Математические задачи координатно-измерительных машин

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
ЗАДАЧИ
КООРДИНАТНОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ 
МАШИН

Н.Г. ЧИКУРОВ

Москва
ИНФРА-М
2021

МОНОГРАФИЯ

УДК [004.75+51-74](075.4)
ББК 32.97:22.1
 
Ч60

Чикуров Н.Г.
Ч60  
Математические задачи координатно-измерительных машин : монография / Н.Г. Чикуров. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 150 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1163946.

ISBN 978-5-16-016483-0 (print)
ISBN 978-5-16-108757-2 (online)
В монографии рассматриваются решения математических задач, связанных с измерениями различных машиностроительных деталей на координатно-измерительных машинах (КИМ). Кроме того, решен ряд математических задач, которые возникают при измерениях деталей на КИМ. Дана 
методика проведения соответствующих измерений и математических вычислений.
Предназначена для специалистов, которые разрабатывают и обслуживают системы управления КИМ, для операторов КИМ, а также для студентов технических университетов соответствующих специальностей.

УДК [004.75+51-74](075.4)
ББК 32.97:22.1

ISBN 978-5-16-016483-0 (print)
ISBN 978-5-16-108757-2 (online)
© Чикуров Н.Г., 2021

Р е ц е н з е н т ы:
Шолом В.Ю., доктор технических наук, генеральный директор технопарка «ХТЦ УАИ-Росойл»;
Кудояров Р.Г., доктор технических наук, профессор Уфимского государственного авиационного технического университета 

Введение

В монографии рассматриваются решения математических задач, 
связанных с измерениями различных машиностроительных деталей 
на координатно-измерительных машинах (КИМ). В литературе 
весьма мало публикаций, которые раскрывают математическое содержание таких задач. Без их решения нельзя построить требуемые 
измерительные алгоритмы и невозможно создать программное 
обеспечение для компьютерных систем управления КИМ.
Автором рассмотрены и решены математические задачи, которые 
возникают при измерениях деталей на КИМ. Дана методика проведения соответствующих измерений и математических вычислений.
Монография относится к тем КИМ, которые работают с использованием прямоугольной декартовой системы координат и оснащены сканирующими измерительными головками. При соприкосновении щупа КИМ с измеряемой поверхностью отклонение щупа 
измеряется встроенными в сканирующую головку оптическими 
датчиками. Координаты измеренной точки определяются суммированием числовых значений, поступающих с энкодеров машины 
и с датчиков сканирующей головки. Одновременно с помощью этих 
датчиков вычисляется вектор отклонения щупа.
Главное требование, которое предъявляется к любой КИМ — 
необходимая точность измерений. Она достигается за счет применения в КИМ совершенных конструктивных решений в сочетании 
с современными системами ЧПУ, а также за счет оригинального 
программно-математического обеспечения и использования специальных технологических приемов измерений.
В КИМ, изготовленных по современной технологии и оснащенных высокоточными измерительными устройствами, погрешность измерения координат точек, расположенных на поверхностях 
деталей, не превышает 1–3 мкм. В производственных помещениях, 
где работают КИМ, должна поддерживаться стерильная чистота 
и температурная стабильность.
Монография включает следующие основные темы:
 
• Определение координат центра калибровочной сферы.
 
• Определение неизвестных размерных параметров рабочих щупов.
 
• Измерения основных элементов.
 
• Расчетное выравнивание.
 
• Измерения дополнительных элементов.
Каждой из перечисленных тем отведена соответствующая глава. 
Математические алгоритмы, опубликованные в монографии, протестированы и реализованы в действующей КИМ. Программное 
обеспечение разработано в среде программирования Visual C++.

Глава 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА 
КАЛИБРОВОЧНОЙ СФЕРЫ

1.1. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА 
КАЛИБРОВОЧНОЙ СФЕРЫ

После выхода рабочих органов КИМ в фиксированную точку 
требуется определить координаты центра калибровочной сферы. 
Калибровочная сфера установлена на подвижном столе КИМ, 
но координаты центра калибровочной сферы относительно фиксированной точки неизвестны.
Задача решается в виде последовательности математических 
действий. Первое из них связано с определением окружности, проходящей через три точки. Эту процедуру при ее программировании 
полезно оформить в виде отдельной функции. Решая общую задачу 
определения координат центра калибровочной сферы, мы будем 
обращаться к этой функции несколько раз.
Допустим, что на поверхности сферы заданы координаты трех 
точек 
1
1
,
a b  и 
1c . Требуется найти координаты центра 
1o  сферы 

с известным радиусом 
0
R .
Сначала построим окружность, проходящую через заданные 
точки 
1
1
1
,
,
a b c  (риc. 1.1).
Временно принимаем условие, что если смотреть на сферу 
сверху, то круговая последовательность этих точек совпадает с направлением движения часовой стрелки.
Найдем координаты центра p  окружности, проходящей через 

указанные точки 
1
1
1
,
,
a b c . Примем две хорды, которые соединяют 

точки 
1
1
,
a b  и 
1
1
,
b c  окружности, в качестве векторов 
1
L  и 
2
L .

 

1
1
1

1
1
1
1
1
1

1
1
1

2
1
1

2
1
1
2
1
1

2
1
1

,

.

x
x
x

y
y
y

z
z
z

x
x
x

y
y
y

z
z
z

L
b
a
L
b
a
L
b
a

L
b
a

L
c
b

L
c
b
L
c
b

L
c
b

−
=
−
=
=
−

−

−

=
−
=
=
−

−

Риc. 1.1. Построение окружности, заданной тремя точками

Через середины хорд 
1
m  и 
2
m  восстановлены единичные век
торы 
0
1
H  и 
0
2
H . Они расположены в плоскости окружности и определяют направления прямых, проходящих через искомый центр 
окружности 
1o .

Вычислим бинормаль 
1
B  и нормализуем ее.

1
2
2
1
1

1
1
2
2
1

1

1
1

2

2

2
1
1

,

y
z
y
z
x

y
z
x
z
x

x
y
x
y
z

L L
L
L
B
B
L L
L L
L L
L
B

B
L
L
L

−

=
=
−
×
−
=

1
0
1
2
2
2
1
1
1

1
0
1
2
2
2
1
1
1

1
0
1
2
2
2
1
1
1

,

,

.

x
x
x
y
z

y
y
x
y
z

z
z
x
y
z

B
B
B
B
B

B
B
B
B
B

B
B
B
B
B

=
+
+

=
+
+

=
+
+

0
1
0
0
1
1
1
0
1

.

x

y
NORM

z

B
B
B
B

B

⎡
⎤
=
=
⎣
⎦

Нормализуем векторы 
1
L  и 
2
L .

0
1
0
0
1

1
0
1
2
2
2
1
1
1

1
0
1
2
2
2
1
1
1

1
0
1
2
2
2
1

0
1

1

1
1

1

,

,

,

,

x
x
x
y
z

y
y
x
y
z

z
z

x

y
NO

x

M

z

R

z

y

L
L
L
L
L

L
L
L
L
L

L
L

L

L
L
L

L

L
L
L

⎡
⎤
=
=

=
+

⎣
⎦

+

=
+
+

=
+
+

0
2
0
0
2

2
0
2
2
2
2
2
2
2

2
0
2
2
2
2
2
2
2

2
0
2
2
2
2
2

0
2

2

2
2

2

.

,

,

,

x
x
x
y
z

y
y
x
y
z

z
z

x

y
NO

x

M

z

R

z

y

L
L
L
L
L

L
L
L
L
L

L
L

L

L
L
L

L

L
L
L

⎡
⎤
=
=

=
+

⎣
⎦

+

=
+
+

=
+
+

С помощью векторных произведений определяем единичные 
векторы 
0
1
H  и 
0
2
H .

0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1

0
1

1

0
0
1
1
,

y
z
y
z
x

y
z
x
z
x

x
y
x
y
z

B L
L B
H

H
B L
L B
B L
L B
H

H
B
L

−

=
=
−
×
−
=

0
0
0
0
0
1
2
2
1
2
0
0
0
0
0
2
1
2
2
1
0
0
0
0
0
1
2
2
1

0
1

2

0
0
2
2
,

y
z
y
z
x

y
z
x
z
x

x
y
x
y
z

B L
L
B
H

H
B L
L B
B L
L
B
H

H
B
L

−

=
=
−
×
−
=

Из чертежа следуют два соотношения:

 

0
1
1
1

0
1
2
2
2

1
,
2
1
.
2

p

p

R
L
H H

R
L
L
H H

=
+

=
+
+

 
 (1.1)

Приравнивая их, получаем векторное выражение

0
0
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
0
1
.
L
H H
L
L
H H
+
−
−
−
=

Или

(
)
0
0
1
2
1
2
1
2
1
.
2
H H
H H
L
L
−
=
+

В координатной форме

(
)

(
)

(
)

0
0
1
2
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2
1
2

1
,
2
1
,
2
1
.
2

x
x
x
x

y
y
y
y

z
z
z
z

H H
H H
L
L

H H
H H
L
L

H H
H H
L
L

−
=
+

−
=
+

−
=
+

Введем обозначения:

(
)

(
)

(
)

1
2

1
2

1
2

1
,
2
1
,
2
1
.
2

x
x
x

y
y
y

z
z
z

h
L
L

h
L
L

h
L
L

=
+

=
+

=
+

Тогда система линейных уравнений принимает компактный 
вид:

 

0
0
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2

,

,

.

x
x
x

y
y
y

z
z
z

H H
H H
h

H H
H H
h

H H
H H
h

−
=

−
=

−
=

  
 (1.2)

Определитель системы уравнений (1.2) равен нулю. Поэтому 
в любой момент времени из трех уравнений (1.2) можно использовать только два уравнения. Назовем эти уравнения рабочими уравнениями. Для каждой пары рабочих уравнений существуют три 
возможных варианта. Выпишем возможные варианты выражений 
для определения неизвестных переменных 
1
H  и 
2
H .

−
=

−
=

−
=

−
=

−
=

−
=

0
0
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2

0
0
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2

,

,

2)

,

,
3)

,

.

1)

x
x
x

y
y
y

y
y
y

z
z
z

z
z
z

x
x
x

H H
H H
h

H H
H H
h

H H
H H
h

H H
H H
h

H H
H H
h

H H
H H
h

В одной из этих систем уравнения окажутся линейно зависимыми. Кроме того, одно из уравнений может быть нулевым. Определитель такой системы равен нулю и система не имеет решения.
Чтобы выделить из трех систем те, которые имеют решения, выпишем определители для каждой из этих систем уравнений.

 

0
0
1
2
1
0
0
1
2

0
0
1
2
2
0
0
1
2

0
0
1
2
3
0
0
1
2

1)

2)

3)

x
x

y
y

y
y

z
z

z
z

x
x

H
H
H
H

H
H

H
H

H
H
H
H

−
Δ =
−

−
Δ =
−

−
Δ =
−

Выпишем определители искомых переменных для каждой 
из трех систем уравнений.

 

0
0
2
1
11
21
0
0
2
1

0
0
2
1
12
22
0
0
2
1

0
0
2
1
13
23
0
0
2
1

,

2)

,

3)

,

1)

x
x
x
x
H
H
y
y
y
y

y
y
y
y
H
H
z
z
z
z

z
z
z
z
H
H
x
x
x
x

h
H
H
h
h
H
H
h

h
H
H
h

h
H
H
h

h
H
H
h
h
H
H
h

−
Δ
=
Δ
=
−

−
Δ
=
Δ
=
−

−
Δ
=
Δ
=
−

Далее неизвестные переменные 
1
H  и 
2
H  вычисляем по следующей схеме:
1) Если Δ >
1
0 , то

 
11
21
1
2
1
1
,
.
H
H
H
H
Δ
Δ
=
=
Δ
Δ

2) Если 
2
0
Δ >
, то

 
12
22
1
2
2
2
,
.
H
H
H
H
Δ
Δ
=
=
Δ
Δ

3) Если 
3
0
Δ >
, то

 
13
23
1
2
3
3
,
.
H
H
H
H
Δ
Δ
=
=
Δ
Δ

Подставляем значения 
1
H  или 
2
H  в уравнения (1.1).

 

0
1
1
1

0
1
1
1

0
1
1
1

1
,
2
1
,
2
1
.
2

px
x
x

py
y
y

pz
z
z

R
L
H H

R
L
H H

R
L
H H

=
+

=
+

=
+

Либо

 

0
1
2
2
2

0
1
2
2
2

0
1
2
2
2

1
,
2
1
,
2
1
.
2

px
x
x
x

py
y
y
y

pz
z
z
z

R
L
L
H H

R
L
L
H H

R
L
L
H H

=
+
+

=
+
+

=
+
+

Вектор координат центра окружности

 

1

1
1

1

.

x
x
px

p
y
y
py

z
z
pz

p
a
R
p
a
R
p
a
R

p
a
R

+
=
+
=
=
+

+

  
 (1.3)

Теперь ищем координаты центра 
1o  сферы (риc. 1.2).

Риc. 1.2. Измерение сферы, заданной тремя точками

Построим вектор 
3
L , соединяющий точку центра окружности c  

и центр сферы 
1o . Из рисунка видно, что модуль этого вектора 
определяется простым соотношением

2
2
3
0
,
p
L
R
R
=
−

где

2
2
2 ,
p
px
py
pz
R
R
R
R
=
+
+

0
R  — радиус сферы.

Направление вектора 
3
L  определим с помощью единичного век
тора бинормали 
0
1
B . Получаем

0
3
1
0
0
3
3
3
3
1
1
0
3
1

.

x
x

y
y

z
z

B
L

L
L B
L
B
L

L
B

⎡
⎤
⎢
⎥
=
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦