Основы начертательной геометрии.Краткий курс и сборник задач.

Учебное пособие

МОСКВА

КУРС

ИНФРА-М

2019

Г.В. Буланже
И.А. Гущин

В.А. Гончарова

ОСНОВЫ

НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

ГЕОМЕТРИИ

КРАТКИЙ КУРС И СБОРНИК ЗАДАЧ

Допущено 

Учебно-методическим объединением вузов по образованию 
в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ)  

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по направлениям подготовки:

«Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств»,

«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»,

«Автоматизированные технологии и производства»

УДК 514.18
ББК 22.151.3
 
Б90

Основы начертательной геометрии. Краткий курс и сборник задач. Учеб. 

пособие / Г.В. Буланже, И.А. Гущин, В.А. Гончарова. — М.: КУРС : 
ИНФРА-М, 2019. — 144 с.

ISBN 978-5-905554-79-7 (КУРС)
ISBN 978-5-16-010263-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102186-6 (ИНФРА-М, online)

В учебном пособии изложены теоретические вопросы построения на 

плоскости изображений геометрических фигур — точек, прямых линий и 
плоскостей. Рассмотрены способы решения позиционных и метрических 
задач. В приложении представлены примеры решения и образцы оформления задач.

Для студентов технических вузов.

УДК 514.18
ББК 22.151.3

Б90

©  КУРС, 2015

ISBN 978-5-905554-79-7 (КУРС)
ISBN 978-5-16-010263-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102186-6 (ИНФРА-М, online)

Р е ц е н з е н т ы : 

кафедра «Инженерная графика» Московского государственного университета инженерной

экологии (зав. кафедрой канд. техн. наук В.В. Колтунов); канд. техн. наук, проф. Н.И. Касаткин

(Московский государственный университет приборостроения и информатики)

ФЗ

№ 436-ф3

Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 1 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начертательная геометрия — одна из дисциплин, составляющих фундаментальную основу общетехнического образования. Ее изучение способствует развитию пространственного воображения и логического мышления, без которых
немыслима творческая деятельность инженера. Существенное влияние на приобретение этих навыков оказывает решение задач.
Познание есть процесс поступательный, движение вперед невозможно без
опоры на предыдущий материал, поэтому соблюдение строгой последовательности необходимо как при изложении положений курса, так и при подборе содержания задач. Исходными структурными единицами, создающими все разнообразие геометрических фигур, являются точка, прямая линия и плоскость.
Именно эти соображения были определяющими при создании настоящего
учебного пособия, которое состоит из двух взаимосвязанных частей и приложения.
Первая часть — краткий курс. В нем при изложении теоретических положений соблюдена строгая последовательность тем, обеспечивающая постепенное
усвоение материала. Для каждой геометрической фигуры (точки, прямой линии, плоскости) показаны все ее возможные положения относительно основных плоскостей проекций, также подробно перечислены и показаны различные
взаимные положения геометрических фигур.
Для облегчения понимания содержания курса в ряде случаев он дополнен
наглядными изображениями, указанием последовательности построений, изложением плана решения задач.
Часть вторая — сборник задач, содержание и последовательность решения в
котором соответствуют разделам и темам краткого курса. Положение геометрических фигур в задачах задается координатами точек, чертежом, словесным описанием или различными сочетаниями перечисленных способов, что помогает
развитию у студентов навыков анализа, пространственного представления и логического мышления. Проекции геометрических фигур выполнены на фоне
клеток, что позволило точно зафиксировать их положение относительно друг
друга и плоскостей проекций. Кроме того, выполнение графических данных задач на фоне клеток облегчает учащимся точный перенос их в свои тетради и
обеспечивает однозначные ответы при решении.
Для подготовки к решению задач предусмотрены вопросы для самопроверки, таблицы с перечислением названий, положений геометрических фигур и
способов преобразования их проекций, которые сопровождены записью символами, что способствует более глубокому изучению теоретических положений
курса.
Запись символами положений геометрических фигур и способов решения
задач показывает, что, несмотря на разнообразие содержания задач, их графиче3

ское решение сводится к выполнению ограниченного числа простейших геометрических построений.
Примеры решения, приведенные в приложении, показывают образцы
оформления предлагаемых задач и обращают внимание студентов на возможности многовариантного решения одной и той же задачи.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для изучения основ начертательной геометрии студентами высших учебных заведений общетехнических
специальностей.
При написании учебного пособия использован и обобщен многолетний
опыт, приобретенный при чтении лекций и проведении практических занятий
по курсу начертательной геометрии на кафедре «Инженерная графика» в Московском государственном технологическом университете «Станкин».

Авторы

Принятые обозначения

Обозначение
Смысловое значение, запись символами

π1, π2, π3
Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости проекций

π1/π2, π2/π3
Система плоскостей проекций

О
Точка пересечения осей проекций или начало координат

ОX , ОY, ОZ
Оси проекций

X, Y, Z
Оси координат

A, B, C
Точки в пространстве

x, y, z
Координаты точек: xA, yA, zA — координаты точки А

a, b, c
Прямые линии в пространстве

[АВ]
Отрезок прямой линии, ограниченный точками А и В

h, f, p
Горизонтальная, фронтальная и профильная прямые линии уровня

α, β, γ ,…
Плоскости в пространстве: α(АВС) — плоскость α, заданная треугольником АВС; β (A,B,C) — плоскость β, заданная точками А, В, С

hα, fα, pα
Прямые линии уровня, расположенные в плоскости α

ϕ1, ϕ2, ϕ3
Углы наклона прямой или плоскости к плоскостям проекций π1, π2, π3

ϕ
Угол между двумя геометрическими фигурами

Ψ
Дополнительный угол

a,
Угол между прямой линией а и плоскостью α

A′′, a′, α′
Горизонтальные проекции геометрических фигур

A″, a″, α″
Фронтальные проекции геометрических фигур

A″′, a″′, α″′
Профильные проекции геометрических фигур

АX, АY, АZ
Осевые проекции точки А

π4, π5
Дополнительные плоскости проекций

X1, X2
Новые оси проекций

π1/π4, π4/π5
Новые системы плоскостей проекций

A
IV, A
V, a
IV, a
V, α
IV, α
V
Проекции геометрических фигур на дополнительных плоскостях
проекций

i, i1, i2
Оси вращения

Вращение

⎯A, ⎯а, ⎯α
Проекции геометрических фигур после первого поворота

A, a,
Проекции геометрических фигур после второго поворота

|
|
Абсолютная величина: |А, В | — расстояние между точками А и В;
|а, α| — угол между прямой линией и плоскостью α

5

Обозначение
Смысловое значение, запись символами

||
Параллельность

⊥
Перпендикулярность

.
Скрещивание

∈
Принадлежность: A ∈ a — точка A принадлежит прямой a; а ∈ α —
прямая линия а принадлежит плоскости α

⊂
Содержит, включает: A ⊂ а — прямая линия a проходит через точку A;
а ⊂ α — плоскость α проходит через прямую а

∩
Пересечение: а ∩ α = А — прямая линия а пересекается с плоскостью α в точке А

=
Равенство

≡
Совпадение, тождественность: a′ ≡ b′ — горизонтальные проекции
прямых a и b совпадают

/
Отрицание знака: a
b — прямая линия a не параллельна прямой b;
A ∉ (π1, π2, π3) — точка A не принадлежит плоскостям проекций π1, π2, π3

Конкурирование
точек
относительно
плоскостей
проекций:
(A
B)π1— точка A конкурирует с точкой B относительно плоскости
проекций π1

↑
Видимость
геометрических
фигур
на
плоскости
проекций:
A ↑ π1 — точка A видима на плоскости проекций π1; В ↑/ π2 — точка В невидима на плоскости проекций π2

⇒
Следует; если …, то…

→
Отображается, проецируется: а → π4 — прямая линия а проецируется
на дополнительную плоскость π4

∧
Союз «и»

∨
Союз «или»

Окончание табл.

Часть I

К Р А Т К И Й
К У Р С

1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

1.1. Центральное проецирование

Совокупность правил, с помощью которых строят на плоскости изображения геометрических фигур, расположенных в пространстве, называют методом
проекций. Плоское изображение фигуры называют ее проекцией, а процесс получения проекций — проецированием.
Существуют два способа проецирования: центральное и параллельное.
Приступая к освоению курса начертательной геометрии, начинают с изучения
центральных проекций, которые являются исходными. Такой же проецирующий
аппарат, как и у центральных проекций, существует в природе — это наше зрение. Поэтому теория центральных проекций (перспективных изображений) исторически сложилась раньше, чем параллельных. В основном правила и способы перспективного изображения были сформулированы уже в XV—XVI вв.
Система центральных проекций состоит из плоскости проекций π0 и центра
проекций — точки S (рис. 1.1), не лежащей в этой плоскости. Точку S называют
также полюсом проекций.
Для построения проекции точки A, произвольно расположенной относительно системы проекций, через нее и точку S проводят прямую линию SA, называемую проецирующей прямой. На пересечении прямой SA с плоскостью π0 получают точку A0— центральную проекцию точки A. Нахождение точки A0 условно
записывают следующим образом:

SA ∩ π0 = A0.

7

Р и с. 1.1

Изложенный метод позволяет построить проекцию любой точки, причем
безразлично, находится ли она между центром S и плоскостью π0 (точка A), выше
центра проекций (точка B) или под плоскостью π0 (точка C). Если же проецируемая точка задана на самой плоскости проекций, например, точка D, то ее проекция D0 совпадает с ней. В этих случаях проецирующая прямая не нужна.
Среди проецируемых точек следует выделить точки, принадлежащие плоскости, проходящей через центр проекций S и параллельной плоскости π0. У таких точек, например точки E, проецирующие прямые параллельны плоскости π0
и пересекают ее в бесконечности, т.е. практически проекции этих точек построить нельзя.
Для построения центральной проекции прямой линии находят проекции
двух ее точек, проекцию треугольника строят по проекциям его вершин и т.д.
Определение проекций объекта (точки, прямой линии, тела) является прямой задачей или, как говорят, построением чертежа. Обратная задача заключается в том, что по заданным проекциям определяют форму объекта и его расположение относительно плоскости проекций, т.е. читают чертеж.
Система проекций, состоящая из одного центра проекций S и одной плоскости проекций π0, не позволяет по чертежу определить расположение объекта относительно плоскости π0. Например, по заданной проекции A0 точки A можно
построить только проецирующую прямую SA0 (рис. 1.2). Найти же расстояние от
точки A до плоскости π0 нельзя, так как проекции всех точек, расположенных на
проецирующей прямой SA0, находятся в точке A0 (проекции точек A1, A2, A3
и т.д.).
Таким образом, можно сделать вывод о том, что одна проекция точки не определяет ее положения относительно плоскости проекций. Этот же вывод справедлив для проекций прямых линий, плоских фигур и тел.
Чтобы узнать положение точки (объекта) относительно плоскости проекций, необходимо иметь две ее проекции. Их можно построить, если задать два
центра проекций S и S1(см. рис. 1.2). Проецирующие прямые SA и S1A определяют соответственно две проекции A0 и A01 точки A, по которым можно восстановить положение точки в пространстве. Поэтому в начертательной геометрии под
выражением дана точка A следует понимать, что даны две проекции точки A.
Достоинством центральных проекций является наглядность, но на изображенных предметах искажаются их форма и размеры. Кроме того, построение
проекций предметов сложных форм является довольно трудным и длительным
процессом. Поэтому в технике получил распространение другой вид проекций — параллельные проекции.

8

Р и с. 1.2

1.2. Параллельное проецирование

Центр проекций S может быть взят на любом расстоянии от плоскости проекций. Если оно бесконечно велико, то проецирующие прямые будут параллельны между собой. Такие условия определяют другой способ проецирования — параллельные проекции.
При параллельных проекциях задают плоскость проекций π0 и направление
проецирования N, составляющее с плоскостью π0угол ϕ0(рис. 1.3). Для построения проекции какойлибо точки, например точки A, через нее проводят проецирующую прямую, параллельную направлению проецирования N. Затем находят
точку пересечения проецирующей прямой с плоскостью π0 и обозначают ее A0 .
Полученную точку A0 называют параллельной проекцией точки A. Параллельная проекция точки может быть построена независимо от ее положения относительно плоскости π0 (см. точки A, B и C на рис. 1.3, а).
При таком способе проецирования проекции взаимно параллельных и равных между собой отрезков прямых также параллельны и равны между собой. Например, у параллелограмма ABCD проекции его противоположных сторон AB и
CD будут параллельны друг другу и равны между собой (отрезки A0B0 || C0D0 и
A0B0 = C0D0 на рис. 1.3, б).
В зависимости от наклона проецирующих прямых к плоскости проекций π0
параллельные проекции делят на косоугольные и прямоугольные. Косоугольные
проекции (см. рис. 1.3) получают с помощью проецирующих прямых, составляющих с плоскостью проекций π0 острый угол ϕ0. Если же проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций π0, то полученные проекции называют прямоугольными (рис. 1.4, а).
Чтение чертежа объекта при наличии одной его параллельной проекции невозможно по тем же соображениям, что и при центральных проекциях, поэтому
необходимо получить вторую проекцию. При косоугольных проекциях она может быть получена с помощью задания второго направления проецирования N1.
Для прямоугольных проекций изменять направление проецирования нельзя,

9

Р и с. 1.3

поэтому ее получают с помощью другой плоскости проекций или указывая расстояние от объекта до плоскости проекций π0. В последнем случае получают разновидность прямоугольных проекций, которую называют проекциями с числовыми отметками.
Для построения проекций с числовыми отметками используют только одну
плоскость проекций. Около каждой проекции точки ставят цифру, указывающую расстояние от точки до плоскости проекций (рис. 1.4, б). Знак «+» перед
цифрой (на чертеже его не ставят) говорит о том, что точка находится над плоскостью проекций, а знак «–» указывает на то, что она расположена под плоскостью проекций.
Проекции с числовыми отметками нашли широкое применение в областях
науки и техники, связанных с составлением различных карт. Ими пользуются
географы, геологи, геофизики и другие специалисты.
Для построения машиностроительных чертежей используют проекции на
две взаимно перпендикулярные плоскости, оказавшиеся наиболее удобными и
простыми. Объект располагают относительно плоскостей проекций так, чтобы
два основных его измерения (например, длина и высота) были параллельны одной плоскости проекций, а два других (например, длина и ширина) — другой.
При этих условиях каждая отдельная проекция выглядит плоской, ненаглядной,
так как на ней отсутствует третье измерение предмета, которое и придает изображению объемность. В то же время они имеют свое преимущество: проекции
ребер и плоских граней объекта, параллельных двум его измерениям, равны истинной величине. Это очень важно для машиностроительных чертежей, так как
по ним можно определять размеры изображенного объекта.
Таким образом, две прямоугольные проекции, взаимно дополняющие одна
другую, образуют такое изображение предмета, которое с учетом масштаба позволяет судить как о его истинных размерах, так и о форме, хотя последняя и не
всегда может быть ясно выражена двумя проекциями. Поэтому для предмета
сложной формы необходимо построить три прямоугольные проекции и более,
причем каждую из них получают на дополнительной плоскости проекций, пер10

Р и с. 1.4