Теоретическая физика : классическая механика

№ 831 

Кафедра теоретической физики 

Ю.Х. Векилов, С.И. Мухин, Ю.М. Кузьмин 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 

Классическая механика 

Учебное пособие 

для студентов специальностей 110500, 070900 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом института

МОСКВА 2002 

УДК 531.01 
 
В26 

В26 
Векилов Ю.Х., Мухин С.И., Кузьмин Ю.М. Теоретическая физика: Классическая механика: Учеб. пособие – М.: МИСиС, 
2002. – 59 с. 

В пособии изложены основные положения классической механики 
и методы решения типовых задач. Пособие должно помочь студентам в 
усвоении лекционной программы и в приобретении навыков решения задач. 

Предназначено для изучения курса «Теоретическая физика», раздел 
«Классическая механика» студентами физико-химического факультета специальностей 110500 и 070900. Пособие будет также полезно студентам 
факультета полупроводниковых материалов и приборов и вечернего факультета при изучении курса «Классическая механика». 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Общие принципы классической механики ........................................4 
2. Уравнение Лагранжа. Принцип относительности Галилея. 
Интегралы движения...........................................................................6 
Задачи ...................................................................................................9 

3. Интегрирование уравнений движения лагранжа.............................11 

3.1. Движение частицы в одномерном потенциальном поле ........11 
3.2. Движение частицы в центральном поле. Задача Кеплера ......15 
Задачи..............................................................................................................16 
3.3. Рассеяние частиц. Формула Резерфорда. .................................20 
Задачи..............................................................................................................22 

4. Малые колебания................................................................................24 

4.1. Свободные одномерные  колебания. Колебания систем  
cо многими степенями свободы. Вынужденные колебания.  
Резонанс..............................................................................................24 
Задачи..............................................................................................................27 
4.2. Затухающие колебания ..............................................................46 
Задачи..............................................................................................................48 

5. Метод гамильтона в классической механике...................................50 

5.1. Уравнения движения Гамильтона. Скобки Пуассона.............50 
5.2. Канонические преобразования..................................................51 
Задачи..............................................................................................................52 
5.3. Уравнение движения Гамильтона – Якоби..............................53 
Задачи..............................................................................................................54 
5.4. Адиабатические инварианты.....................................................54 
Задачи..............................................................................................................55 

Библиографический список...................................................................58 

 
3 

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ 
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 

Траектории частиц механической системы описываются набором обобщенных координат z1(t), ..., zN(t). 

Лагранжиан механической системы L(zi(t), &z i(t), t) зависит от 
координат z1(t), ..., zN(t) и связанных с ними скоростей z& 1(t), ..., z& N(t) 
и определяет динамику системы. Точки над символами обозначают 

производную по времени, d/dt. Лагранжиан L(zi(t), z& i(t), t) является 
функцией от скоростей 
(t), степень которой не выше второй. 
iz&

Интеграл по времени от лагранжиана вдоль произвольной 
траектории системы, определяемой некоторой совокупностью функций координат частиц z1(t), ..., zN(t), задает функционал S[zi], называемый действием на заданной траектории системы между моментами времени ta и tb: 

 
S [zi] =
L(z
∫

b

a

t

t

i(t), z& i(t), t)dt 
(1.1) 

Согласно принципу наименьшего действия Гамильтона механическая система реально движется по траектории c координатами  
z1(t), ..., zN(t), на которой действие S[zi] минимально. 

Непосредственная (прямая) минимизация действия производится на определенном классе пробных траекторий, согласно описанному ниже способу в задаче 1.1. Непрямая минимизация действия производится методом Эйлера, с помощью которого получаем в 
данном случае дифференциальные уравнения Лагранжа, как описано 
в разде. 2.1.  

Задача 1.1. Частица в поле U(z)= −Fz за время τ перемещается из точки z = 0 в точку z = а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид  
z(t) = At2 + Bt + C, и подбирая коэффициенты A, B, и C такие, чтобы 
действие имело наименьшее значение. 

 
4 

Решение 
Полагая z = 0 при t = 0, находим C = 0, и из условия z = A при 
t = τ находим  
B = A/τ – Aτ. 

Используя функцию z(t)=At2 + (a/τ – Aτ)t, вычисляем действие: 

 
S =∫ L(z, 
)dt =

τ

0

z&
∫

τ

0

dt
z
U
z
m
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣

⎡
−
)
(
2

2&
 = mΑ2τ3/6 + ma2 / (2τ) − 
 

  
– FAτ3/6 + Faτ/ 2. 
(1.2) 

Из условия δS / δA = 0, определяющего минимум действия, 
находим A = F /
m
2
. Очевидно, что закон движения:  

 
z(t) = Ft2/
m
2
 + (a/τ – Fτ/
m
2
)t 
(1.3) 

в данном случае является точным. Однако приведенное решение задачи позволяет утверждать лишь то, что при найденном законе движения действие принимает наименьшее значение по сравнению с 
таковым при движении по любой другой траектории предложенного 
вида. 

 
5 

2. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА. 
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
ГАЛИЛЕЯ. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 

Действие S[zi] экстремально на траектории реального движения 
zi(t) 
в 
сравнении 
со 
всеми 
другими 
траекториями  
zi′(t) = zi(t) + δzi(t) близкими к данной, которые имеют одинаковые 
концевые точки: z′i(ta) = zi(ta) и z′i(tb) = zi(tb). Это свойство действия 
выражается равенством нулю вариации действия δ1S[zi] в линейном 
приближении по вариации траектории δzi(t): 

  
 δ1S[zi] = {S[zi + δzi] − S[zi]}|лин = 0 
(2.1) 

с граничным условием: 

 
δzi(ta) = 0,   δzi(tb) = 0. 
(2.2) 

Траектория zi(t), зануляющая первую вариацию действия, удовлетворяет i-му уравнению Лагранжа, являющемуся, по сути, уравнением 
Эйлера для экстремума функционала S[ zi]: 

 
(d/dt)(дL/д z& i) = дL/дzi  ;   i = 1, ..., N 
(2.3) 

Количество уравнений Лагранжа определяется количеством обобщенных координат,  описывающих движение механической системы, 
z1, ..., zN. 

Система отсчета, по отношению к которой время является 
однородным, а пространство – однородным и изотропным, называется инерциальной. Если какая-либо система отсчёта движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, то она 
также инерциальна. Во всех инерциальных системах одинаковы 
свойства пространства и времени, а также одинаковы и законы механики. Это утверждение называется принципом относительности Галилея. 

Координаты r и r′ одной и той же точки, а также время t и t′ в 
двух различных системах отсчёта K и K′ связаны преобразованиями 
Галилея: 

 
r′= r + Vt  
(2.4) 

 
6