Физика : колебания и волны

№ 1608



 Ю.А. Рахштадт
 Н.В. Чечеткина


 Физика
 Колебания и волны

 Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


№ 1608

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ
                  Технологический университет
                                МИСиС

 Кафедра физики


        Ю.А. Рахштадт
        Н.В. Чечеткина





 Физика

 Колебания и волны


 Учебное пособие
 для студентов специальностей 1102, 0709, 1209, 2202

 Под редакцией проф. Г.М. Ашмарина

 Рекомеццовано редакционно-издательским советом института








Москва Издательство «УЧЕБА» 2003

            СОДЕРЖАНИЕ



Предисловие.............................................4
  Глава 11. Колебания...................................5
    Линейный гармонический осциллятор...................5
    Энергетика ЛГО......................................5
    Динамика ЛГО.......................................12
    Графическое представление колебаний. Плоские диаграммы ...17
    Векторное представление колебаний (векторная диаграмма) ....22
    Затухающие колебания...............................23
    Вынужденные колебания..............................29
    Примеры решения задач..............................38
    Домашние задания 2011-2038 ........................50
  Глава 12. Волны......................................62
    Общие понятия. Уравнения...........................62
    Упругие волны......................................65
    Электромагнитные волны.............................73
    Примеры решения задач..............................79
    Домашние задания 2041-2058.........................89
  Глава 13. Волновые явления...........................97
    Интерференция волн.................................97
    Стоячие волны.....................................104
    Дифракция волн....................................110
    Примеры решения задач.............................121
    Домашние задания 2061-2078........................128
Ответы к домашним заданиям 20111-20783................137
Приложение............................................141
  Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований..........141
  Таблица физических величин..........................142

3

            ПРЕДИСЛОВИЕ



       Настоящее пособие соответствует программе учебного курса «Физика» факультета информатики и экономики. Оно призвано помочь студентам освоить теоретический курс, выработать навыки решения задач и подготовиться к экзаменам, коллоквиумам и контрольным работам. В пособие включены: краткие сведения по теории, примеры решения задач и домашние задания по разделу «Колебания и волны».
       Студенты выполняют еженедельно один из вариантов (по указанию преподавателя) каждого домашнего задания. Задание состоит из нескольких задач. Решение каждой задачи должно содержать: графики, рисунки или векторные диаграммы; уравнения соответствующих физических законов; расчетные формулы в общем виде; численное решение; ответы в системе СИ с точностью до трех значащих цифр. Особое внимание студент должен обратить на формулы и уравнения, содержащие векторные величины.
       Авторы благодарят: за запись и компьютерную обработку рукописи лекций студентов группы ММ-98-1 Д. Бочарова, Е. Кошкину, А. Кучеренко и группы МП-98 Н. Белякову и В. Кочетову, за компьютерную обработку рукописи примеров решений задач студентов группы ММ-98-1 С. Мельникова и группы МИ-98-2 Н. Алексееву, Ю. Беляйкину и Е. Зазолину, за помощь при проверке ответов к задачам настоящего пособия студентов группы ММ-99-1 Е. Борисову, К. Логинову, Е. Москвину и Н. Эккель.

4

            Глава 11. Колебания


      Колебательное движение (колебание) - это изменение со -стояния вещества или поля, характеризуемое повторяемостью во времени определенной физической величины .

    Виды колебаний

■  Периодические (гармонические и негармонические) и непериодические.
■  Собственные, затухающие, вынужденные, параметрические и автоколебания.
■  Механические, электромагнитные и др.

        Линейный гармонический осциллятор

      Колебательная система, совершающая собственные колеба-ния по гармоническому закону ^(z) = ncos(®₀ + (р) называется линей -ным гармоническим осциллятором (ЛГО).

    Примеры ЛГО

      1.       Пружинный маятник - материальная точка массой m, подвешенная на пружине жесткостью k.
      2.       Физический маятник - абсолютно твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.
      3.       Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной ( .
      4.       Электрический колебательный контур - электрическая цепь, содержащая емкость С и индуктивность L.

        Энергетика ЛГО

      Движение в любой потенциальной яме U - U(^) есть колеба-тельноедвижение(рис. 11.1).


5

Рис. 11.1. Колебательное движение в потенциальной яме

       Если на механическую систему (например, пружинный маятник), находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, действует внешняя сила f, то возникает градиент потенциальной энергии и, как следствие, - внутренняя сила F :
F - - grad^,

которая возвращает систему в положение устойчивого равновесия. Таким образом, в системе возникают колебания.
       Движение в любой потенциальной яме может быть аппроксимировано движением в параболической потенциальной яме, если рассматривать лишь малые отклонения (смещения) от положения равновесия.
       Движение в параболической потенциальной яме (U ~ S,²) при -водит к гармоническим колебаниям.

    Пружинный маятник

       Закон сохранения и превращения энергии колебаний пружинного маятника (рис. 11.2):
Uₘ = U + K = Kₘ,
где Uₘw.Kₘ- амплитудные значения потенциальной и кинетической энергий, соответственно.

6

Рис. 11.2. Энергетикаколебаний пружинного маятника

       При малых отклонениях от положения равновесия изменением потенциальной энергии материальной точки в однородном поле тяготения можно пренебречь.
       Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания:

- кА 2

I² = 1Ь²
2

,1     2    1     2
+ - т о = - т от,

где 0 = — _ Отсюда dt


х

dx dt

После разделения переменных

и интегрирования получаем:

f

dx
                         •J л² - .

т

7

откуда


• X Ik
arcsin— + с = А— t. А \ т


Если в начальный момент времени t = 0 смещение x₀ = A, то с = -— и решение интегрального уравнения имеет вид:
x(z) = Acos ®₀Z.

      Амплитуда А = |хт| определяется начальным запасом энергии и не зависит от параметров колебательной системы.
,       .            „2л
      Собственная циклическая (круговая) частота ®₀ = 2лу₀ = — То
зависит от параметров колебательной системы:

®0 = J— .
\ т
      Период собственных колебаний: T₀.
      Линейная частота: v₀.
      Фаза колебания: Ф = ®₀1 определяет значение смещения х в данный момент времени.
Если в момент времени t = 0 смещение |х^| < А ,то фаза колебания

Ф = ®₀1 + ф,

где ф - начальная фаза колебания.
       Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника:


Ia
V т

ZS Г x(z) = Acos



■ t + ф

X


    Физический маятник

      Закон сохранения и превращения энергии колебаний физического маятника (рис. 11.3):
Uₘ = U + K = Kₘ.

8

h

/ Л 0 с/ /
---- V* \

O

Рис. 11.3. Физический маятник: О-точка подвеса, С-центр инерции

       Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания:
, , 1_________, 1_____,
mghₘ = mgh + - лО = - лО ₘ,

    о dQ где £2 =----угловая скорость,
        dt
    3 - момент инерции маятника относительно т. О, h - высота, на которую поднимается центр инерции, определяется по формуле:
h -1 ф (1 - cos0),

здесь ф - ОС - длина физического маятника.
       При малых 0 sin0 ® 0 (в радианах) и тогда

              cos 0 = 7 1 - sin² 0 =у/1 -0² = 1 - —. 2
Поэтому

0²          0²
hₘ = £ ф -^пй = £ ф у .

Тогда закон сохранения и превращения энергии может быть записан в виде:

9

. eI  . e² uf л')'
mgl ₜ-=mgt ♦-⁺1 -'I ^71


       После разделения переменных и интегрирования (по аналогии с выводом для пружинного маятника) получим уравнение гармонических колебаний физического маятника:

                              (
                    0 = 0т cos ■



ф
к

■ t + ф
J

где 0ₘ - амплитуда колебаний.
       Собственная частота колебаний физического маятника


®о


    Математический маятник


      Математический маятник - это частный случай физического маятника: размерами тела массой m пренебрегаем по сравнению с длинойподвеса I (рис. 11.4).

       Так как момент инерции материальной точки относительно т. О равен:

3 =   ²,
то собственная частота колебаний математического маятника:


10