Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Физматлит
Авторы:
Кудрявцев Лев Дмитриевич, Кутасов Александр Дмитриевич, Чехлов Валерий Иванович, Шабурин Михаил Иванович
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 472
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9221-1706-7
Артикул: 027461.05.99
Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.
Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
- ВО - Магистратура
- 03.04.02: Физика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÒÎÌ 3 ÈÇÄÀÍÈÅ ÒÐÅÒÜÅ 2018 ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
УДК 517 ББК 22.161 С 23 Куд р я в це в Л. Д., Ку т а с о в А. Д., Ч е х л о в В. И., Ш а бу н и н М. И. Сборник задач по математическому анализу. В 3 т. Т. 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 472 с. — ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3). Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа. Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Р е ц е н з е н т ы : заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова академик В.А. Ильин; профессор МФТИ академик С.М. Никольский ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3) ISBN 978-5-9221-1705-0 c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2016, 2018 c⃝ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2016, 2018
!x /?%77 5< n $55 , x #&663657!73 8 6$ 2 63657A< ## x *7%78 8 8 6636$ 578 8 57< -+ x +7%78 8 7 7=6&$ 5(2(20 x -C6557 8 62 //) x D@ 56< /#. x ,E%5575< /+ x 072 1?512/-0 x .@ 568%6< 671#** x /)2717 #- x //!717 #,0 x /#F6767#. x /*F717%95*#+ x /+?553 71%95**+
x x x !"#$%&#$! x '()!* x *+x , -$x ,.)/01!
! n " " #" " ! $%" &! '(! " " % )*" " %!! +" ," )#%--(&" " ! .!%)*(" !!/ " *%0 *0 !" ! ****!! !! "! ! # !! $$! ! %& ' # ( # ) x !"# $% % n &!'"! ' " $' $% ' " $' $% R n *%n !R n ( R n %+%x , -x i . x . . x n / y , -y i . y . . y n /x i y i R i , )0n-x. y / 1 ! -x. y / , s n X i-x i y i / -)/ *R n R n n R n 2 x , -x i . x . . x n / R n R n x i i , )0ni %! 3x , , -4. 4. . x i . . 4/ n R n i 3O , -4. 4. . 4/ 5x , -x i / y , -y i / R -R / 1 -)/ -x. y / , jx i y i j%R ! !R 6R R %%! ! 5%R n %%!7 x , -x . x . . x n /y , -y i . y . . y n /R x 8 y , -x 8 y . x 8 y . . x n 8 y n /x , -x . x . . x n /-0/
R n x x i ! x ! ! x n R n "##xx i i $n#e i $! %! ! %e n %! %! ! $&%! %! ! %#& R n xy x x i ! x ! ! x n y y ! y ! ! y n xy n X ix i y i '(R n ) '#n )* +p xx#x #jxj&x y #xy %,x y #.%! / cos xy jxjjy j R n 0a a ! a ! a n R n %12 x x ! x ! x n R n 2 jx i a i j i $n3#n )4a a R n "4a"4a0a R n %12 x ) R n 2 x! a#n )4a )a R n #U n a! U n a! fx R n 5 x! ag6U a! fx R 5 jx aj g 4a R ! U a! fx R 5 p x a 7 x a g 4a a ! a R n 1E R n #8n )98"* 0) m x m) R n : x x x m#R n ) #x mm N fx mg0fy k g ) #fx mg) 8#8m k N x m k y k k N 0fx mg # x mm N * a R n #fx mg) x m! a% m & "9lim mx ma x m2 a0) 2 #* ,2 8) #* 0x mR n 2 a # % 8m 2 m m #x mU n a! ;4<&9* R n 0fx mg R n #9lim mx mx m! O 7m O * E R n #"R n R n 8)"8E =x ) E R n 89U n x! U n x! E 1) R n #R n 0R n #* (# R n 8# #"R n & )# "* x R n #E R n # "2 E x E R n E xE xx R n E x E xx R n E R n E E E E E E E E E E E ! E E E E "#n E n$d E E R n % d ! d&E ' E ( ! inf xE y E &x' y () d x R n E R n d ! d&x' E ( ! inf y E &x' y (D &E ( E R n sup xx E &x' x (* x ! &x ' x ' ' x n ( R n x ! x &t(x ! x &t(x n ! x n &t(t +' ,&-.( % #x i &t(i ! -/n+' ,R n 0 &-.( *t 1&-.( x ! a 2 b tx ! a 2 b tx n ! a n 2 b n tn n X ib i .* R n t R R n t +' ,E R n 3E R n R n E 4 R n 1E 4 E E R n E R n E R n 5E R n 3"E R n E " - ) R E ! &.' -, f/g0 E R E N )&.' -(4 +.' -, x ! /E x ! /"+.' -,4 x ! .x ! -x ! /N " / 6* R * R x ! 2 /tx ! /tx ! / 2 /tx ! /t x ! -x ! tx ! 2 /tx ! tt R 0 x * y * &x ' y ( ! d&* ' * (N 67 &x' y ( ! p 8t t t t p t tt xy p t q t p p !"d# # inf xy xy p $%&&!t p p 't &!"x ((y )N *!"!&&!+xy !&!&!, R n ' ! &'&!. xy xy !/ !"!/ / x y xy y x+ 0 1 xy R n xz xy y z + 0 1 xy z R n 2 *!"!&+&!, &!R n ' ! &'&!xy z R n R . xxxx!/ !"!/ / x 3 ' !xy y xxy xy x y zxzy z*!". + !x x x x n &!&!, R n jxj s n X ix i + &+/+ !xy R n &&!jxy j jxj jy j4'!R !!a a b !/". a b a nb nn n n n 5 n ,&!&!& a4'!. d n /lim nd n /n /"0 /k ,' /"0k nlim nn &%6&/' !/"1 ' /2 &!" a a a a n R n i i n7&!&1 !x x x x n &!&!R n + !1 jx i a i j i i n0! n ,& i & 8!!a*!"!. + 0 /n ,/%& 8!!a &9&!! n ,' +/"' & 8!!a&, 9'&+ %! + 0 /n ,/+/"/& 8!!a &9&!! n ,' %& 8!!a&9'&+ ! /n ,/+/"/, &!/1 +91 ' % 2 *!"!+ &1 &!&!"&!x mx mx mx mn R n !a a a a n R n 1 , &!!!lim mx mi a i i n4'!lim mx m&. x mp m p mm m m m m m x mm m m x mcos n n sin n n / . n 3 &"%+ , &!"&!"n 3 &+ &!"&!"n x mr m cos mr m sin mr R x mm m p r cos m m m p r sin m r R r &!"&!" x mR n 0! &, !+! . + /&9&!! !!"&N !+ 0 /m N 0 /k N &!x mx k *!"!+ &1 &!&!"&!!&!, &!R n 1 &!!!&!"&!" ,
fx mg R n x mam ! a " # R n $% &x mi i nlim mx mi ' #&% #((R n (n ()$(n (*(n (!(+,)n ( -a% E ' fx R n xag.((R n n % / !E ' fx R n x x x i ' 0i ' *ng1 2f xx R " (-y " % )f xy ((R 2G i i N " (((R n % R n % m T iG i S iG i #((2((/ % (/ ((!( a R n (% E R n / ( &x mE / &a3% E ' fx R x ' ' sin x g%&E 2% !(% !(/ % (/ !% 4( %!% !$# !% %)5!% % (#!1
n 2% E #&#&E ($(/ % E *inf xy E xy ' 0#&% #(R n $(n (()% / x R n /xa*n 0 -a% / x R n /xa' ( n (a n (()a $$$6-)2/ / n %)1 #&/ !% % ((%$(*!(!% !((!% % G R n (a F R n G n F (a F n G 2F i R n i N " ((% % iF i m iF i #(2(/ % 7(/ (2f xx R " (-y " % )f xy (2f xx 809 " (-E n " % )n f xn n N % k E k 2-f xx 8ab9b a% (/ f xy f xy # y (f x(8ab9% (-f xx 8ab9% F 8ab9 R n n k !"# R n $n k ! "#E $#%E R n "#%&E $#%E R n '$%F %( F '$%R G%%G"E R n $#()* E E + E , E + E E + -E E , + .E , E + /E E + 0E , E + 1x mE lim mx m, aa E ! "#$#E i R n i N * m S iE i , m S iE i + S iE i S iE i '# $## ( 2"#3% #% % "#$( %'# E %$E $$E $"#( %E (E E E k % E k 4 $$k '# E 4 x $553(2* x $20 0 $&0 (% n x)"' E "& 74"E "E R C ,-"& 8" "9: ; $( !(<4 " ""$= !=$2= 3=64 " & "**>*"C "9: ;",& )"' C "!' C "9: ; (C -& +C 5 C $& "/2"9:;)"' S . $9: ; 9: ;n $C C "' & )"' x 9: ;4 , ,%/ 0& )"' F i F ' "" *' -,x F y F d$F F . $x y )"' F F ' "' ,-" *' d$F F :74",-*4 F . fx R x x . g 4 F . fx R x . :g)"' , **E R n ,*: x R n d$x E R n )"' , E R n E R n d$E E . d$E E . d$E E . d$E E x R n L k fx R n x i i k gk ndE E E fx R x x gE fx R x x gE fx R x x gE fx R x p x gE i fx R x x x gE fx R x x x g! E fx R x x g E fx R x x g"#!$ dE E %&' R ' R #( &%x tx tx tx tx tx tt R ) #! x ' y ' $ xy d' ' %&' R n ' R n #( & %x tx tx tx n tx tx tx x n t R ) #! x ' y ' $ xy d' ' "#!$ E R n ** !* $ * *+ D E %R ( +,+x x j x x x x x x x x x sinx jx j %R ( +,+x x x x x x x x x x x x x x x n (*. .a"#!$ ./#& $ +( ,., + $ #&0 "#!$ E R #$ E %0 "#!$ #%&*%R n %( *12*0 ! .!$ #&n #&0 "#!$ #E R n ( #&0 ! E R +,#&$ #&0 "#!$ #&R n ( #&0 "#!$ E R n 3 #$ *#( &E 3 #0 %#*$ #&*#0 4#&%$ ( &-.& 1!. & 1!&5 6&!$ E %R #&.#&&&*.!+E fx x gE fx x gE fx x gE fx x g7E fx x g fx x g8E fx x g fx x g9E fx x gE fx x g:E fx x gE n x x sin x o E fx sinx g fx jx j gE f7x x x x x :g6&!$ E %R .( !+E fx x x gE fx x x gE fx x x gE fx x x g7E fx x x g8E fx x x g9E fx x x gE fx x g:E fx x gE fx x x x x x x x x g"#!$ + .&%#!.! &#!$ 1%,0 6&!$ # $ #c$ +&% &0 E E fgE fgE fx R x x gE fx R x x x gE fx R x x g!E fx R x x g"E R fg#E fx R x x x g$E % & & R n '() *)+, & ''' . / & & R n &0i n )x nX ii a i i nX ii *)+, % / *)+, ' & )+1&1R n &R n *)+, ' & )+1)11& 1)/ 2& + & & R ), . ' & 1)/ *)+, )& )+11& 131). '/ n n a p narccos p k n n !n k C k k n k e& 3(& 3(jr j r k k Z +. '& 3(ln r 4+& & R x x x 56&&/
n x mm X k k n k k k E !"E #$%E #&E #'E #$E E P P !( $ ) *+ & ,P E E E n P P -+ .p n k & p 'p / /p %p %"" x ,'0""/""" "y ,'""'%"""" p ,n ,nx ,nnnny ,..p / 1/1 p ,p 1 p ./11a p n22/a22"2%a2&2'a202.222/"%&'0.# #&/ '# #&3#4(2#$+5( E #$!) $6(2#$+5( E /R ,."fx R 7 x 1 x g%R &28! . x ,.'R 0,#$ &06(2#$+5( F x n E R n x E u R E f u ! f "x#x E u ! f "x x x n #"x x x n # E $E %& x ' % x x x n ' u ! f "x x x n # ' n (n )%*u x ! "x x x n #%x f "x # f "x x x n #+f "x x x n #%, -& %, ".)x /01# & %, x x x n %-n %,%, -%& 2%%, %, %& x y , %, ' xy z , %, u ! f "xy #"xy # E R %, "xy f "xy ##"xy # E & R 2& u ! 3x 4 y "xy # R -5, %,(, %, u ! f "xy # , % %, & %x ! my ! nmn N u %! 6"mn# & %u mn & fu mn g" c &c R # f "x#x E R n %& x E , f "x# ! c7 , %, %, %, ' +f "x#G R n %G%, x G R ,x Gf "x# ! f "x#")# (, , f "x# ! jj f "x#"0# %2f "x# ! xx R & )f "x# ! jxjx R ' & )f "xy # ! y x' 8+%GG9-":;#"< #f "x# & U n "x # x R n %x *a %f "x# x x mU n "x #x m! x , & x f "x m# , a=% f "x# x > x mU n "x # y mU n "x #x m! x y m! x , x lim mf "x m# ! lim mf "y m#? "@ #*a %f "x# x R n 8 8, x, 8 "xx # %& jf "x# aj A@< %(a f "x# x lim xx f xa lim xx f xa! " # ! $a %&'f xx E R n X E x '( X ' ( x mX x mx ) x f x m) a*& %f xx E R n X x %( x mX y mX x mx y mx ) x lim mf x mlim mf y m" + ! $a %&'f xx E R n X E x , ,) x X ( ') ' , xx &jf xaj .a f xx E R n X E x lim xx xE f xa/0 ) )% &( %x X 'lim xx f xa. X x &x f xX x &&f x1! .X % &( 2 x 33,) % x lim xx xX f x%&'f xx E R n 2 x u f xy ) &) x y &%'lim xx y y f xy lim xx y y u4' ! 53x 6! /7) &) f xx R n n 3x !
! *) &) & & ( & %%( &'! 53x 6! 87! *n 3 &) n9 ( %&&) &) ! 0 ) &) u f xy &) x y lim xx lim y y f xy lim y y lim xx f xy :u x y x ; y lim xlim y x y x y 3 lim y lim xx y x y 3"'%&) ( ) %&&%! <%&' '%=>6! ?( ' f x' x R n %&'x lim xx f xf x @ + ! ?&%&1! A %! f xx E R n x E %&'f X sup xx xx X f xf x 0 ) )X f &f X %'B&f X f xx E R n D D A X E %&'f X %'f X C% 1f X sup xx X f xf x =.f xg x&& x R n ( cf xc A f x; f xf xg xg x ,f xg x&& x ?' f x%&'G R n &Gf xx R n x x f x! !" #f xx $ %f xx " lim xx f x$ lim xx f xf x &lim xx f xf xx lim xx f x' f x x ( ) * ( +f xE R n x E x E lim xx xX f x' f x , * X ' E *( -! ! f x$ y ' y sin#xx . y ' //x . y ' //$ /0( E x ) f xx E R n x 1 E ,0n ! ( ( #) ( +f xx E R n X E X *( +f xx E R n X E */ /! xx X ! x$ x jf xf x j E R n ) x E u R m $ * *) E R m ! f 2f " E R m E R n u ' f xx E R n u R m 3, m ' #( ( * u R f ) n !( , u ' f xx E R n u R m 4m n ! u i ' f i x $ x $ $ x n i ' #%m#/+#/) f 2f ' f f $ f $ $ f m &f ) x R n u R m ) x f f x5! f xx E ) E f E &u R m f ! x E R n !f x' uu f u6f U 7! ) U f E 8f xx E R n x E */ /! x E ! x$ x f x$ f x 8f xx E R n X E X 8f xx E R n X E */ /! xx X ! ) x$ x f x$ f x ##8f " E R m E R n E 0R m ( ( ) f x' f x xx E x ' x , 0) *E f E &E f E f E f " f E E u f E x E f x' u&f " E R m E R n E f ) f E f (
E R n E R m E E E E c !"u # p $%y x y N xy y x y ! y x y y x y "# !$ y $! % &# !$'y $ ! % (% %)* +,#% -$c * $) .c R #!$ xy p y x y / c0c c ! * !$ ! * ) !$ x+! ')* % & c )+! y x y / c x y c y / x y c / c 1c ! * c $p c ! c +! 2# $$')* % (% %c * c / 3443N
! %lim xy x y x y N 0*, , $# & !*) *! $x+ y &) p x ' y *) *!x y x y , # x x y jy j jy j p x ' y 1lim xy x y x y # ,N 3!"f $x+ y & # y cos y x *!$,+ ,& !!"N 5*!"*!) y # x2**!$,+ ,& . E # f$x+ y & R 6 x # y g!!"* jy cos$$y x &&j jy j) *! $x+ y & E N 4!"f $x+ y & # x y y x *!$,+ ,& x # ty # t' # ,+ !*lim xy x y y x N (!") *!) !!*!$,+ ,&7! !! f $t+ t& # t t , t , $# ,f $t+ ,& # ,&!"*!$,+ ,& !) **!8!*lim xy x y y x *!!) **!!!"*!$,+ ,& 7!!y # x . f $x+ x & # %!"*!$,+ ,& y # x %N !"s # f $x+ y &s 9 x 9 y 9 .*f $+ %&!"v # f $x+ y &v 9 :!!x 9 y 6 & !+ %& !v f xy v x !"#$ y "# ##% "! &' s f xy z s "# xy ( z ( ' )(#* af +,+f ,-,s f xy z s "# #xy z ( ' Q f xy z Q "# $ %#&#(xy ( z ((' v f x x x x v $ . x i i ,+/-"((""#x ( ' )(# f ,,,,% (%!$ * ,u p x 0 y 0 p x y +u p , x y /u p x y -u lnx 0 y ,1u ln y -x 0 23u ln x 0 -y +x /4u p x y 2u ln x y x x x y 5u p , jxj jy j ,6u x xy y x y ,,u ln x ln y p x y ,+u p -x x -x,/u p log a + x y ,-u p x 0 y a+a x y ,1u ln/x 0 y /0 lnxp x y ,3u p x , 0 p y , 0 p x 0 y / 0 p -+ 3x 4y ,4u p y sin x ,2u ln x ln sin y ,5u ln sin x 0 y +6u p x ln tg y x +,u arccos y ++u arccos x 0 y +/u arcsin x x y +-u x y 7u uxy * !(((!(#!#((8