Анализ данных в материаловедении. Часть 1

№ 2201 
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 
Кафедра металловедения и физики прочности
 
А.С. Мельниченко 
 
 
 
 
 
 
Анализ данных 
в материаловедении 
 
Часть 1 
 
Учебное пособие 
 
 
Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 
150700 – Физическое материаловедение и Металлургия 
 
Москва  2013 

УДК 620.22 
 
М48 
Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. С.Н. Богданов 
Мельниченко, А.С. 
М48  
Анализ данных в материаловедении : учеб. пособие / 
 
А.С. Мельниченко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2013. – ч. 1. – 72 с. 
ISBN 978-5-87623-666-1 
В учебном пособии рассмотрены вопросы статистического анализа данных, включая статистические оценки, проверку гипотез, дисперсионный и 
корреляционный анализ. По всем темам приводятся примеры решения реальных задач из металлургии и материаловедения в программе Excel. В пособие 
включены задания для самостоятельной работы.  
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Материаловедение» и «Металлургия». Может быть использовано аспирантами в области металлургии и материаловедения. 
УДК 620.22 
ISBN 978-5-87623-666-1 
©
АА.С. Мельниченко, 2013 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
Предисловие..............................................................................................4 
1. Функции распределений  и описательная статистика.......................5 
1.1. Функции распределений ...............................................................5 
1.2. Описательная статистика..............................................................9 
2. Сравнение средних и дисперсий.......................................................15 
2.1. Проверка статистических гипотез..............................................15 
2.2. Сравнение дисперсий..................................................................16 
2.3. Сравнение средних......................................................................17 
2.4. Проверка гипотезы однородности дисперсий ..........................25 
3. Проверка вида распределения и анализ выбросов ..........................29 
3.1. Проверка вида распределения....................................................29 
3.2. Проверка гипотезы о выбросах ..................................................38 
4. Дисперсионный анализ ......................................................................41 
4.1. Однофакторный дисперсионный анализ...................................41 
4.2. Двухфакторный дисперсионный анализ ...................................45 
4.3. Одно измерение в группе............................................................52 
5. Корреляционный анализ ....................................................................56 
5.1. Парный коэффициент корреляции и эллипс рассеяния...........56 
5.2. Анализ корреляционных матриц................................................64 
Библиографический список...................................................................71 
 
3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Электронные таблицы Excel – общепринятое программное средство для хранения и обработки результатов эксперимента. Сама обработка чаще всего ограничивается элементарными оценками средних и дисперсий и построением графиков. Между тем, вычислительных возможностей программы Excel достаточно для решения большинства стандартных задач статистической обработки. Цель данного 
пособия – научить студентов, выполняющих курсовые и дипломные 
исследовательские работы, проводить статистический анализ, не 
прибегая к другим программам и статистическим таблицам. В пособии рассмотрены задачи, которые по опыту кафедры металловедения 
и физики прочности чаще всего встречаются в научно-исследовательских работах студентов и аспирантов. Это точечные и интервальные оценки, сравнение средних и дисперсий, проверка гипотез о 
виде распределения и выбросах, дисперсионный и корреляционный 
анализ. Задачи регрессионного анализа в силу их большого разнообразия будут рассмотрены во второй части пособия. 
Каждой теме предпослано краткое теоретическое введение. Подробнее ознакомиться с вопросами теории можно в изданиях [1–4]. По 
каждой теме разобраны примеры типичных задач статистической 
обработки материаловедческих данных. Эти примеры являются готовыми шаблонами для решения аналогичных или близких задач. 
В пособии рассмотрены не все статистические функции программы Excel, а только те, которые необходимы для решения поставленных задач. Точно также в пособии подробно не разбираются вопросы, относящиеся к самой программе Excel, такие как упорядочение 
данных, построение и форматирование графиков и т.п. Дополнительные сведения о программе Excel можно почерпнуть, например, в [5]. 
В пособии приняты следующие правила ссылок в формулах: если 
формула или функция относится к диапазону ячеек, то она приводится только для верхней левой ячейки диапазона, а на остальные ячейки распространяется копированием; если формула относится к единственной ячейке, то ссылки в ней относительные. 
 
4 

1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ  
И ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА 
1.1. Функции распределений 
Основными характеристиками распределения непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения 
( )
w x , являются:  
математическое ожидание 
∞
 
( )d
x
xw x
x
−∞
µ = ∫
, 
дисперсия  
∞
 
2
2
(
)
( )d
x
x
x
w x
x
−∞
σ =
−μ
∫
, 
стандартное отклонение 
 
2
x
x
σ =
σ , 
коэффициент асимметрии 
∞
x
w x
x
 
3
3
1
(
)
( )d
x
x
x
−∞
γ =
−μ
σ ∫
. 
Математическое ожидание 
x
μ  – характеристика центра распределения случайной величины Х, дисперсия 
2
x
σ  и стандартное отклонение 
x
σ  − характеристики разброса случайной величины вокруг центра распределения, коэффициент асимметрии 
x
γ  – характеристика 
симметрии распределения. Если функция 
( )
w x  симметрична относительно математического ожидания 
x
µ , то 
0
x
γ =
. Положительное 
значение 
x
γ  указывает на более длинный «хвост» распределения 
справа от 
x
μ , отрицательное – слева. Величины 
x
μ , 
2
x
σ , 
x
σ , 
x
γ  в математической статистике называются параметрами генеральной совокупности.  
5 

Для описания экспериментальных данных часто используются 
следующие распределения.  
Нормальное распределение 
2
 
2
1
(
)
( )
exp
2
2
x
w x
⎡
⎤
−μ
=
−
⎢
⎥
σ
σ
π
⎣
⎦
. 
 (1.1) 
Область определения 
x
−∞<
< ∞, параметры распределения μ , 
0
σ >
.  
Случайная величина распределена нормально, если ее разброс вызван множеством причин, среди которых нет единственной преобладающей причины. Нормальное распределение играет центральную 
роль в теоретической статистике. Большинство приводимых далее 
оценок и статистических критериев предполагают, что анализируемые случайные величины распределены нормально.  
Гамма-распределение 
 
b
x
x
w x
b
−
λ λ
−λ
=
Γ
, 
 (1.2) 
1
(
)
exp(
)
( )
( )
где Γ  – гамма-функция.  
Область определения 
0
x ≥
, параметры распределения: 
0
λ >
 – 
масштабный параметр, 
0
b >
 – параметр формы.  
Гамма-распределение – универсальное распределение для описания ограниченных снизу несимметрично распределенных случайных 
величин. По мере увеличения параметра b гамма-распределение становится более симметричным. Частный случай гамма-распределения 
с 
1
b =  и единственным параметром λ  называется экспоненциальным 
распределением. 
Логарифмически нормальное распределение 
2
 
2
1
(ln
)
( )
exp
2
2
x
w x
x
⎡
⎤
−μ
=
−
⎢
⎥
σ
πσ
⎣
⎦
. 
 (1.3) 
Область определения 
0,
x ≥
 параметры распределения μ , 
0
σ >
.  
Случайная величина, логарифм которой распределен нормально с 
параметрами μ  и σ , имеет логарифмически нормальное распределение. Используется наряду с гамма-распределением для описания ограниченных снизу несимметрично распределенных случайных величин. 
6 

В табл. 1.1 приводятся выражения математического ожидания 
x
μ , 
стандартного отклонения 
x
σ  и коэффициента асимметрии 
x
γ  распределений через их параметры. 
Таблица 1.1 
Распределение 
Математическое 
ожидание 
x
μ  
Стандартное отклонение 
x
σ  
Коэффициент 
асимметрии 
x
γ  
Нормальное (1.1) 
µ  
σ  
0 
2
b
 
Гамма (1.2) 
b
λ  
b
λ  
2
2
exp
2
exp 2
μ + σ
×
⎡
⎤
σ
+
×
⎣
⎦
2
Логарифмически 
нормальное (1.3) 
2
exp
1
×
σ
−
 
exp
1
2
exp
2
⎛
⎞
σ
μ −
⎜
⎟
⎝
⎠
 
(
)
×
σ
−
 
(
)
(
)
(
)
В статистическом анализе используются следующие распределения. 
Распределение Пирсона (
2
χ -распределение) – распределение суммы 
квадратов нормально распределенных случайных величин 
1
2
,
,...,
k
U U
U  
с математическими ожиданиями 
0
i
u
µ
=
 и стандартными отклонениями 
1
i
u
σ
=  (
1, 2,...,
i
k
=
).  
 
2
2
2
2
1
2
...
k
U
U
U
χ =
+
+
+
. 
 (1.4) 
Параметр распределения 
k
ν ≤
 – число степеней свободы (ч.с.с.).  
2
χ -распределение – частный случай гамма-распределения с параметрами 
1 2
λ =
 и 
2
b = ν
. 
Распределение Стьюдента (t-распределение) – распределение 
случайной величины 
 
0
, 
 (1.5) 
2
2
2
1
2
(
...
)
k
U
t
U
U
U
=
+
+
+
ν
где 
0
1
,
,...,
k
U
U
U  – нормально распределенные случайные величины. 
Параметр распределения – ч.с.с. 
k
ν ≤
. 
Распределение Фишера (F-распределение) – распределение случайной величины  
k
 
U
U
U
F
V
V
V
+
+
+
ν
=
+
+
+
ν
, 
 (1.6) 
(
...
)/
(
...
)/
m
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
7 

где 
1
1
,...,
,
,...,
k
m
U
U
V
V  – нормально распределенные случайные величины. Параметры распределения – 
1
k
ν ≤
 – ч.с.с. среднего квадрата в 
числителе, 
2
m
ν ≤
 – ч.с.с. среднего квадрата в знаменателе.  
Функция распределения случайной величины Х, имеющей плотность распределения 
( )
w x  по значению аргумента х, вычисляет вероятность р того, что 
:
X
x
≤
 
 
( )d
x
p
w u
u
−∞
= ∫
, 
 (1.7) 
а обратная функция распределения по величине вероятности р рассчитывает значение аргумента функции распределения х.  
В табл. 1.2 приведены встроенные функции программы Excel, 
рассчитывающие рассмотренные функции распределений. 
Таблица 1.2 
Плотность распределения 
Функция распределения 
Обратная функция  
распределения 
Нормальное, μ – математическое ожидание, σ – стандартное отклонение 
НОРМРАСП(x; μ; σ;0) 
НОРМРАСП(x; μ; σ; 1) 
НОРМОБР(p; μ; σ)  
Гамма, λ – масштабный параметр, b – параметр формы 
ГАММАРАСП(x;b;1/λ;0) 
ГАММАРАСП(x; b; 1/λ; 1) 
ГАММАОБР(p; b; 1/λ)  
Экспоненциальное, λ – параметр распределения 
ЭКСПРАСП(х; λ;0) 
ЭКСПРАСП(х; λ;1) 
ГАММАОБР(p; 1; 1/λ)  
Логарифмически нормальное, μ, σ – параметры 
 
ЛОГНОРМРАСП(x; μ; σ) 
ЛОГНОРМОБР(p; μ; σ) 
χ2-распределение (Пирсона), ν – число степеней свободы 
 
1−ХИ2РАСП(x; ν) 
ХИ2ОБР(1−p; ν) 
t-распределение (Стьюдента), ν – число степеней свободы 
 
СТЬЮДРАСП(−x; ν; 1),  
если х < 0;  
1-СТЬЮДРАСП(x; ν; 1),  
если х ≥ 0 
−СТЬЮДРАСПОБР(2p; ν), 
если р ≤ 0,5;  
СТЬЮДРАСПОБР(2(1–p); ν), 
если р > 0,5 
F-распределение (Фишера), ν1, ν2 – числа степеней свободы 
 
1−FРАСП(x; ν1; ν2) 
FРАСПОБР(1−p; ν1; ν2) 
Функции распределения используются в расчетах уровней значимости статистических критериев. Приводимые в статистических таблицах 
значения обратных функций распределения называются квантилями 
(иначе – процентными точками) распределений и обозначаются хр.  
8