Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1

Фихтенгольц Г.М.

Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 1.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 680 с. — ISBN 978-5-9221-1802-6.

Фундаментальный учебник по математического анализу, выдержавший
множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается,
с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой —
простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами,
иллюстрирующими теорию.
«Курс. . . » предназначен для студентов университетов, педагогических и
технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий.
Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и
получить наиболее важные практические навыки. «Курс. . . » высоко ценится
математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть
которых невозможно найти в других книгах на русском языке.
Первое издание вышло в 1948 г. Р е д а к т о р: доцент матем.-механич. ф-та
Санкт-Петербургского гос. ун-та А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1802-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

В в е д е н и е
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел
1.
Предварительные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.
Упорядочение области рациональных чисел . . . . . . . . . . . . .
14
3.
Сложение и вычитание рациональных чисел . . . . . . . . . . . . .
15
4.
Умножение и деление рациональных чисел
. . . . . . . . . . . . .
17
5.
Аксиома Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных
чисел
6.
Определение иррационального числа . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.
Упорядочение области вещественных чисел . . . . . . . . . . . . .
23
8.
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
9.
Представление вещественного числа бесконечной десятичной
дробью
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
10.
Непрерывность области вещественных чисел . . . . . . . . . . . .
28
11.
Границы числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами
12.
Определение суммы вещественных чисел . . . . . . . . . . . . . .
33
13.
Свойства сложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
14.
Определение произведения вещественных чисел
. . . . . . . . . .
36
15.
Свойства умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
16.
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
17.
Абсолютные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
18.
Существование корня. Степень с рациональным показателем . . .
41
19.
Степень с любым вещественным показателем . . . . . . . . . . . .
43
20.
Логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
21.
Измерение отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а п е р в а я
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел
22.
Переменная величина, варианта
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
23.
Предел варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
24.
Бесконечно малые величины
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
25.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
26.
Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел
. . . . . . . . .
61
27.
Бесконечно большие величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов
28.
Предельный переход в равенстве и неравенстве . . . . . . . . . . .
65
29.
Леммы о бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
30.
Арифметические операции над переменными . . . . . . . . . . . .
68
31.
Неопределенные выражения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
32.
Примеры на нахождение пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
33.
Теорема Штольца и ее применения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

§ 3. Монотонная варианта
34.
Предел монотонной варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
35.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
36.
Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
37.
Приближенное вычисление числа e
. . . . . . . . . . . . . . . . .
90
38.
Лемма о вложенных промежутках
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы
39.
Принцип сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
40.
Частичные последовательности и частичные пределы
. . . . . . .
99
41.
Лемма Больцано – Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
42.
Наибольший и наименьший пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Г л а в а в т о р а я
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Понятие функции
43.
Переменная и область ее изменения . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
44.
Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 108
45.
Определение понятия функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
46.
Аналитический способ задания функции . . . . . . . . . . . . . . . 113
47.
График функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
48.
Важнейшие классы функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
49.
Понятие обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
50.
Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . 126
51.
Суперпозиция функций. Заключительные замечания
. . . . . . . . 131

§ 2. Предел функции
52.
Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
53.
Сведение к случаю варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
54.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
55.
Распространение теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
56.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

57.
Предел монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
58.
Общий признак Больцано–Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
59.
Наибольший и наименьший пределы функции . . . . . . . . . . . . 154

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
60.
Сравнение бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
61.
Шкала бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
62.
Эквивалентные бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
63.
Выделение главной части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
64.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
65.
Классификация бесконечно больших . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций
66.
Определение непрерывности функции в точке
. . . . . . . . . . . 164
67.
Арифметические операции над непрерывными функциями . . . . . 167
68.
Примеры непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
69.
Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов
. . . . . 169
70.
Примеры различных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
71.
Непрерывность и разрывы монотонной функции
. . . . . . . . . . 173
72.
Непрерывность элементарных функций
. . . . . . . . . . . . . . . 174
73.
Суперпозиция непрерывных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . 175
74.
Решение одного функционального уравнения . . . . . . . . . . . . 176
75.
Функциональная характеристика показательной, логарифмической
и степенной функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
76.
Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
77.
Использование непрерывности функций для вычисления пределов
182
78.
Степенно-показательные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
79.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

§ 5. Свойства непрерывных функций
80.
Теорема об обращении функции в нуль
. . . . . . . . . . . . . . . 188
81.
Применение к решению уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
82.
Теорема о промежуточном значении . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
83.
Существование обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
84.
Теорема об ограниченности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
85.
Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . . . . . . . . . 196
86.
Понятие равномерной непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . 199
87.
Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
88.
Лемма Бореля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
89.
Новые доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . 204

Г л а в а т р е т ь я
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление
90.
Задача о вычислении скорости движущейся точки
. . . . . . . . . 208
91.
Задача о проведении касательной к кривой
. . . . . . . . . . . . . 209
92.
Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
93.
Примеры вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

ОГЛАВЛЕНИЕ

94.
Производная обратной функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
95.
Сводка формул для производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
96.
Формула для приращения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
97.
Простейшие правила вычисления производных . . . . . . . . . . . 223
98.
Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
99.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
100.
Односторонние производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
101.
Бесконечные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
102.
Дальнейшие примеры особых случаев . . . . . . . . . . . . . . . . 236

§ 2. Дифференциал
103.
Определение дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
104.
Связь между дифференцируемостью и существованием
производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
105.
Основные формулы и правила дифференцирования . . . . . . . . . 241
106.
Инвариантность формы дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . 242
107.
Дифференциалы как источник приближенных формул . . . . . . . 245
108.
Применение дифференциалов при оценке погрешностей . . . . . . 247

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
109.
Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
110.
Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
111.
Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
112.
Формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
113.
Предел производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
114.
Формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
115.
Определение производных высших порядков
. . . . . . . . . . . . 259
116.
Общие формулы для производных любого порядка . . . . . . . . . 261
117.
Формула Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
118.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
119.
Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
120.
Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших
порядков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
121.
Параметрическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . 273
122.
Конечные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

§ 5. Формула Тейлора
123.
Формула Тейлора для многочлена
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
124.
Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме
Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
125.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
126.
Другие формы дополнительного члена . . . . . . . . . . . . . . . . 286
127.
Приближенные формулы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§ 6. Интерполирование
128.
Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа
. . . . 295
129.
Дополнительный член формулы Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 297
130.
Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита
. . . . . 298

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

Г л а в а ч е т в е р т а я
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции
131.
Условие постоянства функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
132.
Условие монотонности функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
133.
Доказательство неравенств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
134.
Максимумы и минимумы; необходимые условия
. . . . . . . . . . 310
135.
Достаточные условия. Первое правило . . . . . . . . . . . . . . . . 312
136.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
137.
Второе правило
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
138.
Использование высших производных . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
139.
Разыскание наибольших и наименьших значений . . . . . . . . . . 323
140.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции
141.
Определение выпуклой (вогнутой) функции . . . . . . . . . . . . . 329
142.
Простейшие предложения о выпуклых функциях . . . . . . . . . . 330
143.
Условия выпуклости функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
144.
Неравенство Иенсена и его приложения . . . . . . . . . . . . . . . 336
145.
Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

§ 3. Построение графиков функций
146.
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
147.
Схема построения графика. Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . 342
148.
Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . . 344
149.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

§ 4. Раскрытие неопределенностей
150.
Неопределенность вида 0

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
151.
Неопределенность вида ∞

∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
152.
Другие виды неопределенностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

§ 5. Приближенное решение уравнений
153.
Вводные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
154.
Правило пропорциональных частей (метод хорд) . . . . . . . . . . 362
155.
Правило Ньютона (метод касательных) . . . . . . . . . . . . . . . 366
156.
Примеры и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
157.
Комбинированный метод
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
158.
Примеры и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

Г л а в а п я т а я
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия
159.
Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 378
160.
Функции двух переменных и области их определения
. . . . . . . 379
161.
Арифметическое n-мерное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 383

ОГЛАВЛЕНИЕ

162.
Примеры областей в n-мерном пространстве
. . . . . . . . . . . . 387
163.
Общее определение открытой и замкнутой области
. . . . . . . . 389
164.
Функции n переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
165.
Предел функции нескольких переменных
. . . . . . . . . . . . . . 395
166.
Cвед´ение к случаю варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
167.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
168.
Повторные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

§ 2. Непрерывные функции
169.
Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
. . . 404
170.
Операции над непрерывными функциями
. . . . . . . . . . . . . . 406
171.
Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано – Коши . . . 407
172.
Лемма Больцано – Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
173.
Теоремы Вейерштрасса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
174.
Равномерная непрерывность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
175.
Лемма Бореля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
176.
Новые доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . 417

§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
177.
Частные производные и частные дифференциалы . . . . . . . . . . 419
178.
Полное приращение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
179.
Полный дифференциал
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
180.
Геометрическая интерпретация для случая функции двух
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
181.
Производные от сложных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
182.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
183.
Формула конечных приращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
184.
Производная по заданному направлению
. . . . . . . . . . . . . . 438
185.
Инвариантность формы (первого) дифференциала
. . . . . . . . . 441
186.
Применение полного дифференциала в приближенных
вычислениях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
187.
Однородные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
188.
Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
189.
Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
190.
Теорема о смешанных производных
. . . . . . . . . . . . . . . . . 452
191.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
192.
Производные высших порядков от сложной функции . . . . . . . . 458
193.
Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
194.
Дифференциалы сложных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
195.
Формула Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
196.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые
условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
197.
Достаточные условия (случай функции двух переменных) . . . . . 470
198.
Достаточные условия (общий случай) . . . . . . . . . . . . . . . . 475

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

199.
Условия отсутствия экстремума
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
200.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры . . . . . . 480
201.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Г л а в а ш е с т а я
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Формальные свойства функциональных определителей
202.
Определение функциональных определителей (якобианов)
. . . . 494
203.
Умножение якобианов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
204.
Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)
. . . . . . . 497
§ 2. Неявные функции
205.
Понятие неявной функции от одной переменной . . . . . . . . . . 500
206.
Существование неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
207.
Дифференцируемость неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . 505
208.
Неявные функции от нескольких переменных . . . . . . . . . . . . 507
209.
Вычисление производных неявных функций . . . . . . . . . . . . . 515
210.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций
211.
Относительные экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
212.
Метод неопределенных множителей Лагранжа
. . . . . . . . . . . 527
213.
Достаточные для относительного экстремума условия . . . . . . . 529
214.
Примеры и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
215.
Понятие независимости функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
216.
Ранг матрицы Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
§ 4. Замена переменных
217.
Функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
218.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
219.
Функции нескольких переменных. Замена независимых
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
220.
Метод вычисления дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
221.
Общий случай замены переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
222.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Г л а в а с е д ь м а я
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей
223.
Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) . . . . . . . 563
224.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
225.
Кривые механического происхождения . . . . . . . . . . . . . . . . 569
226.
Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры
. . . . 572
227.
Поверхности и кривые в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . 578
228.
Параметрическое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
229.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
§ 2. Касательная и касательная плоскость
230.
Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах . . . 586
231.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

ОГЛАВЛЕНИЕ

232.
Касательная в полярных координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . 590
233.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
234.
Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость
к поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
235.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
236.
Особые точки плоских кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
237.
Случай параметрического задания кривой . . . . . . . . . . . . . . 605
§ 3. Касание кривых между собой
238.
Огибающая семейства кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
239.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
240.
Характеристические точки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
241.
Порядок касания двух кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
242.
Случай неявного задания одной из кривых
. . . . . . . . . . . . . 619
243.
Соприкасающаяся кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
244.
Другой подход к соприкасающимся кривым . . . . . . . . . . . . . 623
§ 4. Длина плоской кривой
245.
Леммы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
246.
Направление на кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
247.
Длина кривой. Аддитивность длины дуги
. . . . . . . . . . . . . . 627
248.
Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги
. . . . 629
249.
Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной
633
§ 5. Кривизна плоской кривой
250.
Понятие кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
251.
Круг кривизны и радиус кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
252.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
253.
Координаты центра кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
254.
Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты . . . . . 648
255.
Свойства эволют и эвольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
256.
Разыскивание эвольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

Д о п о л н е н и е
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257.
Случай функции одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . 657
258.
Постановка задачи для двумерного случая . . . . . . . . . . . . . . 659
259.
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
260.
Основная теорема о распространении
. . . . . . . . . . . . . . . . 665
261.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
262.
Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671