Физическая химия : поверхностные явления на межфазных границах раздела жидкость-газ и жидкость-твердое тело

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1430 

Кафедра физической химии

Л.А. Андреев 
 
 

Физическая химия 

Поверхностные явления  
на межфазных границах жидкость–газ  
и жидкость–твердое тело 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2010 

УДК 544 
 
А65 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. И.В. Блинков 

Андреев Л.А. 
А65  
Физическая химия: Поверхностные явления на межфазных 
границах раздела жидкость–газ и жидкость–твердое тело: 
Учеб. пособие. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 70 с. 
ISBN 978-5-87623-361-5 

Учебное пособие содержит большое число однотипных домашних заданий, 
каждое из которых включает ряд типичных задач, охватывающих широкий 
круг вопросов по проблеме поверхностных явлений. Большое число индивидуальных заданий позволяет повысить уровень самостоятельности выполнения 
работы. Подбор задач в основном обусловлен интересами подготовки специалистов в области процессов обогащения руд и металлов, а также специалистов, 
связанных с пропиткой и производством композиционных материалов. Рассматривается на примерах методика решения каждого типа задач.  
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 150701, 
011030, 011020, 070800, 071000, 009030. 

УДК 544 

ISBN 978-5-87623-361-5 
© Андреев Л.А., 2010 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие..............................................................................................5 
1. Поверхностное натяжение...................................................................6 
Задача 1.1. Работа и изменение свободной энергии 
при диспергировании конденсированной фазы..................................8 
Задача 1.2. Условие пленочной флотации: оценка 
максимального размера частицы минерала, плавающей 
на поверхности воды..........................................................................11 
2. Влияние кривизны поверхности на давление внутри фазы............15 
Задача 2.1. Давление внутри капли жидкости. ................................17 
Задача 2.2. Давление газа внутри пузырька, находящегося 
под слоем жидкости. ..........................................................................19 
Задача 2.3. Условие равновесия жидкой пленки между 
двумя смачиваемыми пластинами. ...................................................23 
Задача 2.4. Условие равновесия жидкой пленки между 
двумя несмачиваемыми пластинами. ...............................................28 
Задача 2.5. Поднятие уровня жидкости в капилляре 
со стенками, смачиваемыми этой жидкостью. ................................32 
Задача 2.6. Опускание уровня жидкости в капилляре 
со стенками, несмачиваемыми этой жидкостью..............................37 
Задача 2.7. Взаимосвязь между глубиной лужицы жидкости 
и краевым углом смачивания. ...........................................................38 
Задача 2.8. Условие пенной флотации..............................................41 
3. Влияние кривизны поверхности жидкости на давление 
ее насыщенного пара..............................................................................44 
Задача 3.1. Давление насыщенного пара жидкости над каплей 
и в пузырьке, находящемся внутри жидкости. ................................45 
4. Влияние поверхностно-активных добавок на поверхностное 
натяжение раствора. Уравнение Гиббса...............................................49 
Задача 4.1. Применение уравнения Гиббса для определения 
адсорбции поверхностно-активного вещества на поверхности 
разбавленного раствора. Уравнение Шишковского........................50 
Задача 4.2. Применение модели совершенного раствора 
для вычисления зависимости поверхностного натяжения 
бинарного раствора от его объемной концентрации 
(уравнение Жуховицкого)..................................................................56 
Рекомендации по оценке точности результатов вычислений 
и построению графиков .........................................................................61 

Библиографический список...............................................................63 
Приложение 1......................................................................................64 
Приложение 2......................................................................................66 
Приложение 3......................................................................................68 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное пособие содержит набор индивидуальных заданий, включающих ряд типовых задач по курсу «Физическая химия поверхностных явлений», являющемуся теоретической основой специальности «Обогащение руд и металлов». Пособие должно способствовать 
углубленному пониманию понятия «поверхностное натяжение» и его 
приложений, в частности, в области практики обогатительного производства и процессов получения композиционных материалов. Решению каждого типа задач помогут краткое теоретическое введение 
и пример. 
Индивидуальную задачу определенного типа каждый студент выбирает согласно своему номеру в списке учебной группы по соответствующей таблице, указанной в условии задачи. 

1. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ 

Понятие «поверхностное натяжение» естественным образом возникает при рассмотрении следующего простого опыта, порядок проведения которого показывает схема, приведенная на рис. 1.1. Здесь 
показана пленка мыльной воды, натянутая на рамку из проволоки 
(вид сверху). В начале опыта на поверхности пленки размещается 
тонкая нить из резины. При этом сплошность пленки нигде не нарушена (рис. 1.1, а). Если затем пленку из области, находящейся внутри резинки, удалить, проткнув ее иголкой, то нить приобретет форму 
окружности и несколько удлинится (рис. 1.1, б). Мы видим, что на 
нить, при отсутствии внутренней части пленки, со стороны жидкости 
и тангенциально к ее поверхности, в сторону жидкости (см. рис. 1.1, б) 
действует сила, растягивающая нить. В исходном же состоянии системы жидкая пленка – упругая нить (см. рис. 1.1, a), когда пленка 
является сплошной, силы, действующие со стороны жидкости по обе 
стороны нити, равны друг другу и не могут влиять на ее форму. Если 
суммарную силу, действующую на нить, разделить на ее удвоенную 
длину, то получим величину, именуемую поверхностным натяжением и обозначаемую буквой σ. Размерность его – Н/м или Дж/м2. 

 

Рис. 1.1. К определению понятия «поверхностное натяжение» 

Поверхностным натяжением называется сила, действующая на 
единицу длины контура, ограничивающего поверхность жидкости, 
направленная нормально к контуру и тангенциально к поверхности 
жидкости в сторону последней. 
На основании рис. 1.1, б можно сделать вывод, что для некоторого 
увеличения площади поверхности пленки (некоторого уменьшения 
площади из-за просвета внутри нити) внешние силы должны затра
а 
б 

тить работу для преодоления действия сил поверхностного натяжения. В связи со сказанным можно дать следующее определение:  
Поверхностным натяжением жидкости σ называется работа, которую следует затратить, чтобы увеличить ее межфазную поверхность при изотермическом обратимом процессе на единицу площади. 
Это определение, строго говоря, справедливо лишь в тех случаях, 
когда речь идет о чистых веществах и кривизна межфазной поверхности сравнительно невелика и ее можно, не внося существенных 
ошибок, рассматривать как плоскую. Эти эффекты будут рассмотрены ниже при решении задач соответствующего типа. 
Для растворов, состав которых, как известно, можно в определенных пределах изменять, данное определение следует уточнить. Действительно, если, например, в растворе присутствует примесь некоторого поверхностно-активного вещества, молекулы которого, как 
известно, преимущественно находятся на межфазной поверхности 
раствор–воздух, то, очевидно, изменение площади межфазной поверхности (увеличение или уменьшение) должно приводить к изменениям концентрации раствора, а следовательно, и к изменениям величины поверхностного натяжения раствора σ. Понятно, что приведенное выше определение будет применимо и для растворов, если 
дополнить его условием, что увеличение площади межфазной поверхности осуществляется при соблюдении постоянства состава раствора. 
Определив поверхностное натяжение как работу, совершаемую 
при изотермическом обратимом процессе, мы фактически устанавливаем связь этого понятия с термодинамикой.  
Действительно, термодинамика утверждает, что работа, совершаемая над системой при обратимом изотермическом процессе, равна приращению ее свободной энергии ∆A. Тогда для приращения 
площади межфазной поверхности ∆Ω можно написать 

 
∆A = σ∆Ω, 
(1.1) 

или 

 
A
Δ
σ = ΔΩ . 
(1.2) 

Уравнение (1.2) позволяет сформулировать следующее определение: 
Поверхностное натяжение σ представляет собой приращение 
свободной энергии системы при обратимом изотермическом увеличении межфазной поверхности на единицу площади.  

Рассмотренный выше опыт приводит нас к очень важному качественному заключению. Мы отметили, что если нарушить равновесие 
сил, действующих на нить (удалить пленку, находящуюся внутри 
нити), то происходит самопроизвольное сокращение площади поверхности пленки. В результате, очевидно, частицы жидкости самопроизвольно переходят с межфазной поверхности в глубь жидкости, 
однозначно указывая, что на поверхности они обладают более высокой энергией, чем в объеме. Таким образом, с молекулярной точки 
зрения, самопроизвольное сокращение площади поверхности жидкости обусловлено стремлением молекул перейти в состояние с меньшей энергией.  

Задача 
1.1. 
Работа 
и 
изменение 
свободной 
энергии 
при 
диспергировании конденсированной фазы. 
Порция жидкости A массой m диспергирована при температуре T 
в инертной атмосфере на капельки радиусом r. Воспользовавшись 
табличными данными о поверхностном натяжении σ и плотности 
жидкости ρ, определить работу W и изменение свободной энергии ∆A 
при ее изотермическом обратимом диспергировании. 
Индивидуальное задание студент в зависимости от номера группы 
находит в табл. 1.1.1 или 1.1.2, а необходимые справочные данные в 
таблицах Приложений 1 и 2. 

Таблица 1.1.1 

Исходные данные для задачи 1.1 

№ 
Вещество А 
Масса жидкости m, кг 
T, К 
Радиус капли 
r, мкм 

1 
Теллур 
0,0211 
753 
1,5 

2 
Нитробензол (C6H5O2) 
0,0095 
293 
2,1 

3 
Ртуть 
0,0103 
209 
0,65 

4 
Хлороформ (CHCl3) 
0,0123 
303 
3,5 

5 
Четыреххлористый 
углерод (CCl4) 
0,0251 
303 
4,5 

6 
Кадмий 
0,0223 
613 
2,5 

7 
Этиловый спирт (С2H6O) 
0,0405 
293 
З,2 

8 
Таллий 
0,0504 
623 
2,06 

9 
Циклогексан (C6H12) 
0,0085 
283 
2,2 

10 
Цезий 
0,0603 
323 
0,93 

11 
Метиловый спирт (CH4O) 
0,0153 
293 
4,5 

12 
Олово 
0,0155 
513 
1,3 

13 
Бромбензол (C6H5Br) 
0,0305 
293 
1,4 

14 
Цинк 
0,0057 
703 
2,1 

Окончание табл. 1.1.1 

№ 
Вещество А 
Масса жидкости m, кг 
T, K 
Радиус капли 
r, мкм 

15 
Глицерин (C3H8O3) 
0,0662 
303 
0,57 

16 
Бензол (C6H6) 
0,0554 
303 
0,74 

17 
Галлий 
0,0075 
323 
1,35 

18 
Анилин (С6H7N) 
0,0352 
303 
2,05 

19 
Толуол (C7H8) 
0,0151 
303 
3,05 

20 
Ацетон (C3H6O) 
0,0227 
293 
1,23 

21 
Диэтиловый эфир 
(C4H10O) 
0,0504 
293 
1,08 

22 
Вода 
0,0351 
298 
2,05 

Таблица 1.1.2 

Исходные данные для задачи 1.1 

№ 
Вещество А 
Масса жидкости m, кг 
T, К 
Радиус капли 
r, мкм 

1 
Индий 
0,0037 
443 
2,03 

2 
Рубидий 
0,0053 
323 
4,15 

3 
1-бутанол (C4H10O) 
0,0083 
293 
1,3 

4 
Натрий 
0,0271 
323 
1,95 

5 
Пентан (C5H12) 
0,0223 
273 
3,55 

6 
Калий 
0,0102 
343 
1,87 

7 
Сера 
0,0332 
403 
0,95 

8 
Этилацетат (C4H8O2) 
0,.0162 
293 
2, 04 

9 
Алюминий 
0,0222 
953 
2,05 

10 
Магний 
0,0095 
943 
1,24 

11 
Уксусный ангидрид 
(C4H6O2) 
0,0113 
298 
3,1 

12 
Ртуть 
0,0094 
237 
2,14 

13 
Селен 
0,0331 
523 
3,05 

14 
Трихлорметан (CCl3H) 
0,0205 
293 
2,4 

15 
Барий 
0,0442 
1000 
3,1 

16 
Свинец 
0,0234 
600 
4,1 

17 
Нитрометан (CH3NO2) 
0,0222 
303 
1,95 

18 
Технеций 
0,0332 
724 
3,05 

19 
Анилин (C6H7N) 
0,0355 
293 
3,45 

20 
n-ксилол (C5H10) 
0,0095 
298 
2,1 

21 
Висмут 
0,0127 
563 
1,16 

22 
Хлорбензол (C6H5Cl) 
0,0553 
303 
3,05 

Решение. Капля жидкого лития массой 0,0345 кг диспергирована в 
инертной атмосфере при 460 K на капли радиусом r = 2,05 мкм. Определить работу, затрачиваемую на диспергирование капли лития и 
изменение его свободной энергии в результате этого процесса. 

Сначала решим задачу в общем виде. Если r – радиус капли, то 
объем одной капли  

 
w = 4πr3 / 3, 

а площадь ее поверхности 

 
ω = 4πr2. 

Для системы, состоящей из n капель, суммарная площадь поверхности  

 
Ω = nω. 

Число капель жидкости, очевидно, равно суммарному объему жидкости V, деленному на объем одной капли, 

 
n = V / w = m / ρw, 

где m – масса капли; ρ – плотность жидкости. 
Тогда суммарная площадь поверхности всех капель составит 

 
Ω = 3m / ρr, 

где m – масса капли; ρ – плотность жидкости. 
Работа, затрачиваемая на диспергирование, равна изменению 
площади поверхности системы ∆Ω, умноженному на поверхностное 
натяжение жидкости σ, т.е. 

 
2
1
2
1

3
1
1
(
)
(
),
m
W
r
r
σ
= σ Ω − Ω
=
−
ρ
 
(1.3) 

где индексы 1 и 2 относятся, соответственно, к состояниям до и после диспергирования. 
Вычисления. Сначала определим плотность и поверхностное натяжение жидкости при температуре, указанной в условии задачи – 
460 К. Температура плавления лития T0 = 453,5 К. Для этого подставим необходимые данные из таблицы Приложения 1 в соответствующие формулы для плотности  

 
0
0
d
( )
(
)
(
)
d
T
T
T
T
T
ρ
ρ
= ρ
+
−
 

и для поверхностного натяжения  

 
0
0
d
( )
(
)
(
).
d
T
T
T
T
T
σ
σ
= σ
+
−
 

После подстановки данных из Приложения 1 получим для плотности жидкого лития: ρ(460) = 523,8 кг/м3 и для поверхностного натяжения σ(460) = 0,718 Н/м. 
Предположим, что образец лития в исходном состоянии имеет 
форму сферической капли, радиус которой равен 

 
3
3
1
3
3 0,0345
0,0250 м.
4
4 3,14 523,8
m
r
⋅
=
=
=
πρ
⋅
⋅
 

Таким образом, согласно приведенной выше формуле (1.1) получим 

 
∆A = W = 0,6865 Дж. 

Окончательный результат следует согласовать с точностью использованных исходных величин и провести его необходимое округление. Для этого сначала вычислим среднюю квадратичную погрешность косвенного измерения рассматриваемой величины (см. Рекомендации, с. 62), т.е. δW. Как это следует из общей формулы для 
средней квадратичной погрешности, в данном случае следует вычислить выражение 

 

2
2
2
2
2
1 2
2 1

1
1
2
2
1
2
.
(
)
(
)
r r
r r
W
m
W
m
r r
r
r r
r

⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
δ
δ
δ
δρ
δσ
δ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎢
⎥
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ρ
σ
−
−
⎢
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
 

За погрешность, если она специально не указана, обычно принимают 
половину единицы из разряда сомнительной цифры соответствующей 
исходной величины. В данном случае, например, можно принять, что: 
δρ = 0,05 кг/м3, δ= 0,0005 Н/м; δm = 5·10–5 кг; δr2 = 0,02 мкм. Проведенный расчет дает, после округления δW = ±7·10–3 Дж. Таким образом, 
сомнительной в числовом выражении работы W является цифра разряда тысячных и окончательный результат следует представить в виде 
W = 0,686 ± 0,007 Дж. 

Задача 1.2. Условие пленочной флотации: оценка максимального 
размера частицы минерала, плавающей на поверхности воды. 
Определить критический размер частицы минерала А, имеющей 
кубическую форму с ребром a, и плотность ρ, которая еще способна 
удерживаться на поверхности раздела вода–воздух. Поверхностное 
натяжение воды σ = 72,8·10–3 Н/м. Как изменится критический размер такой частицы, если в воду добавить поверхностно-активное вещество, понизившее поверхностное натяжение на X %. 

Индивидуальное задание студент в зависимости от номера группы 
находит в табл. 1.2.1 или 1.2.2. 

Таблица 1.2.1 

Исходные данные для задачи 1.2 

№ 
Минерал А 
Химическая 
формула 
Плотность минерала 
ρ·10–3, кг/м3 
X, % 

1 
Гетит 
HFeO2 
4,25 
25 

2 
Ильменит 
FeTiO3 
4,70 
32 

3 
Ковеллин 
CuS 
4,70 
28 

4 
Корунд 
Al2O3 
4,3 
30 

5 
Летедокронит 
FeOOH 
4,0 
22 

6 
Магнетит 
F3O4 
5,1 
28 

7 
Манганит 
MnOOH 
4,3 
20 

8 
Марказит 
FeS2 
4,9 
19 

9 
Молибденит 
MoO2 
4,8 
17 

10 
Пирит 
FeS2 
5,1 
24 

11 
Пирротин 
FeS 
4,7 
31 

12 
Пиролюзит 
MnO2 
4,5 
20 

13 
Рутил 
TiO2 
4,3 
28 

14 
Смитсонит 
ZnCO3 
4,3 
21 

15 
Сфалерит 
ZnS 
4,0 
19 

16 
Фаллит 
Fe2SiO4 
4,2 
32 

17 
Халькопирит 
CuFeS2 
4,3 
22 

18 
Хромит 
FeCr2O4 
4,7 
33 

19 
Аурипигмент 
As2O3 
3,0 
27 

20 
Энстатит 
Mg2(Si2O6) 
3,2 
40 

21 
Малахит 
CuCO3Cu(OH)2 
3,9 
31 

22 
Лимонит 
Fe O(OH)·H2O 
4,0 
27 

Таблица 1.2.2 

Исходные данные для задачи 1.2 

№ 
Минерал А 
Химическая 
формула 
Плотность минерала 
ρ·10–3, кг/м3 
X, % 

1 
Берилл 
Be2Al2Si6O18 
2,9 
30 

2 
Борнит 
Cu5FeS4 
5,2 
20 

3 
Эритрин 
Со3(AsO4)2·H20 
3,0 
29 

4 
Перовскит 
CaTiO3 
4,0 
18 

5 
Флюорит 
CaF2 
3,2 
23 

6 
Целестин 
SrSO4 
4,0 
26 

7 
Бемит 
AlOOH 
3,0 
32 

8 
Артгонит  
CaCO3 
3,0 
31 

9 
Кальцит 
СаСO3 
2,8 
27 

10 
Антимонит 
Sb2O3 
4,7 
26 

11 
Барит 
BaSO4 
4,5 
19