Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2

Фихтенгольц Г.М.

Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 864 с. — ISBN 978-5-9221-1803-3.

Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего, для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно подробное,
полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие
классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые
и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др. Подробно
излагаются и некоторые мало представленные или совсем не представленные
в элементарных учебниках темы: бесконечные произведения, формула суммирования Эйлера–Маклорена и ее приложения, асимптотические разложения,
теория суммирования и приближенные вычисления с помощью расходящихся
рядов и др. Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных
фактов, связанных с рядами и интегралами, данная книга, безусловно, будет
полезна как учащимся, так и преподавателям высшей математики, а также
специалистам различных профилей, использующим математику в своей работе,
в том числе, математикам, физикам и инженерам. Р е д а к т о р: доцент матем.механич. ф-та Санкт-Петербургского гос. ун-та А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1803-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а в о с ь м а я
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263.
Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) .
11
264.
Интеграл и задача об определении площади . . . . . . . . . . . . .
15
265.
Таблица основных интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
266.
Простейшие правила интегрирования
. . . . . . . . . . . . . . . .
20
267.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
268.
Интегрирование путем замены переменной . . . . . . . . . . . . .
25
269.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
270.
Интегрирование по частям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
271.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272.
Постановка задачи интегрирования в конечном виде . . . . . . . .
39
273.
Простые дроби и их интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
274.
Разложение правильных дробей на простые . . . . . . . . . . . . .
42
275.
Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей
46
276.
Выделение рациональной части интеграла . . . . . . . . . . . . . .
48
277.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

278.
Интегрирование выражений вида R
x,
mαx+β
γx+δ
. Примеры
. . .
55

279.
Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры . . . .
57
280.
Формулы приведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
281.
Интегрирование выражений вида R(x,
ax2 + bx + c).
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
282.
Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок . . . . . . . . .
65
283.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
284.
Другие приемы вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
285.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
и показательную функции
286.
Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)dx . . . . . . . . .
81
287.
Интегрирование выражений sinν x · cosµ x . . . . . . . . . . . . . .
84
288.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
289.
Обзор других случаев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 5. Эллиптические интегралы
290.
Общие замечания и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
291.
Вспомогательные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
292.
Приведение к канонической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
293.
Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода
. . . . . . . . . .
99

Г л а в а д е в я т а я
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
294.
Другой подход к задаче о площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
295.
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
296.
Суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
297.
Условия существования интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
298.
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
299.
Свойства интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
300.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
301.
Нижний и верхний интегралы как пределы
. . . . . . . . . . . . . 118

§ 2. Свойства определенных интегралов
302.
Интеграл по ориентированному промежутку
. . . . . . . . . . . . 120
303.
Свойства, выражаемые равенствами
. . . . . . . . . . . . . . . . . 121
304.
Свойства, выражаемые неравенствами . . . . . . . . . . . . . . . . 123
305.
Определенный интеграл как функция верхнего предела
. . . . . . 127
306.
Вторая теорема о среднем значении . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
307.
Вычисление с помощью интегральных сумм
. . . . . . . . . . . . 133
308.
Основная формула интегрального исчисления . . . . . . . . . . . . 136
309.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
310.
Другой вывод основной формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
311.
Формулы приведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
312.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
313.
Формула замены переменной в определенном интеграле . . . . . . 148
314.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
315.
Формула Гаусса. Преобразование Ландена . . . . . . . . . . . . . . 155
316.
Другой вывод формулы замены переменной . . . . . . . . . . . . . 157

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317.
Формула Валлиса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
318.
Формула Тейлора с дополнительным членом
. . . . . . . . . . . . 160
319.
Трансцендентность числа e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
320.
Многочлены Лежандра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
321.
Интегральные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322.
Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций
. . . . 169
323.
Параболическое интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
324.
Дробление промежутка интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 174
325.
Дополнительный член формулы прямоугольников
. . . . . . . . . 175

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

326.
Дополнительный член формулы трапеций . . . . . . . . . . . . . . 178
327.
Дополнительный член формулы Симпсона
. . . . . . . . . . . . . 178
328.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Г л а в а д е с я т а я
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. Длина кривой
329.
Вычисление длины кривой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
330.
Другой подход к определению понятия длины кривой
и ее вычислению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
331.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
332.
Натуральное уравнение плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . 198
333.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
334.
Длина дуги пространственной кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 204

§ 2. Площади и объемы
335.
Определение понятия площади. Свойство аддитивности . . . . . . 205
336.
Площадь как предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
337.
Классы квадрируемых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
338.
Выражение площади интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
339.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
340.
Определение понятия объема. Его свойства . . . . . . . . . . . . . 223
341.
Классы тел, имеющих объемы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
342.
Выражение объема интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
343.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
344.
Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
345.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
346.
Площадь цилиндрической поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . 243
347.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

§ 3. Вычисление механических и физических величин
348.
Схема применения определенного интеграла
. . . . . . . . . . . . 248
349.
Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой . . . 251
350.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
351.
Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
352.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
353.
Механическая работа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
354.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
355.
Работа силы трения в плоской пяте
. . . . . . . . . . . . . . . . . 262
356.
Задачи на суммирование бесконечно малых элементов . . . . . . . 264

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357.
Основные понятия. Уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . 270
358.
Уравнения первой степени относительно производной.
Отделение переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
359.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
360.
Замечания о составлении дифференциальных уравнений . . . . . . 279
361.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а о д и н н а д ц а т а я
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Введение
362.
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
363.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
364.
Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

§ 2. Сходимость положительных рядов
365.
Условие сходимости положительного ряда . . . . . . . . . . . . . . 289
366.
Теоремы сравнения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
367.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
368.
Признаки Коши и Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
369.
Признак Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
370.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
371.
Признак Куммера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
372.
Признак Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
373.
Интегральный признак Маклорена–Коши . . . . . . . . . . . . . . 309
374.
Признак Ермакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
375.
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

§ 3. Сходимость произвольных рядов
376.
Общее условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
377.
Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
378.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
379.
Степенной ряд, его промежуток сходимости
. . . . . . . . . . . . 327
380.
Выражение радиуса сходимости через коэффициенты
. . . . . . . 329
381.
Знакопеременные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
382.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
383.
Преобразование Абеля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
384.
Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
385.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

§ 4. Свойства сходящихся рядов
386.
Сочетательное свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
387.
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов . . . . . 344
388.
Случай неабсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . 346
389.
Умножение рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
390.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
391.
Общая теорема из теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . 355
392.
Дальнейшие теоремы об умножении рядов
. . . . . . . . . . . . . 357

§ 5. Повторные и двойные ряды
393.
Повторные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
394.
Двойные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
395.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
396.
Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости
. . . . 377
397.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
398.
Кратные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

§ 6. Бесконечные произведения
399.
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
400.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
401.
Основные теоремы. Связь с рядами
. . . . . . . . . . . . . . . . . 385
402.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

§ 7. Разложения элементарных функций
403.
Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора . . . . . . . . . 396
404.
Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических
функций и др . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
405.
Логарифмический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
406.
Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
407.
Биномиальный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
408.
Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения . . . . 407

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409.
Общие замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
410.
Вычисление числа π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
411.
Вычисление логарифмов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
412.
Вычисление корней
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
413.
Преобразование рядов по Эйлеру
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
414.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
415.
Преобразование Куммера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
416.
Преобразование Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417.
Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
418.
Метод степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
419.
Теорема Таубера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
420.
Метод средних арифметических
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
421.
Взаимоотношение между методами Пуассона–Абеля и Чезаро
. . 436
422.
Теорема Харди–Ландау
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
423.
Применение обобщенного суммирования к умножению рядов . . . 441
424.
Другие методы обобщенного суммирования рядов . . . . . . . . . 442
425.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
426.
Общий класс линейных регулярных методов суммирования . . . . 450

Г л а в а д в е н а д ц а т а я
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
427.
Вводные замечения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
428.
Равномерная и неравномерная сходимости
. . . . . . . . . . . . . 456
429.
Условие равномерной сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
430.
Признаки равномерной сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . 463

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431.
Непрерывность суммы ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
432.
Замечание о квазиравномерной сходимости . . . . . . . . . . . . . 469
433.
Почленный переход к пределу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
434.
Почленное интегрирование рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
435.
Почленное дифференцирование рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 476

ОГЛАВЛЕНИЕ

436.
Точка зрения последовательности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
437.
Непрерывность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . 482
438.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов . . . . . . 486

§ 3. Приложения
439.
Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
440.
Примеры на почленное интегрирование рядов
. . . . . . . . . . . 496
441.
Примеры на почленное дифференцирование рядов . . . . . . . . . 507
442.
Метод последовательных приближений в теории неявных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
443.
Аналитическое определение тригонометрических функций
. . . . 515
444.
Пример непрерывной функции без производной
. . . . . . . . . . 518

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445.
Действия над степенными рядами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
446.
Подстановка ряда в ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
447.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
448.
Деление степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
449.
Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются . . . . 534
450.
Решение уравнений рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
451.
Обращение степенного ряда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
452.
Ряд Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453.
Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
454.
Комплексная варианта и ее предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
455.
Функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
456.
Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
457.
Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
458.
Логарифмическая функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
459.
Тригонометрические функции и им обратные . . . . . . . . . . . . 564
460.
Степенная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
461.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера–Маклорена
462.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
463.
Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
464.
Основные свойства асимптотических разложений . . . . . . . . . . 579
465.
Вывод формулы Эйлера–Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
466.
Исследование дополнительного члена . . . . . . . . . . . . . . . . 586
467.
Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера–Маклорена . . 588
468.
Другой вид формулы Эйлера–Маклорена
. . . . . . . . . . . . . . 592
469.
Формула и ряд Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

Г л а в а т р и н а д ц а т а я
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами . . . . . . . . 597
471.
Применение основной формулы интегрального исчисления . . . . 599
472.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

473.
Аналогия с рядами. Простейшие теоремы . . . . . . . . . . . . . . 603
474.
Сходимость интеграла в случае положительной функции
. . . . . 605
475.
Сходимость интеграла в общем случае
. . . . . . . . . . . . . . . 607
476.
Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
477.
Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду
. . . 612
478.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479.
Определение интегралов от неограниченных функций . . . . . . . 623
480.
Замечание относительно особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . 627
481.
Применение основной формулы интегрального исчисления.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
482.
Условия и признаки существования интеграла
. . . . . . . . . . . 630
483.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
484.
Главные значения несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . 637
485.
Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов . . 642

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486.
Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
487.
Теоремы о среднем значении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
488.
Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов . . 649
489.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
490.
Замена переменных в несобственных интегралах . . . . . . . . . . 653
491.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492.
Некоторые замечательные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . 659
493.
Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных
сумм. Случай интегралов с конечными пределами
. . . . . . . . . 663
494.
Случай интегралов с бесконечным пределом
. . . . . . . . . . . . 666
495.
Интегралы Фруллани
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
496.
Интегралы от рациональных функций между бесконечными
пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
497.
Смешанные примеры и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 678

§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498.
Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей . . . 691
499.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
500.
Замечание по поводу приближенного вычисления собственных
интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
501.
Приближенное вычисление несобственных интегралов
с бесконечным пределом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
502.
Использование асимптотических разложений . . . . . . . . . . . . 700

Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
503.
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
504.
Равномерное стремление к предельной функции
. . . . . . . . . . 705
505.
Перестановка двух предельных переходов . . . . . . . . . . . . . . 708
506.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 710

ОГЛАВЛЕНИЕ

507.
Дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 712
508.
Интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 715
509.
Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра
. . . . . 717
510.
Введение множителя, зависящего лишь от x
. . . . . . . . . . . . 720
511.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
512.
Гауссово доказательство основной теоремы алгебры . . . . . . . . 733

§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513.
Определение равномерной сходимости интегралов . . . . . . . . . 735
514.
Условие равномерной сходимости. Связь с рядами . . . . . . . . . 736
515.
Достаточные признаки равномерной сходимости . . . . . . . . . . 737
516.
Другой случай равномерной сходимости . . . . . . . . . . . . . . . 740
517.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 747
519.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
520.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру
. 765
521.
Интегрирование интеграла по параметру
. . . . . . . . . . . . . . 769
522.
Применение к вычислению некоторых интегралов
. . . . . . . . . 772
523.
Примеры на дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . 779
524.
Примеры на интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . 789

§ 4. Дополнения
525.
Лемма Арцела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800
526.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 802
527.
Дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 806
528.
Интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 806

§ 5. Эйлеровы интегралы
529.
Эйлеров интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
530.
Эйлеров интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
531.
Простейшие свойства функции Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
532.
Однозначное определение функции Γ ее свойствами . . . . . . . . 819
533.
Другая функциональная характеристика функции Γ
. . . . . . . . 821
534.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
535.
Логарифмическая производная функции Γ . . . . . . . . . . . . . . 830
536.
Теорема умножения для функции Γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . 832
537.
Некоторые разложения в ряды и произведения . . . . . . . . . . . 834
538.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
539.
Вычисление некоторых определенных интегралов
. . . . . . . . . 842
540.
Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
541.
Вычисление эйлеровой постоянной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
542.
Составление таблицы десятичных логарифмов функции Γ . . . . . 854

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856