Теоретическая физика. Том 1. Механика

Л.Д. ЛАНДАУ и Е.М. ЛИФШИЦ




ТОМ I


            МЕХАНИКА



Издание седьмое, стереотипное
Под редакцией ЛП Питаевского

       Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов












МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ® 2018

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31
     Л22

   Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. —7-еизд.,стереотип.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-1611-4 (Т. I).
   Настоящим томом начинается переиздание полного курса «Теоретическая физика», заслужившего широкое признание в нашей стране и за рубежом.
   Том посвящен изложению механики как части теоретической физики. Рассмотрены лагранжева и гамильтонова формулировки уравнений механики, законы сохранения в механике, теория столкновения частиц, теория колебаний и движение твердого тела.
   Для студентов старших курсов физических специальностей вузов, а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической физики.



Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик РАН, доктор физико-математических наук Л.П. Питаевский

ISBN 978-5-9221-1611-4 (Т. I)
ISBN 978-5-9221-1508-7

© ФИЗМАТЛИТ, 2015, 2017, 2018
© Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 2015, 2017, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие редактора к четвертому изданию.....................7
Предисловие к третьему изданию.................................8
Предисловие к первому изданию..................................8
Г л а в а I. Уравнения движения................................9
   § 1. Обобщенные координаты..................................9
   § 2. Принцип наименьшего действия..........................10
   § 3. Принцип относительности Галилея.......................14
   § 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки.........16
   § 5. Функция Лагранжа системы материальных точек...........18
Г л а в а II. Законы сохранения...............................24
   § 6. Энергия...............................................24
   § 7. Импульс...............................................26
   § 8. Центр инерции.........................................28
   § 9. Момент импульса.......................................31
   § 10. Механическое подобие.................................35
Глава III. Интегрирование уравнении движения..................39
   § 11. Одномерное движение..................................39
   § 12. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний... .42
   § 13. Приведенная масса....................................44
   § 14. Движение в центральном поле..........................45
   § 15. Кеплерова задача.....................................51
Глава IV. Столкновение частиц.................................58
   § 16. Распад частиц........................................58
   § 17. Упругие столкновения частиц..........................62
   § 18. Рассеяние частиц.....................................66
   § 19. Формула Резерфорда...................................72
   § 20. Рассеяние под малыми углами..........................75
Г л а в а V. Малые колебания..................................78
   § 21. Свободные одномерные колебания.......................78
   § 22. Вынужденные колебания................................82
   § 23. Колебания систем со многими степенями свободы........87
   § 24. Колебания молекул....................................95
   § 25. Затухающие колебания................................100
   § 26. Вынужденные колебания при наличии трения............104
   § 27. Параметрический резонанс............................107
   § 28. Ангармонические колебания...........................113

Оглавление

   § 29. Резонанс в нелинейных колебаниях....................117
   § 30. Движение в быстро осциллирующем поле................124
Глава VI. Движение твердого тела.............................128
   § 31. Угловая скорость....................................128
   § 32. Тензор инерции......................................131
   § 33. Момент импульса твердого тела.......................140
   § 34. Уравнения движения твердого тела....................142
   § 35. Эйлеровы углы.......................................145
   § 36. Уравнения Эйлера....................................150
   § 37. Асимметрический волчок..............................153
   § 38. Соприкосновение твердых тел.........................161
   § 39. Движение в неинерциальной системе отсчета...........166
Глава VII. Канонические уравнения............................171
   § 40. Уравнения Гкмильтона................................171
   §41.  Функция Рауса.......................................174
   §42.  Скобки Пуассона.....................................176
   § 43. Действие как функция координат......................180
   § 44. Принцип Мопертюи....................................183
   § 45. Канонические преобразования.........................186
   § 46. Теорема Лиувилля....................................191
   § 47. Уравнение Гамильтона-Якоби..........................193
   § 48. Разделение переменных...............................196
   § 49. Адиабатические инварианты...........................202
   § 50. Канонические переменные.............................205
   § 51. Точность сохранения адиабатического инварианта......208
   § 52. Условно-периодическое движение......................212

Приложение
   Преди  словие Л.Д. Ландау к первому изданию...............218
   Предм   етный указатель...................................221

   ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
   К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
   Этим томом издательство «Наука» начинает переиздание «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Впервые она выходит после смерти Е. М. Лифшица. На меня легла печальная и ответственная обязанность готовить Курс к печати без авторов.
   В настоящем издании «Механики» исправлены опечатки, замеченные с момента выхода третьего издания, и внесены небольшие изменения, уточняющие изложение. Эти поправки были приготовлены Е. М. Лифшицем и мною и частично учтены в последнем английском издании книги.
Май 1987 г.                      Л. П. Питаевский

   ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
   Во втором издании эта книга почти не отличалась от первого издания. Не возникло необходимости в сколько-нибудь значительной ее переработке и при подготовке нового издания. Поэтому большая часть книги воспроизведена стереотипно (с исправлением лишь опечаток). Переработке и дополнению, произведенным мной совместно с Л. П. Питаевским, подверглись лишь последние параграфы, посвященные адиабатическим инвариантам.
   Июнь 1972 г.                       Е. М. Лифшиц


   ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
   Настоящей книгой мы рассчитываем начать последовательное переиздание всех томов нашей «Теоретической физики». Окончательный план ее сейчас представляется в следующем виде:
   1. Механика. 2. Теория поля. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 4. Релятивистская квантовая теория. 5. Статистическая физика. 6. Гидродинамика. 7. Теория упругости. 8. Электродинамика сплошных сред. 9. Физическая кинетика.
   Первое издание первого тома было опубликовано в 1940 г. Л. Ландау и Л. Пятигорским. Хотя общий план изложения остался прежним, однако книга существенно переработана и полностью написана заново.
   Мы благодарны И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Питаевскому за помощь при чтении корректуры книги.
   Москва, июль 1957 г.    Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц

ГЛАВА I


УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ







§ 1. Обобщенные координаты


   Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки х). Под материальной точкой понимают тело,

размерами которого при описании его движения можно пренебречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты мож

но считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмот

рении их суточного вращения.
   Положение материальной точки в пространстве определяет

ся ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами х, у, z. Производная г по времени t

dr

V dt

называется скоростью, а вторая производная d²r/dt² — ускорением точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать

дифференцирование по времени точкой над буквой: v = г.

   Для определения положения системы из N материальных

точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. ЗА

координат.
   Вообще число независимых величин, задание которых необ

ходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно ЗА. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат.
   Любые s величин qi, q^, ..., qₛ, вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы), называют ее обобщенными координатами, а производные ф — ее обобщенными скоростями.

   х) Вместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о «частицах».

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

ГЛ. I

   Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказатв положение системы в последующие моменты времени. При заданнвгх значениях координат система может обладатв произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних будет различным и положение системы в следующий момент времени (т.е. через бесконечно малый временной интервал dt).
   Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат q и скоростей q в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений q в этот момент х).
   Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. По отношению к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т.е. траектории движения механической системы.

§ 2. Принцип наименьшего действия

   Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией
<й, ■■■, q₈, qi, qₛ, t)
или, в краткой записи, L(q,q,t), причем движение системы удовлетворяет следующему условию.
   Пусть в моменты времени t = Н и t = tz система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q^ и q(²\ Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

   х) Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q совокупность всех координат gi,g₂, ...,qₐ (и под q аналогично совокупность всех скоростей.)

§2

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

11

*2
S= I L(q,q,t)dt ti

(2-1)

имел наименьшее возможное значение х). Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) — дей

ствием.

   Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и q, но не более высокие производные q, q, ..., является выражением указанного выше факта, что механическое состояние полностью

определяется заданием координат и скоростей.

   Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении максимума интеграла (2.1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система

обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть

определена всего одна функция q(t).
   Пусть q = q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую

функцию вида

g(t) + 5g(t),

(2-2)

где bq(t) — функция, малая во всем интервале времени от Н до ^2 (ее называют вариацией функции q(t) ); поскольку при t = ti и t = t2 все сравниваемые функции (2.2) должны принимать одни и те же значения q^ и ф'²-¹, то должно быть:
5g(H) = 5g(t₂) = 0.              (2.3)
   Изменение S при замене q на q + bq дается разностью *2                              *2
           У L(q + bq, q + bq, t) dt — L(q, q, t) dt. ti                    ti
Разложение этой разности по степеням bq и bq (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности S ²) является обращение в нуль

   х) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траектории может оказаться, что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.
   ²) Вообще — экстремальности.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

ГЛ. I

совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обв1чно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименвшего действия можно записать в виде
                      *2
                55 = 5 У L(q, q, t) dt = 0,     (2.4)
      . . .        _ _ ti
или, произведя варьирование:
                 *2
/(^+$ДИ = ⁰'
                tl

гл            с ■ d ,
Замечая, что 5g = —5g, проинтегрируем второй член по частям:
*2
55 =          + [ (f- - bqdt = 0.                (2.5)
                  dq |ₜₗ J \dq dt dq /                      v '
                            ti
Но в силу условий (2.3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при произвольных значениях 5g. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнение

d_ dL _dL _ ₙ dt dq dq '
При наличии нескольких степеней свободы в принципе наимень
шего действия должны независимо варьироваться s различных функций qi(t). Очевидно, что тогда мы получаем s уравнений:

d dL _ dL_ dt dq, dq,

0 (i= 1, 2, ..., s).

(2-6)

Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа х). Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения (2.6)

устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения системы.
   С математической точки зрения уравнения (2.6) составляют систему s уравнений второго порядка для s неизвестных функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s про

   х) В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определении экстремумов интегралов вида (2.1), они называются уравнениями Эйлера.