Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды

Кудрявцев Л.Д.
Кутасов А.Д.
Чехлов В.И.
Шабунин М.И.




            Сборник задач по математическому анализу









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.161
     К88


    Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. В3т. Т.2. Интегралы. Ряды / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 504 с. — ISBN 978-5-9221-0307-7.
    Книга является второй частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал, относящийся к следующим разделам математического анализа: неопределенные интегралы, определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды. Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
    Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.

Рецензенты:

заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин;
профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.
    Табл. 1. Ил. 41. Библиогр. 20 назв.




















ISBN 978-5-9221-0307-7

                                    (О ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2009
        (О Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов,
           В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2003, 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Настоящая книга является второй частью сборника задач и содержит материал, относящийся к двум важным разделам курса математического анализа — “Интегралы” и “Ряды”. Сборник состоит из пяти глав.
   В первой главе рассматриваюся общие приемы и методы интегрирования, содержится большое число задач, связанных с нахождением первоообразных для рациональных, иррациональных и трансцендентных функций.
   Вторая глава посвящена определенному интегралу. Рассматриваются определение и свойства интеграла Римана, формула Ньютона-Лейбница, правило дифференцирования интеграла с переменными верхним и нижним пределами интегрирования, формулы замены переменного и интегрирования по частям, различные методы оценки и приближенного вычисления интегралов. Много внимания уделяется приложениям определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.
   В третьей главе рассматриваются несобственные интегралы.
   В четвертой главе изучаются числовые ряды. Рассматриваются свойства сходящихся рядов, критерий Коши сходимости ряда, ряды с неотрицательными членами. Много внимания уделено абсолютно и не абсолютно сходящимся рядам.
   Пятая глава посвящена функциональным рядам. Особое внимание уделяется таким трудным для усвоения понятиям, как равномерная и неравномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (§ 17, 18). Рассматриваются критерии равномерной сходимости, признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов. В § 19 изучаются свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, в § 20 — степенные ряды, в § 21 — ряд Тейлора, в § 22 — тригонометрические ряды Фурье. Асимптотическому представлению функций посвящен § 23, а в § 24 рассматриваются бесконечные произведения.
   Сборник предназначен для студентов, обучающихся во втузах с расширенной программой по математике и в университетах, а также для преподавателей. Большой набор задач разной степени трудности дает возможность преподавателю использовать сборник при работе

Предисловие


со студентами в аудитории, при составлении контрольных работ и заданий. Он может оказаться полезным и для лиц, самостоятельно изучающих математику.
   Первое издание вышло в 1986 г. Во второе издание внесен ряд изменений. В каждом параграфе вначале дан справочный материал, затем приведены примеры с решениями и задачи с ответами. Добавлены задачи в главах 3-5.
   Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа которой в значительной степени способствовала появлению этого сборника.

ГЛАВА 1


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ







§ 1. Общие приемы и методы интегрирования


  СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

   1.    Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F{x) называется первообразной функции /(ж) на некотором промежутке, если F(x) непрерывна на этом промежутке и дифференцируема в каждой его внутренней точке, причем F'(x) = f(x).
   В курсах математического анализа доказывается, что для каждой непрерывной функции первообразная существует.
   Если Fi(x) и Fz^x) —две первообразные функции /(ж), то ^(ж) = = Fi(x) + С, где С — некоторая постоянная.
   Если F(x) — первообразная функции /(ж), то множество {F(x) + С, Се R},

т.   е. совокупность всех первообразных функции /(ж), называется неопределенным интегралом функции /(ж) и обозначается
У/(ж) dx.
   Таким образом, по определению
jf(x)dx = {F(x) + С},                (1)

где F(x) — какая-либо первообразная функции /(ж), a С — произвольная постоянная.
   Формулу (1) принято записывать без фигурных скобок, т. е. опуская обозначение множества:
У/(ж) dx = F(x) + С.
   Символ у называется знаком интеграла, f{x) — подынтегральной функцией, f{x) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования.
   2. Свойства неопределенного интеграла.
   1. Если функция /(ж) имеет первообразную, то (y/(x)dx^ =/(ж), d^j‘f(x)dxj=f(x)dx.
   2. Если /(ж) — дифференцируемая функция, то
У/'(ж) dx = f(x) + С, ! df(x) = f(x) + С.

Гл. 1. Неопределенный интеграл

   3.    Если функция /(ж) имеет первообразную и a G R, то функция af(x) также имеет первообразную, причем при а 0 верно равенство

dx = а ! f(x) dx.

   4.    Если функции /i(ar) и /2 (ж) имеют первообразные на некотором промежутке, то функция /i(ar) + /2(ж) также имеет первообразную на

этом промежутке, причем

f + f₂(x)) dx =

! f₂(x)dx.

   3. Формулы для основных неопределенных интегралов. Каждая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке, принадлежащем области определения подынтегральной функции.

1.  [ ха dx = -------+С, а^---1.   2. [ dx = In la: + а| + С.              
    /         а +1                      J х + а                            
3.  ах dx = --h С, а > 0, а 7^ 1;     ех dx = ех + С.                      
    I           Ina                             J                          
4.  ! sin х dx = --- cos x + С.    5. J cos x dx = sin x + C.              
6.  [ ^х =tgx + C.    7. [ dx --- _ctgx + C.                               
    / COS2 X                        J sin- X                               
8.  shxdx = chx + C. 9. chxdx = shx + C.                                   
10. r dx _            и. f dx _        &                                   
    J cn-x                    J sh2#                                       
12. /* dx         1      , x                1        , x                  {
    -r---r = - arete ---h C = --- arcctg ---h С , а Ф 0.                   
    J x2 + a2 a       a          a        a                                
13. =              a^O.                                                    
    J x2 --- a2 2a 1 x + a 1                                               
14. Г dx _ arcg|n x & _ _ arccQg x & ii < Q a, q                           
    J Va2-x2           a                   a      ’ 1 1     ’     '        
15. [ dx = In |a: + д/ж2 + a21 + C, a^O.                                   
    J yx2 + a2                                                             
16. f ^ --- = In |.т + у.т2 --- a21 + 17, a 0 (|a:| > |a|).                
    J Vx2 - a2                                                             

   4.  Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Пусть на некотором промежутке определена сложная функция /(<р(х)) и функция t = ipQx) непрерывна на этом промежутке и диф
ференцируема во всех его внутренних точках; тогда если интеграл

f f(t) dt

f

существует, то интеграл

dx

также существу
еТ,ПРИЧеМ ff^x)W(x)dx= ff(t)dt\ₜ₌^ₓY                       (2)
Эту формулу называют формулой интегрирования подстановкой.
   Если для функции t = tp(x) на рассматриваемом промежутке существует обратная х =        то формулу (2) можно переписать в

§1. Общие приемы и методы интегрирования

7

виде

f = j фУх)У(х)

dx\ , 1® = ^“! (t)

или, если исходную переменную интегрирования обозначать как обычно через х,



(3)

   Формулу (3) обычно называют формулой интегрирования заменой переменной.

   Замечание. При использовании формулы (3) в записи решения знак подстановки        обычно опускают.
   5.    Интегрирование по частям. Пусть функции и{х) и v(x) непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его

внутренних точках. Тогда если на этом промежутке существует теграл у vu¹ dx, то существует и интеграл j uv' dx, причем

У uv' dx = uv — у vu' dx или Judv = uv — J vdu.

ин
(4)

   Формула (4) называется формулой интегрирования по частям. Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение /(ж) dx удается представить в виде произведения двух множителей и и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения.
   По известному дифференциалу dv функция v и определяется неоднозначно, но в формуле (4) в качестве v может быть выбрана любая функция с данным дифференциалом dv.
   Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.



   ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
   Пример 1. Найти какую-либо первообразную F{x) функции /(ж) = 1/д/ж, х € (0; +оо), и ее неопределенный интеграл.
   ▲ Так как (2д/ж)' = 1/д/ж, х > 0, то
F(x) = 2у^, х > 0,

У/(ж) dx = у —dx = 2 У + С, х G (0; +оо). ▲
   Пример 2. Для функции /(ж) = 1/х, х € (—оо;0), найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (—2; 2).
   ▲     Так как (In |ж|)' = 1/х, то In |ж| — одна из первообразных функции /(ж) = 1/х и, следовательно, искомая первообразная F(x) имеет вид F(x) = In |ж| + С, где С — некоторая постоянная. Постоянную С

Гл. 1. Неопределенный интеграл

находим из условия F(—2) = 2, т. е. In2 + С = 2, откуда С = 2 — In2. Таким образом,

F(x) = In |х| + 2 — In 2 = In |х/2| + 2. ▲

   Пример 3. Найти J(а: — 2еж) dx.

   ▲     Используя свойства 4 и 3 неопределенного интеграла и табличные интегралы 1 (при а = 1) и 3, получаем
f (х — 2еж) dx = /" хdx — 2 /" ех dx = — 2еж + С, х € R. ▲


   Пример 4. Найти [            dx.
                    J х
   к            dx = J dx — 4y^⁻¹/⁶ dx + 4y^⁻¹/³ dx =
= x — — x⁵/⁶ + ба:²/³ + C, x > 0. ▲
                                 5
   Пример 5. Найти [ , dx Л .
    H H             J ж⁴ + 4ж²
     Г dx    _ 1 fx² + 4 — x² i _ 1 [dx 1 [ dx _
   * J x²(x² + 4) “ 4 J x²(x²+4) dX ~ IJ V² ~ IJ IWl ~
11       ГГ  ~
= — -----arctg —h (. x 0. ▲
                                 4x 8       2
   „       r: it - f 3 — 3y/x² + 3 ,
   Пример 6. Наити --------,    ---dx.
                    J Vx^-9

         y/x² — 3 — 3y/x² + 3 , f dx „ Г dx -------,       -----dx =         .         — 3   ,        =
                y/x⁴ — 9               J y/x² +3 J y/x² — 3
                = ln(x + \/.r² + 3) — 3 In |x + д/ж² — 3| + C, |x| > V3. ▲

  Пример 7. Найти j cos²  dx.
  к у cos² | da: = ^⁺^°⁵Х dx = | у da: +
+ i f cos x dx =   + C, x & R. к

  Пример 8. Найти ftg^dx.
   к На каждом интервале, где определена подынтегральная функция, получаем
ftg²xdx = I ( —----l') dx = tgх — х + С. к
         J         J \ cos- х /

  Пример 9. Найти J3х ■ 5²х dx.
         к [3х ■ 5²х dx = f 75х dx = + С, х G R. к
           J           J      In 75

§1. Общие приемы и методы интегрирования

9

   Пример 10. Найти интеграл:

  1) у (За: — 5)¹⁰ dx; 2) .г² УТ^+Т d.r: . . dx । । тг f х‘ dx


3) j'tgxdx;
6) [ х² + 1
   J у/хе — 7х⁴ + х²

dx.

   ▲ 1) Найдем интеграл с помощью формулы (2), предварительно преобразовав его следующим образом:
У (За: - б)¹⁰ da: = | у (За: - б)¹⁰ (За: - 5)' dx.
Положив в формуле (2) t = ip(x) = Зх — 5 и /(#) = i¹⁰, получим
            i [ (За: — 5)¹⁰(За: — 5)' dx = i [t¹⁰ dt\ .
            3 J                         3 J \t=3x-5
   Таким образом,
       /" (За: — 5)¹⁰ da: = | +с|       = (За: - 5)¹¹ + С.
       J               з 11 1е=зя-5 зз
   Замечание. Обычно, пользуясь формулой (2), в записи решения для краткости опускают знак подстановки |^₌₍/?(ж). Например, вычисление данного интеграла проводят так:
У (За: - б)¹⁰ da: = |у (За: - 5)¹⁰ d(3x - 5) =
⁼ 1?¹°Л ⁼ £ ⁺ С⁼е£зГ²- ⁺ С   2)     По формуле (2), положив в ней t = ip(x) = 5а:³ + 1, /(#) = y/t, получаем
Ух² У5а:³ + 1 dx =     У5а:³ + 1 (5а:³ + 1)' dx =
         = ^у Уба:³ + 1 d(5x³ + 1) = fytdt =
= У УУ + С = У (5a:³ + 1) Уба:³ + 1 + C.
18           18

3)

ftgxdx = f dx = — f

J         J cos x      J

dcosx ,,           . , „
------ = — In cos x + С .
cos x

Г dx
J 2 + cos² x

dx _ f 1 dx _
     3 cos² x + 2 sin² x J 3 + 2tg ²x cos² x
= [            = Ф arcts (+ C.
                J 3 + 2tg ²x V6 V V3 /

6)

x' dx
д/1 — x¹⁰

1 t dxs
8 J д/1 — xla

i arcsin xs + C. 8

x² + 1
-\/xe — 7x⁴ + x²

1 + 1/x² Ух² -7 + 1/x²

dx =

Гл. 1. Неопределенный интеграл

d(x — 1/х)

dt

х - 1/ж)2 - 5 J
= In

= In |i + \/f² - 5| + C =

x - - + Jx² - 7 + \ + C. A x у            x
Пример 11. Найти интеграл:

dx

   dx
X²V1 + X- ’

0; 3) [ .dx .
J у/ех + 1

   ▲ 1) Воспользуемся формулой (3) интегрирования заменой переменной. Подынтегральная функция определена на промежутке х 0. Сделаем замену переменной х = t², t 0. Согласно формуле (3), по
дожив в ней

x = y?(i)=i², /(ж) = 1/(2 + у/х),

получим

    dx f ¹            /4.2 wjx f ²¹     ,4 о Г2 + -1-2 ,,
    + y/x J 2 + V<2V ³ * * * ⁷ J ²<t J 2 + t
= 2t — 4 In |2 + i| + C = 2y/x — 4 In |2 + y/x\ + C.
    2)  Сделаем замену переменной, положив х = 1/t; тогда
,      ¹ м
dx = —т dt.


Следовательно, /■_b₌ ₌ _
J хгу/1 + X
t¹ dt t²y/l + 1/i²

   3) Положим ex + 1 = t² , t


 = -Vt² + i + c = -y/i/x² +1 + a 0; тогда

                       ex dx = 2tdt и dx =
                                                 t~ — 1

Следовательно,
r _Jx ₌₂ Г _dt ₌ ь I i-1 I ₊ c ₌ ь Ve® + 1 - 1 ₊ A

    J ex + 1 J t- - 1 lf + 11                Ve® + 1 + 1

   Пример 12. Найти интеграл:

   1) f Л"¹ dx-, 2) f ³x ⁺ ⁱ =dx.
      J X- - x + 1       J y/-x- + 6x - 8

   A 1) Представим подынтегральную функцию в виде линейной комбинации двух рациональных дробей так, чтобы числителем первой дроби была производная знаменателя х² — х + 1, а числителем второй дроби — единица:
Зж- 1   _  3  2х -1       1   1
х- — х + 1   2 х- — х + 1  2    - х + 1 ’
Интеграл от каждого слагаемого легко вычисляется:
    3 С 2х - 1     ,   3 Г d(x² - х + 1)  3, , 2      , п
    -   —------— dx= -        -----—2- = - 1п(^ - х + 1) + Ci,
    2 J х- — х + 1     2 J х- — х + 1     2