а ее частные производные 

( , )
f x y
x
∂
∂
 и 
( , )
f x y
y
∂
∂
не являются непрерывными в этой точке.  

Доказательство. 1. Так как 

2
2
2
(
,
)
(0,0)
(
)
(
)
( )
f
f
x
y
f
x
y
o
Δ
≡
Δ Δ
−
≤ Δ
+ Δ
=ρ =
ρ , 
то 
функция 

( , )
f x y  дифференцируема в точке (0,0). 
2. Имеем 

1
2
2
2

2
2
2
2

1
1
( , )
2 sin
(
)
cos
f
x y
x
x x
y
x
x
y
x
y

−
∂
=
−
+
∂
+
+
, ( , )
(0,0).
х у ≠
 

Отсюда следует, что 

0
0

lim
( , )

x
y

f
x y
x
→
→

∂
∂
 не существует.  

Следовательно, производная 
( , )
f
x y
x
∂
∂
 не является непрерывной 

в точке (0,0). 

1.3. Дифференциал 

Определение 1.5. Пусть функция 
( , )
f x y  дифференцируема в точке 

0
0
0
(
,
).
M
x
y
 Дифференциалом функции 
( , )
f x y  в точке 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
 (обозначается 
0
0
(
,
)
df x
y
) называется линейная относительно 
и
х
у
Δ
Δ  
часть полного приращения функции 
( , )
f x y  в точке 
0
0
0
(
,
).
M
x
y
 
Если х и у независимые переменные, то положим по определению 

0
0
,
.
x
x
x
dx
y
y
y
dy
Δ =
−
=
Δ =
−
=
 Тогда из (1.7) и определения 1.5 
следует 

 
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
,
f
f
df x
y
x
y
dx
x
y
dy
x
y
∂
∂
=
+
∂
∂
 
 (1.8) 

или 

 
.
f
f
df
dx
dy
x
y
∂
∂
=
+
∂
∂
 
 (1.8*) 

1.4. Производная сложной функции 

Теорема 1.4. Пусть функции (
)
,
u x y  и (
)
,
v x y  дифференцируемы 

в точке 
0
0
0
(
,
),
М
х
у
 а функция 
(
)
,
f u v  дифференцируема в точке 

0
0
(
,
),
M u v
где 
0
0
0
0
0
0
(
,
),
(
,
).
u
u x
y
v
v x
y
=
=
 Тогда сложная функция 

(
)
(
)
(
,
,
,
)
f u x y v x y
 дифференцируема в точке 
0
0
0
(
,
)
М
х
у
 и имеют место формулы 

 
,
f
f
u
f
v

x
u
x
v x

∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
∂
∂
∂
∂ ∂
 
 (1.9) 

 
.
f
f
u
f
v

y
u
y
v y

∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
∂
∂
∂
∂ ∂
 
 (1.10) 

Замечание 1. Теорема верна для любого количества переменных 

, , , 
x y z … и переменных , , , 
,
u v w …  причем количество переменных 

, , , 
x y z … не обязательно совпадает с количеством переменных 
, , , 
u v w …. Формулы для вычисления частных производных функции 
f естественным образом обобщаются на эти случаи. 
Замечание 2. 
а) Если 
(
)
  
,
f
f x y
=
, a 
  ( )
x
x t
=
, 
  ( )
y
y t
=
, то в результате имеем 
функцию одной переменной 
( ( ), ( ))
f x t
y t
. Тогда 

 
.
df
f dx
f dy

dt
x dt
y dt

∂
∂
=
+
∂
∂
 

В частности, 
б) если 
(
)
  
,
f
f x y
=
,   ( )
y
y x
=
, то  

 
.
df
f
f dy

dx
x
y dx

∂
∂
=
+
∂
∂
 
 (1.11) 

Производная 
,
df
dx  стоящая в левой части (1.11), называется пол
ной производной функции 
(
)
,
f x y  по переменной х. Отметим, что 

f
x

∂
∂  – частная производная функции 
(
)
,
f x y  по переменной х; вооб
ще говоря, они не совпадают. 

1.5. Инвариантность формы первого дифференциала 

Инвариантность формы первого дифференциала заключается 
в том, что формула (1.8*)