Анализ несовершенств кристаллического строения по профилю и интенсивности рентгеновских отражений

№ 1655 

Кафедра физического материаловедения 

А.Н. Иванов, А.М. Поляков 

АНАЛИЗ НЕСОВЕРШЕНСТВ 
КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СТРОЕНИЯ  
ПО ПРОФИЛЮ И ИНТЕНСИВНОСТИ 
РЕНТГЕНОВСКИХ ОТРАЖЕНИЙ 

Учебное пособие  
для студентов специальности 0709.00 
и направлений 5104.3 и 5104.11 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом института

МОСКВА 2002 

УДК 539.26 
 
И 20 

Иванов А.Н., Поляков А.М. Анализ несовершенств кристаллического строения по профилю и интенсивности рентгеновских отражений: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2002. – 78 с. 

В пособии рассматриваются методы анализа субструктуры (средний размер блоков, распределение блоков по размерам, угол разориентировки между блоками, величина микродеформаций решетки и плотность 
дислокаций) по профилю и интенсивности рентгеновских дифракционных 
линий. Большое внимание уделено изложению результатов исследований 
последних лет, в которых предложено определение параметров субструктуры по профилю одной линии и с помощью аппроксимации профилей функцией Фойгта. 

Описаны основные принципы статистической динамической теории рассеяния рентгеновских лучей кристаллами, содержащими дислокации 
и другие дефекты второго класса по классификации М.А. Кривоглаза. 

Пособие по специальному курсу «Дифракционные методы исследования» предназначено для студентов специальности 07090.00 и направлений 
5104.03 и 5104.11, а также может быть использовано студентами и аспирантами, выполняющими НИР в области материаловедения. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Некоторые принципы рассеяния рентгеновских лучей 
кристаллами..........................................................................................5 

2. Анализ тонкой кристаллической структуры по профилю 
нескольких рентгеновских отражений.............................................14 
2.1. Метод аппроксимации профиля линии.....................................14 
2.2. Метод гармонического анализа профиля линии ......................16 

2.2.1. Вывод выражения для описания профиля линии..........16 
2.2.2. Связь параметров ТКС кристалла с КФ .........................18 

2.3. Определение параметров ТКС без расчета КФ ........................21 
2.4. Анализ дислокаций по ширине и профилю 
рентгеновских линий..................................................................25 
2.4.1. Анализ по интегральной ширине линии ........................25 
2.4.2. Анализ по профилю линии..............................................27 

3. Анализ параметров ТКС по профилю одной линии........................31 
4. Практические аспекты  анализа ТКС по профилю линии ..............36 
5. Анализ ТКС по интегральной интенсивности 
дифракционных максимумов ............................................................40 
5.1. Экстинкционный параметр.........................................................40 
5.2. Связь экстинкционного параметра с параметрами ТКС .........43 

5.2.1. Модель «мозаичного» кристалла....................................43 
5.2.2. Модель кристалла с выделенной 
«кинематической» областью вокруг дислокации .........45 

5.2.3. Модель кристалла, основанная на перенормировке 
статического фактора ......................................................50 

5.3. Основные принципы статистической динамической 
теории рассеяния рентгеновских лучей реальными 
кристаллами ................................................................................54 
5.3.1. Статистическое описание поля смещений.....................55 
5.3.2. Статистическое описание рассеяния ..............................57 
5.3.2.1. Когерентное рассеяние..................................................60 
5.3.2.2. Диффузное рассеяние....................................................63 

6. Примеры анализа субструктуры .......................................................67 

6.1. Анализ по профилю линий.........................................................67 
6.2. Анализ по интенсивности линий ...............................................73 

Библиографический список...................................................................76 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Пособие предназначено студентам физико-химического факультета, изучающим специальные курсы «Дифракционные методы 
исследования» и «Дифракционные и спектроскопические методы 
исследования», читаемые кафедрой физического материаловедения. 
Предполагается, что читатель освоил курс кафедры «Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия» в объеме учебных 
пособий [1] и [5], на которые даются детальные ссылки в тексте настоящего курса лекций. 

В разделе 1 кратко изложены принципы взаимодействия падающего и рассеянного под брегговским углом рентгеновского излучения, которое приводит к экстинкции, а также вводится понятие 
экстинкционной длины. 

В разделе 2 рассмотрены методы анализа субструктуры по 
профилям двух рентгеновских линий с помощью гармонического 
анализа и путем аппроксимации анализируемых профилей функциями Фойгта. 

Раздел 3 посвящен описанию анализа субструктуры по коэффициентам разложения физического профиля одной линии в ряд Фурье. 

В разделе 4 приведены основанные на опыте авторов практические рекомендации по проведению экспериментов и расчетов при 
анализе субструктуры по профилю рентгеновских линий. 

Раздел 5 посвящен описанию методов анализа параметров 
тонкой кристаллической структуры по интегральной интенсивности 
рентгеновских отражений с использованием эффекта экстинкции. В 
ней также изложены основные принципы статистической динамической теории рассеяния рентгеновских лучей кристаллами, содержащими дислокации и другие дефекты II класса по классификации 
М.А. Кривоглаза. 

Авторы выражают глубокую благодарность начальнику РИО 
издательства «Учеба» С.В. Фроловой за скрупулезное редактирование, 
которое заметно улучшило ясность изложения материала пособия. 

1. НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ РАССЕЯНИЯ 
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ КРИСТАЛЛАМИ 

Рентгеновское излучение рассеивается кристаллом без изменения частоты с отставанием по фазе при однократном рассеянии на 
π/2. Если углы падения и рассеяния равны брегговскому углу ϑ, то 
рассеивающая способность 
 одной атомной плоскости, которая 

равна отношению амплитуд рассеянной 
 и падающей 
 волн 

составляет [1,с.196] соответственно для σ-компоненты (нормальной 
плоскости дифракции) и π-компоненты поляризации (лежащей в 
плоскости дифракции): 

q

р
A
0
A

ϑ
=

ϑ

λ
=

σ

σ

2
cos

sin
0

q
q

V
d
F
r
q

π

я
 
(1.1) 

где 
 – структурная амплитуда рефлекса 
; 
λ – длина волны излучения; 
 – межплоскостное расстояние рассеивающих атомных плоскостей; 
 – объем элементарной ячейки кристалла; 

F
HKL

d

я
V

2

2

0
mc
e
r =
 – «классический» радиус электрона. 

Порядок величины 
 составляет 10
q
–5, а это означает, что уже 
после рассеяния слоем толщиной около 1 мкм, содержащим 
104 атомных плоскостей, амплитуда рассеянной под углом Брегга волны соизмерима с амплитудой падающей, и при расчете интенсивности 
интерференционных максимумов следует учитывать процессы рассеяния дифрагированной волны. Дважды рассеянная волна распространяется параллельно падающей, но отстает от нее по фазе на π, рис. 1, 
. Аналогично, фаза волны после четырехкратного рассеяния будет 

совпадать с фазой падающей волны, шестикратно рассеянная волна 
будет в противофазе, и т. д. В результате интерференция всех волн, 
распространяющихся в направлении падающей волны, приводит к 
формированию осциллирующей структуры волнового поля, которое 

р
A′

 
5 

вызывает толщинные осцилляции интенсивности – маятниковые биения (pendelosung) – в геометрии дифракции «на просвет» (по Лауэ), 
рис. 2, а. В этом случае в результате динамических эффектов при про
хождении падающей волной расстояния 2
Λ , где 

ϑ
Λ
=
ϑ
λ

π
=
Λ
cos
cos
0
0
C
F
r
Vя
, 
(1.2) 

энергия падающей волны полностью переходит в энергию отраженной. При прохождении длины Λ падающая волна восстанавливает 
свою интенсивность, а интенсивность отраженной волны падает до 
нуля. Этот процесс перекачки энергии из падающей волны в отраженную и обратно периодически повторяется, рис. 3. 

Рис. 1. Схема ослабления интенсивности проходящего пучка из-за его 
взаимодействия с дважды рассеянным пучком кристаллом в точном 
брегговском положении. Точками отмечены места рассеяния; 
1, 2, 3 – следы отражающих плоскостей (hkl) 

а
б

Рис. 2. Геометрия дифракции: 
а – по Лауэ («на просвет»), б – по Бреггу («на отражение») 

Рис. 3. Схема периодического изменения по глубине проникновения 
в кристалл t интенсивностей проходящей (Iпр) и рассеянной 
в направлении интерференционного максимума (Iр) волн 
в геометрии дифракции «на просвет» 

В случае геометрии дифракции «на отражение» (по Бреггу), 
рис. 2, б, получаем другой эффект – ослабление интенсивности про
 
7 

ходящей волны. Ее интенсивность после прохождения d
t  атомных 

плоскостей 

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
T
t
I
I
exp
0
, 
(1.3) 

где
π
2
Λ
=
T
 – характерная длина, при прохождении которой интен
сивность падающей волны уменьшается в e раз. Величина Λ называется длиной экстинкции (экстинкция – гашение). 

С учетом (1.1) получаем, что 

ϑ
Λ
=
ϑ
λ

π
=
π
=
Λ
sin
sin
0
0
C
F
r
V
q
d
я
, 
(1.4) 

где 
 для σ-компоненты поляризации и 
1
=
C
ϑ
2
cos
 – для  

π-компоненты поляризации. 

Таким образом, в геометрии дифракции «на отражение» уже 
при прохождении 4-5 экстинкционных длин (Λ ~ 1мкм) интенсивность падающей волны из-за взаимодействия с дважды отраженной 
волной, т. е. динамических эффектов, спадает практически до нуля, и 
падающая волна далее в кристалл не проникает, а ее энергия полностью (если пренебречь фотоэлектрическим поглощением) переходит 
в энергию отраженной волны, выходящей из кристалла («коэфффициент отражения» равен 1). 

Динамическая теория рассеяния учитывает это взаимодействие и показывает, что интегральная интенсивность (мощность) рефлекса HKL при рассеянии идеальным (совершенным по строению) 
толстым кристаллом в геометрии дифракции «на отражение» в 
отсутствии фотоэлектрического поглощения [1,с.203] 

я
V

F
r
I
HKL
HKL
2
0
2
sin
2
2
cos
1
λ
ϑ
ϑ
+
≈
, 
(1.5) 

а угловая ширина области «отражения» (т. е. ширина интерференционного максимума) составляет менее угловой минуты. 

При повороте кристалла за пределы «отражающей» области 
IHKL спадает почти до нуля, а глубина проникновения падающей вол