Механика : решение задач статики твердого тела

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА  
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования 

Ю.А. Поляков

МЕХАНИКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Допущено учебно-методическим объединением по УГСН 
22.00.00 – Технологии материалов в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
в бакалавриате по направлению подготовки 22.03.02 –  
Металлургия

№ 3548

УДК 53 
 
П54

Р е ц е н з е н т ы: 
д-р техн. наук С.К. Карцов (ФГБОУ ВО «Московский  
автомобильно-дорожный государственный технический университет»); 
канд. техн. наук С.Г. Губанов (ФГАОУ ВО «Национальный  
исследовательский технологический университет «МИСиС»)

Поляков Ю.А.
П54  
Механика : решение задач статики твердого тела : 
учеб. пособие / Ю.А. Поляков. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 104 с.
ISBN 978-5-907226-05-0

Рассмотрен ряд задач статики твердого тела, изучение которых 
способствует формированию у студентов навыков, необходимых для 
осуществления расчетов элементов металлоконструкций, деталей металлургических машин и оборудования. 
Предназначено для обучающихся в бакалавриате по направлению 
подготовки 22.03.02 «Металлургия». Будет полезно обучающимся 
в бакалавриате по направлению подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование». 

УДК 53

 Ю.А. Поляков, 2019
ISBN 978-5-907226-05-0
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..................................................................... 4
1. Равновесие твердого тела под действием плоской  
системы сил ...................................................................... 5
1.1. Определение реакций опор твердого тела  
под действием плоской системы параллельных сил .............. 5
1.2. Расчет реакций стержней в случае плоской системы 
сходящихся сил ............................................................ 15
1.3. Определение реакций опор твердого тела  
под действием произвольной плоской системы сил ............ 20
2. Равновесие системы тел ................................................. 34
2.1. Равновесие системы двух твердых тел  
под действием произвольной плоской системы сил ............ 35
2.2. Равновесие системы твердых тел с учетом сил  
сцепления .................................................................... 44
3. Равновесие твердого тела под действием  
пространственной системы сил .......................................... 50
3.1. Последовательность определения реакций опор  
твердого тела под действием произвольной  
пространственной системы сил ....................................... 50
3.2. Определение реакций опор твердого тела под действием 
произвольной пространственной системы сил ................... 53
4. Определение центров тяжести тел и систем тел ................. 67
4.1. Расчет координат центра тяжести системы  
твердых тел, вес и положение центра тяжести каждого 
из которых известны ..................................................... 67
4.2. Расчет координат центра тяжести тела,  
представляющего собой совокупность однородных,  
тонких стержней с постоянными площадями 
поперечных сечений ...................................................... 71
4.3. Расчет координат центра тяжести однородной,  
плоской, тонкой пластины (площади плоской фигуры) ...... 75
4.4. Расчет координат центра тяжести однородного  
объемного твердого тела ................................................. 85
4.5. Расчет координат центра тяжести неоднородного 
объемного твердого тела ................................................. 96
Библиографический список ..............................................100
Приложения ..................................................................101

ПРЕДИСЛОВИЕ

В расчетах ряда элементов металлургических машин и оборудования применяются законы и теоремы статики. В связи с 
этим, неизбежно возникают вопросы, связанные с определением 
опорных реакций элементов конструкций, усилий в элементах 
стержневых систем, потребностью нахождения координат цент- 
ров тяжести тел.
При этом должное внимание следует уделить особенностям 
практического применения теоретических зависимостей. Ведь 
использование формул без понимания их смысла неизбежно 
приводит к формальному усвоению учебного материала, что влечет за собой ряд ошибок при расчетах.
Для облегчения активного изучения материала в ряде подразделов учебного пособия представлена краткая последовательность решения определенного типа задач, и лишь после этого 
приведено их подробное рассмотрение. 
Предполагается, что параллельно с изучением материала данного учебного пособия студент самостоятельно решает соответствующие задачи и тем самым закрепляет полученные знания.

1. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЛОСКОЙ 
СИСТЕМЫ СИЛ

1.1. Определение реакций опор твердого 
тела под действием плоской системы 
параллельных сил

При решении задач, в которых рассматривается равновесие 
твердого тела под действием плоской системы параллельных 
сил, следует придерживаться следующей последовательности 
действий.
1. Изобразить все активные силы и моменты, действующие на 
рассматриваемое твердое тело. Как правило, его вес не учитывается, если в условии задачи не имеется специального указания.
2. Применив принцип освобождаемости от связей, мысленно 
отбросить связи, заменив их действие соответствующими реакциями и моментами.
3. Рассмотреть равновесие данного несвободного твердого 
тела как свободного, находящегося под одновременным действием активных сил и моментов, а также реакций и моментов связей:
– убедиться в том, что задача является статически определенной, т.е. в том, что число неизвестных величин равно двум (поскольку для плоской системы параллельных сил можно составить лишь два уравнения равновесия);
– выбрать систему осей координат;
– составить систему уравнений равновесия.
4. Найти неизвестные величины, решив систему из двух уравнений.
5. Выполнить проверку расчетов, составив соответствующее 
уравнение равновесия.
6. Если в ходе расчетов какие-либо неизвестные величины получились отрицательными, то после проверки следует поменять 
их первоначально выбранные направления на противоположные.

Пример 1.1. Определить реакции опор двухопорной балки, 
показанной на рис. 1.1, а. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P = 6 кН, M = 5 кН·м, q = 4 кН/м, a = 2 м, 
b = 7 м.

  a
  b 

P 
q 

а 

A
B

M 

  a 
 2
b

P 
q·b 

б 

A 
B

M 
RB 

y 

z 
RA = RАy 

2
b

Рис. 1.1. Расчетная схема двухопорной балки: а – исходная; 
б – эквивалентная

Решение
1. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно 
отбрасываем цилиндрическую шарнирно-неподвижную опору в 
точке A и цилиндрическую шарнирно-подвижную опору в точке B, заменяя их действие реакциями опор RA, RB (рис. 1.1, б). 
Поскольку рассматривается плоская система параллельных сил, 
то RA = RAy и направлена перпендикулярно оси балки, при этом 
RAz = 0. Реакция RB также направлена перпендикулярно оси 
балки, т.е. перпендикулярно плоскости, на которой расположены катки шарнирно-подвижной опоры.
2. Конкретные направления RA, RB заранее не известны, но 
известны линии их действия. Поэтому выбираем конкретные направления RA, RB на известных линиях действия произвольно. 
Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо реакция получится отрицательной, то ее фактическое направление противоположно первоначально выбранному.

3. Равномерно распределенную нагрузку заменяем одной сосредоточенной силой, приложенной посередине участка, на котором действует указанная нагрузка. Модуль этой силы равен 
произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на длину соответствующего участка (см. рис. 1.1, б).
4. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного 
момента этой системы сил относительно произвольно выбранной 
точки. Примем за такую точку точку А и запишем необходимые 
и достаточные условия равновесия в проекциях на оси координат. Для плоской системы параллельных сил составим два уравнения равновесия, что соответствует количеству неизвестных 
(RA, RB). Следовательно, задача является статически определенной.
5. Система уравнений равновесия (см. рис. 1.1, б):


=
+
+
⋅ =


=
⋅
⋅ ⋅
+
⋅ =


∑

∑

0:
0,

0:
0.
2

iy
A
B
i

iA
B
i

F
P
R
R
q b

b
M
P a
M
q b
R
b

Из второго уравнения системы получаем

⋅
+
+
⋅ ⋅
- ⋅ +
+
⋅ ⋅
+
+
=
=
=
=
=
кН

7
6 2
5
4 7
12
5
98
91
2
2
13
.
7
7
7
B

b
P a
M
q b
R
b

Из первого уравнения системы получаем

=
+
⋅ =
+
⋅
=
=
кН
6 13
4 7
34 13
21
.
A
B
R
P
R
q b

Проверка. Уравнение равновесия относительно точки B (см. 
рис. 1.1, б):

=
+
⋅ +
⋅ ⋅
=
∑
(
)
2
iB
A
i

b
M
P a
b
R
b
M
q b

=
⋅
+
⋅ +
⋅ ⋅
=
+
=
=
7
6 (2 7)
21 7
5
4 7
54 147
5
98
152 152
0.
2

Ответ: 
=
=
кН
кН
21
;
13
.
A
B
R
R

Пример 1.2. Определить реакции опор двухопорной балки, 
показанной на рис. 1.2, а. Вес балки не учитывать. 
Исходные данные: M = 2 кН·м, q1 = 1 кН/м, q2 = 2 кН/м, 
а = 35 м, b = 50 м.

а 

 a
  b

B
A 

q2 

q1 

M 

б 

  a
   b

B

A 
q2·a

q1(a + b)
M 

2
b
a 

2
a

y 

z 
RB
RA = RAy

RB 

Рис. 1.2. Расчетная схема двухопорной балки:  
a – исходная; б – эквивалентная

Решение 
1. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно 
отбрасываем цилиндрическую шарнирно-неподвижную опору в 
точке A и цилиндрическую шарнирно-подвижную опору в точке B, заменяя их действие реакциями опор RA, RB (рис. 1.2, б). 
Поскольку рассматривается плоская система параллельных сил, 
то RA = RAy и направлена перпендикулярно оси балки, при этом 
RAz = 0. Реакция RB также направлена перпендикулярно оси 
балки, т.е. перпендикулярно плоскости, на которой расположены катки шарнирно-подвижной опоры.
2. Конкретные направления RA, RB заранее не известны, но 
известны линии их действия. Поэтому выбираем конкретные направления RA, RB на известных линиях действия произвольно. 
Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо реакция получит

ся отрицательной, то ее фактическое направление противоположно первоначально выбранному.
3. Каждую равномерно распределенную нагрузку заменяем соответствующей сосредоточенной силой, приложенной посередине 
участка, на котором эта нагрузка действует. Модуль каждой такой 
силы равен произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на длину соответствующего участка (см. рис. 1.2, б).
4. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного 
момента этой системы сил относительно произвольно выбранной 
точки. Примем за такую точку точку А и запишем необходимые и 
достаточные условия равновесия в проекциях на оси координат. 
Для плоской системы параллельных сил составляем два уравнения равновесия, что соответствует количеству неизвестных (RA, 
RB). Следовательно, задача является статически определенной.
5. Система уравнений равновесия (см. рис. 1.2, б):


=
⋅
+
⋅
+
+
=

+



=
+
⋅
⋅
+
+
⋅ =







∑

∑

2
1

2
1

0:
(
)
0,

0:
(
)
0.
2
2

iy
A
B
i

iA
B
i

F
q
a
R
q
a
b
R

a
a
b
M
M
q
a
q a
b
b
R
b

Из второго уравнения системы получаем

+


⋅
⋅
+
⋅
+




=
=

2
1 (
)
2
2
B

a
a
b
M
q
a
q
a
b
b
R
b

+


- ⋅
⋅
+ ⋅
+
+
⋅




=
=
=

35
35
50
15
2
2 35
1 (35
50) 50
2 1225
85
2
2
2
50
50

+
=
= 4
2450 1275
1171кН.
100
100

Из первого уравнения системы получаем



=
⋅
+
+
=
⋅
+ ⋅
+
- =




2
1
1171
(
)
2 35 1 (35
50)
100
A
B
R
q
a
q a
b
R

+
+
=
=
7000
8500 1171
16671 кН.
100
100

Проверка. Уравнение равновесия относительно точки B (см. 
рис. 1.2, б):

+


= +
⋅
+
⋅ +
+
⋅
=




∑
2
1(
)
2
2
iB
A
i

a
a
b
M
M
q
a
b
R
b
q a
b

+


= - + ⋅
+
⋅
+ ⋅
+
⋅
=





35
16671
35
50
2
2 35
50
50 1 (35
50)
2
100
2

- +
⋅
+
⋅
- +
+
=
=
=

+
=
=

4
70 135 16671
85 85
4
9450 16671 7225

2
2

16675 16675
0.
2

Поскольку величина RB получилась отрицательной, после 
проверки меняем первоначально выбранное направление RB на 
противоположное (см. рис. 1.2, б).

Ответ: 
=
=
=
=
кН
кН
16671
1171
166,71
;
11,71
.
100
100
A
B
R
R

Пример 1.3. Для консольной балки (рис. 1.3, а) определить 
реакцию и момент в жесткой заделке. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P1 = 2 кН, P2 = 4 кН, M = 1 кН·м, 
q = 2 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.

a 

A 
P1 

P2 

  a 
  a 

M 

  b 

q 

б 

P1 

P2 

  a 
  a 

M 

  b 

q·2a 
A 

mA 

y 

z 
B
RA = RAy 

Рис. 1.3. Расчетная схема консольной балки: a – исходная;  
б – эквивалентная