Физика : моделирование стационарных электрических полей

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

Кафедра физики

Е.В. Данилова

ФИЗИКА

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Лабораторный практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3852

УДК 537.612.2 
 
Д17

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. Ховайло

Данилова Е.В.
Д17  
Физика : моделирование стационарных электрических полей : лаб. практикум / Е.В. Данилова. – М. : Изд. Дом НИТУ  
«МИСиС», 2019. – 16 с.

Лабораторная работа относится к разделу «Электромагнетизм» общего 
курса физики. В работе с помощью установки изучаются свойства электрических полей, в частности, разнообразие возможностей распределения источников (точечный заряд, диполь, заряженная плоскость и т.д.). Цель работы – 
опытным путем определить геометрическую структуру электростатических 
полей с помощью построения эквипотенциальных и силовых линий.
Работа предназначена для студентов 2-го курса всех направлений подготовки.

УДК 537.612.2

 Е.В. Данилова, 2019
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лабораторная работа 2-18 ....................................................................... 4
Цель работы .......................................................................................... 4
Теоретическое введение ...................................................................... 4
Описание экспериментальной установки ....................................... 10
Порядок выполнения работы ........................................................... 12
Обработка результатов эксперимента.............................................. 13
Контрольные вопросы ....................................................................... 14
Библиографический список .............................................................. 15

Лабораторная работа 2-18

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Цель работы

Построить эквипотенциальные и силовые линии для различных 
стационарных электрических полей (однородного поля, поля диполя 
и других).

Теоретическое введение

Состояние электрического поля задано, если в каждой точке пространства известен вектор напряженности электрического поля Е(r,t)1 
Напряженность поля Е(r,t) – это «сила», которая действует на единичный положительный заряд, находящийся в этой точке в данный 
момент времени.
Силовой линией электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает по направлению с вектором Е(r, t). Силовые линии применяют для графического изображения электриче ских полей. 
Если в каждой точке пространства напряженность поля остается 
неизменной во времени, то электрическое поле называется стационарным. Стационарное электрическое поле Е(r) потенциально. Это 
означает, что работа по перемещению любого заряда в таком поле не 
зависит от траектории его движения, а определяется только положениями начальной и конечной точек траектории. Поэтому стационарное электрическое поле можно характеризовать как напряженностью 
Е(r), так и посредством скалярной величины – потенциалом φ(r). Потенциал в точке численно равен работе, которую требуется совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в эту точку. Потенциал φ(r) – это потенциальная энергия 
единичного положительного заряда, помещенного  в точку r.

Связь между потенциалом и напряженностью 
электрического поля

Потенциал является важной характеристикой электрического поля, 
он определяет всевозможные энергетические характеристики про
1 Здесь и далее жирным шрифтом обозначаются векторы.

цессов, происходящих в электрическом поле. Потенциал и напряженность поля связаны между собой. Пусть в произвольном электростатическом поле точечный заряд q совершил малое перемещение Δr из 
точки 1 в точку 2 (рис. 18.1).

Рис. 18.1. Перемещение точечного заряда в электростатическом поле

Пренебрегая изменением напряженности поля E на этом участке 
пути, работу, совершенную полем можно записать в виде: 

 
δA = FΔr·cosα = q (EΔr). 
(18.1)

По определению эта величина равна разности потенциалов  
Δφ = φ2 – φ1, взятой с противоположным знаком, умноженной на величину заряда q, то

 
δA = – q (φ2 – φ1) = – qΔφ. 
(18.2)

Приравнивая выражения (18.1) и (18.2) находим связь между потенциалом и напряженностью электрического поля в виде

 
(EΔr) = – Δφ. 
(18.3)

Формула (18.3) остается справедливой не только для конечных, но 
и для элементарных перемещений dl, т. е.

 
d
d
lE l = − ϕ 
(18.4)

или 

 

d
d
lE
l
ϕ
= −
. 
(18.5)

Следовательно, проекция вектора Е(r) на направление перемещения dl равна первой производной потенциала по данному направлению, взятой со знаком минус. 
Если перемещение dl параллельно оси х, то dl = dx, где dx - приращение координаты х. Исходя из этого имеем, согласно (18.4)

d
d
x
E
x = − ϕ,

где Еx - проекция вектора E на ось х.

С учетом (18.5) последнее выражение можно записать в виде

x
E
x
∂ϕ
= − ∂ .

Аналогично записываются выражения для проекций вектора E на 
оси y и z:

y
E
y
∂ϕ
= − ∂
, 
z
E
z
∂ϕ
= − ∂ .

Зная проекции вектора E на оси координат можно найти и сам вектор E:

E
i
j
k
x
y
z


∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= −
+
+


∂
∂
∂







,

где i, j, k - единичные векторы вдоль осей декартовой системы координат x, y, z.

Таким образом, напряженность электростатического поля равна 
градиенту потенциала, взятому с обратным знаком:

 
E = – gradφ. 
(18.6)

Градиент скалярной функции в данной точке пространства есть 
вектор, декартовы компоненты которого – суть частные производные 
этой функции (взятые со знаком минус) по соответствующим декартовым координатам, вычисленные в выбранной точке.
Полная работа А по перемещению заряда на всем пути 1–2 (см. 
рис. 18.1) будет равна

 

2

1
(
)
d
A
q
E l
= ∫



. 
(18.7)

При перемещении по произвольному замкнутому пути L работа 
потенциальных кулоновских сил равна нулю

(
)
0

L
A
q
Edl
=
=
∫



.

Величину 
(
)

L
Edl
∫



 называют циркуляцией вектора E. Видим, что 

циркуляция вектора электростатического поля равна нулю, т.е. 

 
(
)
0

L
Edl =
∫



. 
(18.8)

Это положение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: если циркуляция некоторого векторного поля равна нулю, то такое поле является 
потенциальным.

Эквипотенциальные линии и поверхности

Для графического изображения электростатических полей используют эквипотенциальные линии и поверхности. Поверхность (линия), 
геометрическое место точек которой имеет одинаковый потенциал, 
называется эквипотенциальной. При перемещении по эквипотенциальной поверхности потенциал φ остается неизменным, и согласно 
формуле (18.4) 
cos
0
d
d
E l
α = − ϕ =
, откуда cosα = 0 (α = 90°). Следовательно, вектор E в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности (рис. 18.2).

Рис. 18.2. Взаимное расположение силовых (сплошные)  
и эквипотенциальных (штриховые) линий

Если эквипотенциальные линии проводить так, чтобы разность потенциалов для любых соседних линий была всюду одна и та же (например, Δφ = 1 В), то по густоте этих линий можно судить о величине 
напряженности электрического поля.

Примеры некоторых конфигураций электрических полей (приведены на рис.18.3, 18.5 и 18.6).

Однородное поле
Если в некоторой области пространства вектор напряженности 
электрического поля остается постоянным, т. е. имеет неизменное 
направление и абсолютную величину, то говорят, что в этой области 
пространства электрическое поле однородно. В однородном поле 
связь между величиной напряженности поля и потенциалом упрощается, приобретая, как следует из (18.3), следующий вид:

 
E
d

∆ϕ
=
, 
(18.9)

где ∆ϕ – разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными плоскостями, a d – расстояние между ними.

Примером однородного электрического поля служит поле между 
двумя близко расположенными параллельными проводящими пластинами, несущими равные по модулю разноименные заряды, т.е. поле 
внутри плоского конденсатора вдали от его краев (см. рис. 18.3).

Рис. 18.3. Электрическое поле плоского конденсатора 

Поле диполя
Точечный электрический диполь – это система двух одинаковых по 
величине, но разных по знаку точечных зарядов, расстояние l между 
которыми  значительно меньше расстояния от зарядов до точки наблюдения, где определяется поле системы. Вектор l (называемый плечом диполя) проводится от отрицательного заряда к положительному 
(см. рис. 18.4). Также ориентирован и электрический дипольный момент, который, по определению, равен р = ql.

Рис. 18.4. Электрический диполь

Если поле создано не одним зарядом, а несколькими, то результирующая напряженность может быть найдена как векторная сумма напряженностей отдельных полей. Имеет место так называемый 
принцип суперпозиции (наложения) полей: действие одного поля не 
зависит от наличия других полей; поля накладываются друг на друга, 
не влияя одно на другое. На рис. 18.5 изображены векторы напряженности полей двух разноименных зарядов, показаны направление и величина суммарного вектора напряженности. 

Рис. 18.5. Суммарная напряженность электрического поля  
двух разноименных зарядов

Чтобы составить представление о конфигурации поля диполя, учтем, что картина силовых линий обладает осевой симметрией. Это 
позволяет ограничиться изображением поля в любой плоскости, содержащей вектор р. Соответствующее изображение дано на рис. 18.6, 
на котором показаны силовые (сплошные) и эквипотенциальные 
(штриховые) линии.

Рис. 18. 6. Электрическое поле точечного диполя

В данной работе изучаемые электрические поля создаются с помощью металлических электродов. В каждом случае используется 
пара электродов различной формы (пластины, цилиндры и т.п.), между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов, т.е. 
напряжение. Как известно, в электростатике (когда поле постоянно, а 
токи отсутствуют) все точки проводника имеют одинаковый потенциал, а электрическое поле внутри проводника отсутствует. В этом случае анализ структуры поля, созданного неподвижными заряженными 
проводниками, связан только с внешними телами.
Особенностью выполняемой лабораторной работы является то, 
что присущая электростатическим условиям структура полей изучается в ней заведомо не в электростатических, хотя и стационарных 
условиях (есть постоянный ток). Причина возможности подобной 
подмены заключается в следующем. В физике вообще и в электродинамике, в частности, нередко случается так, что уравнения, описывающие различные физические процессы, имеют одинаковый (подобный) вид. Используемые символы (буквы) в них могут отличаться, 
но математическая форма уравнений совпадает. Именно это обстоятельство используется в данной лабораторной работе. Оказывается, 
что условие потенциальности электростатического поля rot E = 0 и 
уравнение неразрывности тока div(σE) = 0, а также граничные условия к ним между областями с разной проводимостью σ, описывающие электрическое поле в условиях постоянного тока, обнаруживают 
формальную аналогию с уравнениями электростатики в диэлектриках. Отличие от них лишь в замене диэлектрической проницаемости ε 
на проводимость σ. Это позволяет, изучая конфигурацию токов, фактически выявлять конфигурацию электростатического поля.

Описание экспериментальной установки
В данной лабораторной работе металлические электроды разделены не диэлектрической, а проводящей средой. Роль последней играет 
электропроводящая пленка, к которой прижаты электроды. По пленке 
течет ток, причем распределение потенциала (а значит, и электрического поля) в ней совпадает с распределением электростатического 
потенциала (в отсутствие пленки), создаваемого электрически заряженными телами такой же конфигурации, что и электроды.
Блок-схема установки представлена на рис. 18.7. На нем указаны 
основные элементы, обеспечивающие требуемый токовый режим 
и возможность измерения потенциала: источник постоянного тока, 

электроды, вольтметр, щуп, указана также ориентация декартовых 
осей.

Рис. 18.7. Блок-схема установки

На схеме рис. 18.7 прямоугольник с электродами символизирует 
место, где располагают плату для моделирования полей. Всего таких 
плат четыре: 1) плоские электроды; 2) «сектор»; 3) диполь; 4) проводник переменного сечения. 
На рис. 18.8. представлен так называемый пантограф (устройство 
для вычерчивания копий). 

платы

держатель
фломастера

держатель щупа

миллиметровая
бумага

упругий кронштейн

генератор

вольтметр

каретка

рейка

Рис. 18.8. Внешний вид пантографа