Акустоэлектроника : объемные акустические волны в кристаллах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1985 

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

Н.В. Переломова 
А.Н. Забелин 
 

Акустоэлектроника 

Объемные акустические волны в кристаллах 

Сборник задач 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2010 

УДК 548 
 
П27 

Р е ц е н з е н т  
проф. В.Т. Бублик 

Переломова Н.В., Забелин А.Н. 
П27  
Акустоэлектроника: Объемные акустические волны в кристаллах: Сб. задач. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 43 с. 
ISBN 978-5-87623-354-7 

Сборник задач содержит краткие теоретические сведения по теме «Объемные акустические волны в кристаллах». Приводятся примеры решения типовых задач. Задачи для самостоятельного решения позволят освоить технику расчетов характеристик объемных акустических волн. 
Предназначен для студентов четвертого курса направления 140400 «Техническая физика». 

УДК 548 

ISBN 978-5-87623-354-7 
© Переломова Н.В., 
Забелин А.Н., 2010 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Объемные акустические волны в кристаллах....................................4 
1.1. Фазовые скорости и поляризации объемных 
акустических волн ................................................................................4 
1.2. Лучевые и групповые скорости объемных 
акустических волн ................................................................................8 
1.3. Особые направления в кристаллах.............................................10 
2. Примеры решения задач ....................................................................12 
3. Задачи для самостоятельного решения ............................................28 
Ответы .....................................................................................................33 
Библиографический список...................................................................35 
Приложение.............................................................................................36 
 

1. ОБЪЕМНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 
В КРИСТАЛЛАХ  

В общем случае в заданном направлении в безграничном кристалле могут распространяться три плоские однородные объемные акустические волны с разными скоростями и взаимно ортогональными 
поляризациями. Эти три волны, имеющие общую волновую нормаль, 
называются изонормальными. 
Волна, вектор поляризации которой составляет наименьший угол 
с волновой нормалью, называется квазипродольной (QL), а если ее 
поляризация совпадает с направлением волновой нормали – продольной (L). Две другие волны называются квазипоперечными (QS), 
если их векторы поляризаций не ортогональны вектору волновой 
нормали, и поперечными (S), если их поляризации ортогональны 
волновой нормали. Если фазовая скорость одной из квазипоперечных 
волн больше фазовой скорости другой, то они называются соответственно быстрой квазипоперечной (QFS) и медленной квазипоперечной (QSS). 

1.1. Фазовые скорости и поляризации объемных 
акустических волн  

Распространение плоских объемных акустических волн в диэлектрических кристаллах описывается уравнением Кристоффеля 

 
(Γik – ρV2δik)pk = 0, 
(1.1) 

где  

 
S

ik
ijkl
j
l
c
n n
Γ
=
  
(1.2)  

тензор Кристоффеля; ρ – плотность кристалла; V – фазовая скорость 
акустической волны; δik – символ Кронекера; pk – компоненты единичного вектора поляризации p; 
S
ijkl
c
 – адиабатические коэффициен
ты упругой жесткости кристалла; nj – компоненты единичного вектора волновой нормали n. 
В большинстве практически важных случаев объемные акустические волны в пьезоэлектрических кристаллах рассматриваются в 
рамках так называемого квазиэлектростатического приближения, в 
котором учитывается только потенциальная часть электрического 

поля. При этом распространение плоских объемных акустических 
волн в пьезоэлектрических кристаллах описывается модифицированным уравнением Кристоффеля 

 
(Πik – ρV2δik)pk = 0, 
(1.3) 

где 
ik
Π  – тензор Кристоффеля для пьезоэлектрических кристаллов, 

 
;
i k
ik
ik

e e
Π
= Γ
+ ε
 
(1.4) 

ik
Γ  – упругий тензор Кристоффеля, 

 
,
E S

ik
ijkl
j
l
c
n n
Γ
=
; 
(1.5) 

ei – пьезоэлектрический вектор, 

 
ei = emijnmnj; 
(1.6) 

ε – диэлектрическая проницаемость кристалла в направлении волновой нормали; 

 
;
u
mn
n
m
n n
ε = ε
 
(1.7) 

,
E S
ijkl
c
 – адиабатические коэффициенты упругой жесткости кристалла, 

измеренные при постоянном электрическом поле; enij – пьезоэлектрические коэффициенты; 
u
mn
ε
 – коэффициенты диэлектрической 
проницаемости кристалла, измеренные при постоянной деформации. 
Вид матриц коэффициентов 
,
E S
ijkl
c
, 
u
mn
ε
 и enij для 32 классов сим
метрии приведена в табл. П1–П3 приложения. 
В рамках квазиэлектростатического приближения акустическая 
волна в пьезоэлектрическом кристалле может сопровождаться волной электрического поля (E || n) и волной электрической индукции 
(D ⊥ n). Электрические свойства объемной акустической волны зависят от взаимной ориентации пьезоэлектрического вектора волны  

 
(
)
(
)
m
m

i
ijk
j
k
e
e n p
=
, 
(1.8) 

и волновой нормали n. Если e(m) = 0, то акустическая волна не сопровождается электрическими колебаниями и в этом смысле не является 
пьезоактивной. Акустическая волна, для которой e(m) || n, сопровождается волной электрического поля и называется продольно