Физика конденсированного состояния : электронная структура твердых тел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2306

Кафедра полупроводниковой электроники 
и физики полупроводников 

И.М. Анфимов 
С.П. Кобелева 
И.В. Щемеров 

Физика 
конденсированного  
состояния 

Электронная структура твердых тел 

Лабораторный практикум 

Москва  2014 

УДК 621.315 
А73

Р е ц е н з е н т ы :
канд. физ.-мат. наук М.Д. Малинкович;
д-р физ.-мат. наук, проф. А.М. Глезер
 (ФГУП «ЦНИИчермет им. И.П. Бардина»)

Анфимов, И.М.
А73
Физика конденсированного состояния : электронная структура твердых тел : лаб. практикум / И.М. Анфимов, С.П. Кобелева, И.В. Щемеров. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 76 с.
ISBN 978-5-87623-724-8 

В лабораторном практикуме рассматриваются методы измерения удельного электросопротивления, типа электропроводности, концентрации и подвижности свободных носителей заряда. Анализируются методы управления
этими параметрами на основе зонной теории электронного строения кристаллических твердых тел и квантовой статистики.
Предназначен для студентов металлургических специальностей по курсу
«Физика конденсированного состояния» («Электронная структура твердых тел»).

УДК 621.315 

ISBN 978-5-87623-724-8 

© И.М. Анфимов,
С.П. Кобелева,
И.В. Щемеров,
2014

СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа 1. Измерение удельного электрического
сопротивления полупроводников двухзондовым методом ..................4 
Лабораторная работа 2. Измерение удельного электрического
сопротивления полупроводниковых материалов
четырехзондовым методом с линейным расположением зондов .....19 
Лабораторная работа 3. Измерение параметров
полупроводника по эффекту Холла......................................................41 
Лабораторная работа 4. Измерение времени жизни
неравновесных носителей заряда по спаду фотопроводимости
бесконтактным СВЧ методом ...............................................................59 

Лабораторная работа 1 

ИЗМЕРЕНИЕ УДЕЛЬНОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ ДВУХЗОНДОВЫМ
МЕТОДОМ

(4 часа)

1.1. Цель работы

Определение распределения удельного сопротивления по длине
образца двухзондовым методом. Измерения проводятся при комнатной температуре.

1.2. Теоретическое введение

Характеристика удельного электрического
сопротивления полупроводников

Фундаментальным экспериментальным законом, устанавливающим связь приложенного к проводящему образцу напряжения U
с протекающим в результате этого током I, является экспериментальный закон Ома:

U
I = R , 
 (1.1) 

где R – электросопротивление; является константой для данного образца.

Электросопротивление
R
зависит
от
геометрической
формы
и размеров образца и характеристики материала – удельного электросопротивления ρ. Для однородного образца правильной геометрической формы длиной L и площадью поперечного сечения S

ρ L
R=
S . 
 (1.2) 

Выражая для этого случая интегральные характеристики U и I через дифференциальные j (плотность тока) и E (напряженность электрического поля), получаем закон Ома в дифференциальной форме:

I
j = S ; 
 (1.3) 

U
E = L ; 
(1.4) 

σ
ρ
E
j =
= E , 
 (1.5) 

где σ – удельная электропроводность вещества. 

В свою очередь, σ определяется концентрацией свободных носителей зарядов (СНЗ) n и их подвижностью μ:

σ
μ
= en ; 
(1.6) 

др
μ = E

υ
, 
(1.7) 

где e = 1,6·10–19 Кл – заряд электрона;
др
υ
 – средняя дрейфовая ско
рость движения электрона под действием электрического поля.

Существует два класса кристаллических материалов, поведение σ
в которых существенно отличается: проводники (этот класс называется
также металлами) и полупроводники. В металлах σ – константа, которая
приводится в справочных материалах, в полупроводниках σ зависит
от примесного
состава,
кристаллического
совершенства
материала
и внешних факторов – освещения, радиации, влажности и др. Эти материалы имеют также совершенно разный характер температурной зависимости этого параметра. Формула (1.6) описывает электропроводность
металлов, в которых свободными носителями зарядов являются электроны. В полупроводниках существует два типа СНЗ: электроны с концентрацией n и дырки с концентрацией p, поэтому электропроводность
полупроводников описывается формулой

.
n
p
en
ep
σ =
μ +
μ
 
 (1.8) 

Концентрация свободных носителей заряда

Основой для понимания физических процессов в твердом теле,
в частности электрических явлений, является зонная теория электронных спектров, базирующаяся на квантовомеханичеких представ

лениях. Концентрация свободных электронов – это концентрация
занятых квантовомеханических состояний в зоне проводимости,
а концентрация дырок – концентрация незаполненных состояний в
валентной зоне. При температуре 0 К в полупроводнике свободных
носителей заряда нет, в то время как концентрация электронов в металле практически не зависит от температуры и составляет величину
порядка концентрации атомов металла в единице объема (~1022 см–3).
В полупроводниковых материалах СНЗ появляются за счет термической генерации (за счет энергии кристаллической решетки):
1) перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости
(в этом случае создаются одинаковые концентрации электронов
и дырок n = p = ni);
2) перехода электронов из валентной зоны на уровень акцепторной примеси Еа, при этом создаются свободные дырки;
3) перехода электронов с уровня донорной примеси Ед в зону проводимости (создаются свободные электроны).
Верхний предел концентрации СНЗ при комнатной температуре в
полупроводниках определяется пределом растворимости легирующих примесей (~1019 см–3), нижний предел определяется собственной
концентрацией СНЗ (ni).
Важнейшим параметром проводящего материала, однозначно связанным с концентрацией неравновесных носителей заряда (ННЗ),
является уровень Ферми F. Для невырожденного материала

(
)
(
)
exp
exp
c
v
c
v
E
F
F
E
n= N
, p= N
kT
kT

⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
, 
 (1.9) 

где k – константа Больцмана; Nc (Nv) – плотность состояний на дне
зоны проводимости (потолке валентной зоны), зависящая от температуры и эффективной массы соответствующих СНЗ:

3
3
3
3
3
*
*
*
2
2
2
2
15
19
d
d
d
2
2

3
3
3
3
*
*
*
3
2
2
2
2
d
d
d
15
19
2
2

2π
2
4,82 10
2,5 10
;
300

2π
2
4,82 10
2,5 10
,
300

n
n
n
c

p
p
p
v

m kT
m
m
T
N =
=
T =
m
m
h

m kT
m
m
T
N =
=
T =
m
m
h

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 
(1.10) 

где
*
dn
m
 – эффективная масса плотности состояний электронов;

*
dp
m
 – эффективная масса плотности состояний дырок.

Термодинамически равновесные концентрации n и p невырожденных материалов связаны соотношением

2
exp
,
2

g
i
c
v
E
np= n = N N
kT
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 
 (1.11) 

где
g
E  – ширина запрещенной зоны полупроводника.

При низких температурах доминирует процесс ионизации примеси;
в области средних температур, к которой для большинства практически
значимых полупроводниковых материалов относится комнатная температура, концентрация СНЗ равна концентрации легирующей примеси,
и полупроводник является либо электронным, либо дырочным; при дальнейшем повышении температуры примесный полупроводник становится
собственным. Температура перехода к собственной проводимости тем
выше, чем больше ширина запрещенной зоны и чем выше концентрация
легирующих примесей в полупроводнике.
Легирующими, или мелкими, примесями в полупроводнике являются
примеси, энергия ионизации которых (Ес – Ед для донорной примеси
и Еа – Еv для акцепторной) сравнима со средней энергией кристаллической решетки в расчете на один атом – kT (0,025 эВ). Для широкого круга
алмазоподобных полупроводников такими примесями являются элементы, валентность которых отличается от валентности атомов полупроводникового материала на одну единицу. Так, для кремния и германия легирующими будут элементы III (акцепторы) и IV (доноры) групп Периодической системы Менделеева. Для соединений AIIIBV – элементы II 
и VI групп. Элементы III группы могут быть как донорами, так и акцепторами в зависимости от того, элемент какой из подрешеток – металла
или металлоида – они замещают.

Подвижность свободных носителей заряда

Для объяснения того факта, что электрическое поле вызывает
в проводящей среде движение с постоянной скоростью (1.7), а не ускорение, как это должно быть при действии силы eE на частицу с
массой m, в классической теории электропроводности было введено
понятие среднего времени свободного пробега τ как величины, обратной вероятности столкновения электрона с решеткой, при котором энергия, полученная от электрического поля, отдается решетке и
восстанавливается первоначальный импульс. В этом случае подвижность определяется выражением 

τ
μ
.
e
= m  
 (1.12) 

Было непонятно, почему длина свободного пробега L (произведение
времени свободного пробега на тепловую скорость носителя заряда) составляет сотни параметров кристаллической решетки, т.е. почему при
движении по кристаллической решетке электрон сталкивается только
с одним из сотен атомов на его пути. Объяснить этот экспериментальный
факт, как и ряд других, связанных, в частности, с различием поведения
электропроводности металлов и полупроводников, удалось в рамках
квантовомеханической теории, точнее, зонной теории кристаллических
твердых тел. Электрон как квантовомеханическая Ферми-частица обладает не только энергий и импульсом, но и волновыми свойствами. Волновая функция электрона в периодическом поле идеальной кристаллической решетки модулирована с периодом кристаллической решетки, что
позволило бы электрону двигаться без рассеяния в идеальной кристаллической решетке, т.е. время свободного пробега и подвижность были бы
бесконечными. Импульс электрона может изменяться только при взаимодействии с локальными нарушениями периодического кулоновского
поля, создаваемого ядрами атомов, т.е. с дефектами кристаллической решетки. Однако идеальных кристаллических решеток не существует в
принципе. К основным дефектам кристаллической решетки можно отнести
тепловые
колебания
атомов,
примесные
атомы (нейтральные
и ионизированные), дислокации, двойники и т.д.
При приложении электрического поля изменяется заполнение
разрешенных квантовомеханических состояний. При «выключении»
поля за счет взаимодействия с дефектами решетки система релаксирует, переходя в термодинамически равновесное состояние, поэтому
вводится понятие времени релаксации, которое в слабых электрических полях совпадает с введенным в классической теории электропроводности понятием времени свободного пробега и связано с подвижностью СНЗ выражением (1.12). 
Подвижность СНЗ зависит от среднего времени релаксации возбужденного состояния, которое, в свою очередь, определяется механизмом рассеяния СНЗ. Термин «механизм рассеяния» отражает
тот факт, что в результате столкновения с дефектами кристаллической решетки поток электронов (дырок) вдоль направления вектора
напряженности электрического поля постепенно уменьшается (рассеивается), что приводит к исчезновению электрического тока после
выключения электрического поля. Но процессы рассеяния идут