Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 3.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 728 с. — ISBN 978-5-9221-1804-0.

Третий, заключительный том содержит подробное изложение таких разделов дифференциального и интегрального исчисления, как теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, элементы векторного анализа, теория
функций ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса, ряды и интегралы
Фурье. Использование простого геометрического языка значительно облегчает
восприятие текста; вместе с тем многие сложные теоретические вопросы изложены полнее, чем в любом другом учебном издании. Особое внимание уделено
приложениям общей теории: большое количество конкретных формул и фактов,
примеров и задач как чисто математического, так и прикладного характера
превращает «Курс. . . » в уникальное учебное пособие, полезное студентам
негуманитарных вузов, которым оно непосредственно предназначено, а также
математикам, физикам, инженерам и другим специалистам, использующим
математику в своей работе.
Первое издание вышло в 1949 г.
Р е д а к т о р: доцент матем.-механич. ф-та Санкт-Петербургского гос. ун-та
А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1804-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

Учебное издание

ФИХТЕНГОЛЬЦ Григорий Михайлович

КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

Том 3

Редактор Автор
Оригинал-макет: Автор
Оформление переплета: А.В. Андросов

Подписано в печать 17.04.18. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 48. Уч.-изд. л. 43,17. Тираж экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Неизвестная типография
...
...
...
...

ISBN 978-5-9221-1804-0

9+HifJ
C-LLSKOK+

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а п я т н а д ц а т а я
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

§ 1. Криволинейные интегралы первого типа

543.
Определение криволинейного интеграла первого типа . . . . . . .
11
544.
Свед´ение к обыкновенному определенному интегралу . . . . . . .
14
545.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

§ 2. Криволинейные интегралы второго типа

546.
Определение криволинейных интегралов второго типа . . . . . . .
21
547.
Существование и вычисление криволинейного интеграла
второго типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
548.
Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости
. . . . . . . .
27
549.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
550.
Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной . . . . .
33
551.
Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
. .
35
552.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
553.
Связь между криволинейными интегралами обоих типов
. . . . .
42
554.
Физические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

555.
Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале . .
50
556.
Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути
. . . . . .
52
557.
Вычисление криволинейного интеграла через первообразную . . .
54
558.
Признак точного дифференциала и нахождение первообразной
в случае прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
559.
Обобщение на случай произвольной области . . . . . . . . . . . .
58
560.
Окончательные результаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
561.
Интегралы по замкнутому контуру . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
562.
Случай неодносвязной области или наличия особых точек . . . . .
65
563.
Интеграл Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
564.
Трехмерный случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
565.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
566.
Приложение к физическим задачам
. . . . . . . . . . . . . . . . .
80

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 4. Функции с ограниченным изменением

567.
Определение функции с ограниченным изменением
. . . . . . . .
83
568.
Классы функций с ограниченным изменением . . . . . . . . . . . .
86
569.
Свойства функций с ограниченным изменением . . . . . . . . . . .
89
570.
Критерии для функций с ограниченным изменением . . . . . . . .
92
571.
Непрерывные функции с ограниченным изменением . . . . . . . .
94
572.
Спрямляемые кривые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

§ 5. Интеграл Стилтьеса

573.
Определение интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
574.
Общие условия существования интеграла Стилтьеса . . . . . . . . 101
575.
Классы случаев существования интеграла Стилтьеса . . . . . . . . 102
576.
Свойства интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
577.
Интегрирование по частям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
578.
Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана . . . . . . . 109
579.
Вычисление интегралов Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
580.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
581.
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . 123
582.
Теорема о среднем, оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
583.
Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса . . . . . . . 126
584.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
585.
Свед´ение криволинейного интеграла второго типа к интегралу
Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла

586.
Задача об объеме цилиндрического бруса . . . . . . . . . . . . . . 136
587.
Свед´ение двойного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . . . 138
588.
Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
589.
Условия существования двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . 142
590.
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
591.
Нижний и верхний интегралы как пределы
. . . . . . . . . . . . . 146
592.
Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
. . . . . 147
593.
Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование
по области
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

§ 2. Вычисление двойного интеграла

594.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае
прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
595.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
596.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае
криволинейной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
597.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
598.
Механические приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
599.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

§ 3. Формула Грина

600.
Вывод формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
601.
Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных
интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
602.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

§ 4. Замена переменных в двойном интеграле

603.
Преобразование плоских областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
604.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
605.
Выражение площади в криволинейных координатах
. . . . . . . . 213
606.
Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
607.
Геометрический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
608.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
609.
Замена переменных в двойных интегралах
. . . . . . . . . . . . . 230
610.
Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной
области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
611.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

§ 5. Несобственные двойные интегралы

612.
Интегралы, распространенные на неограниченную область
. . . . 241
613.
Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
614.
Приведение двойного интеграла к повторному
. . . . . . . . . . . 247
615.
Интегралы от неограниченных функций . . . . . . . . . . . . . . . 249
616.
Замена переменных в несобственных интегралах . . . . . . . . . . 252
617.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Г л а в а с е м н а д ц а т а я
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двусторонние поверхности

618.
Сторона поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
619.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
620.
Ориентация поверхностей и пространства . . . . . . . . . . . . . . 275
621.
Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали
. 278
622.
Случай кусочно-гладкой поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . 280

§ 2. Площадь кривой поверхности

623.
Пример Шварца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
624.
Определение площади кривой поверхности . . . . . . . . . . . . . 284
625.
Замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
626.
Существование площади поверхности и ее вычисление
. . . . . . 287
627.
Подход через вписанные многогранные поверхности . . . . . . . . 292
628.
Особые случаи определения площади
. . . . . . . . . . . . . . . . 294
629.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Поверхностные интегралы первого типа

630.
Определение поверхностного интеграла первого типа . . . . . . . 310
631.
Свед´ение к обыкновенному двойному интегралу
. . . . . . . . . . 310
632.
Механические приложения поверхностных интегралов
первого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
633.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

§ 4. Поверхностные интегралы второго типа

634.
Определение поверхностного интеграла второго типа
. . . . . . . 322
635.
Простейшие частные случаи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
636.
Общий случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
637.
Деталь доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
638.
Выражение объема тела поверхностным интегралом . . . . . . . . 331
639.
Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
640.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
641.
Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных
интегралов в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Г л а в а в о с е м н а д ц а т а я
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Тройной интеграл и его вычисление

642.
Задача о вычислении массы тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
643.
Тройной интеграл и условия его существования
. . . . . . . . . . 349
644.
Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
. . . . . 351
645.
Вычисление тройного интеграла, распространенного
на параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
646.
Вычисление тройного интеграла по любой области . . . . . . . . . 355
647.
Несобственные тройные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . 357
648.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
649.
Механические приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
650.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

§ 2. Формула Гаусса–Остроградского

651.
Формула Остроградского
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
652.
Приложение формулы Остроградского к исследованию
поверхностных интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
653.
Интеграл Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
654.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

§ 3. Замена переменных в тройных интегралах

655.
Преобразование пространств и криволинейные координаты . . . . 387
656.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

657.
Выражение объема в криволинейных координатах
. . . . . . . . . 391
658.
Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
659.
Геометрический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
660.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
661.
Замена переменных в тройных интегралах
. . . . . . . . . . . . . 406
662.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
663.
Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку . 412

§ 4. Элементы векторного анализа

664.
Скаляры и векторы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
665.
Скалярное и векторное поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
666.
Градиент
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
667.
Поток вектора через поверхность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
668.
Формула Остроградского. Дивергенция
. . . . . . . . . . . . . . . 420
669.
Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь . . . . . . . . . . . . 422
670.
Специальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
671.
Обратная задача векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
672.
Приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

§ 5. Многократные интегралы

673.
Задача о притяжении и потенциале двух тел
. . . . . . . . . . . . 435
674.
Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл . . . . . . . . . . . . . 438
675.
Замена переменных в n-кратном интеграле
. . . . . . . . . . . . . 440
676.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я
РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 1. Введение

677.
Периодические величины и гармонический анализ . . . . . . . . . 466
678.
Определение коэффициента по методу Эйлера–Фурье . . . . . . . 469
679.
Ортогональные системы функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
680.
Тригонометрическое интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . 477

§ 2. Разложение функций в ряд Фурье

681.
Постановка вопроса. Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . 480
682.
Первая основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
683.
Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
684.
Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье . . . . . . . . 486
685.
Вторая основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
686.
Признак Дирихле–Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
687.
Случай непериодической функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
688.
Случай произвольного промежутка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
689.
Разложение только по косинусам или только по синусам
. . . . . 497
690.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
691.
Разложение ln Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Дополнения

692.
Ряды с убывающими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . 517
693.
Суммирование тригонометрических рядов с помощью
аналитических функций комплексной переменной
. . . . . . . . . 524
694.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
695.
Комплексная форма рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
696.
Сопряженный ряд
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
697.
Кратные ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

§ 4. Характер сходимости рядов Фурье

698.
Некоторые дополнения к основным леммам . . . . . . . . . . . . . 540
699.
Признаки равномерной сходимости рядов Фурье . . . . . . . . . . 543
700.
Проведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай . . 547
701.
Случай произвольной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
702.
Особенности рядов Фурье; предварительные замечания
. . . . . . 554
703.
Построение особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции

704.
Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных . 559
705.
Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции . . . . . 561
706.
Оценка остатка в случае функции с ограниченной
k-й производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
707.
Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным
изменением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
708.
Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости
коэффициентов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
709.
Случай функции, заданной в промежутке [0, π] . . . . . . . . . . . 572
710.
Метод выделения особенностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

§ 6. Интеграл Фурье

711.
Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье . . . . . . . . 582
712.
Предварительные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
713.
Достаточные признаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
714.
Видоизменение основного предположения . . . . . . . . . . . . . . 588
715.
Различные виды формулы Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
716.
Преобразование Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
717.
Некоторые свойства преобразований Фурье . . . . . . . . . . . . . 596
718.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
719.
Случай функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

§ 7. Приложения

720.
Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю
аномалию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
721.
Задача о колебании струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
722.
Задача о распространении тепла в конечном стержне
. . . . . . . 614
723.
Случай бесконечного стержня
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

724.
Видоизменение предельных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
725.
Распространение тепла в круглой пластине . . . . . . . . . . . . . 621
726.
Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати
ординат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
727.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
728.
Схема для двадцати четырех ординат
. . . . . . . . . . . . . . . . 630
729.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
730.
Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Г л а в а д в а д ц а т а я
РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)

§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость

731.
Почленное интегрирование ряда Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . 635
732.
Почленное дифференцирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . 638
733.
Полнота тригонометрической системы . . . . . . . . . . . . . . . . 639
734.
Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса
. . 641
735.
Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства
отрезков ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
736.
Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова
. . 648
737.
Обобщенное уравнение замкнутости . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
738.
Умножение рядов Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
739.
Некоторые приложения уравнения замкнутости . . . . . . . . . . . 656

§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье

740.
Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
741.
Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона–Абеля . . . . . . 665
742.
Решение задачи Дирихле для круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
743.
Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро–Фейера
. . . . . . 671
744.
Некоторые приложения обобщенного суммирования
рядов Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
745.
Почленное дифференцирование рядов Фурье . . . . . . . . . . . . 676

§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции

746.
Вспомогательные предложения об обобщенных производных . . . 678
747.
Риманов метод суммирования тригонометрических рядов . . . . . 682
748.
Лемма о коэффициентах сходящегося ряда
. . . . . . . . . . . . . 686
749.
Единственность тригонометрического разложения
. . . . . . . . . 687
750.
Заключительные теоремы о рядах Фурье
. . . . . . . . . . . . . . 690
751.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

ОГЛАВЛЕНИЕ

Д о п о л н е н и е
ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ

752.
Различные виды пределов, встречающиеся в анализе . . . . . . . . 698
753.
Упорядоченные множества (в собственном смысле) . . . . . . . . 699
754.
Упорядоченные множества (в обобщенном смысле)
. . . . . . . . 700
755.
Упорядоченная переменная и ее предел . . . . . . . . . . . . . . . 704
756.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
757.
Замечание о пределе функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
758.
Распространение теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
759.
Одинаково упорядоченные переменные
. . . . . . . . . . . . . . . 712
760.
Упорядочение с помощью числового параметра
. . . . . . . . . . 714
761.
Свед´ение к варианте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
762.
Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной . 718

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721