Отличная квантовая механика : решения. Часть 2

Отличная
квантовая
механика
Решения

QUANTUM PHYSICS

    

A. I. Lvovsky

Москва
2019

Перевод с английского

Отличная
квантовая
механика
Решения

Александр Львовский

© Львовский А., 2019
© Издание на русском языке, перевод, оформление. 
ООО «Альпина нон-фикшн», 2019
ISBN 978-5-91671-952-9 (рус.)
ISBN 978-3-662-56582-7 (англ.)

УДК 530.145
ББК 22.314
 
Л89
Переводчик Н. Лисова
Редактор А. Ростоцкая

Львовский А.
Отличная квантовая механика : Решения : в 2 ч. / Александр Львовский ; 
Пер. с англ. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 304 с.

ISBN 978-5-91671-952-9

Ч. II. — 304 c.

Вторая часть содержит подробные решения к учебному пособию.

УДК 530.145
ББК 22.314

Л89

Все права защищены. Никакая часть этой книги не может 
быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети 
интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ для частного или пуб личного использования, 
без письменного разрешения владельца авторских прав. 
По вопросу организации доступа к электронной библиотеке 
издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru.

Руководитель проекта А. Тарасова
Корректоры Е. Аксёнова, М. Миловидова
Компьютерная верстка А. Фоминов
Дизайн обложки Ю. Буга

Иллюстрации на обложке Shutterstock.com 

Подписано в печать 10.07.2019. 
Формат 60×90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Объем 19 печ. л. Тираж 1500 экз. 
Заказ №            .

ООО «Альпина нон-фикшн»
123007, г. Москва, ул. 4-я Магистральная, 
д. 5, строение 1, офис 13
Тел. +7 (495) 980-5354
www.nonfiction.ru

Отпечатано в АО «Первая образцовая 
типография», 
филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ» 
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

Знак информационной продукции
0+
(Федеральный закон № 436-ФЗ от 29.12.2010 г.)  

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА Р1. Решения к упражнениям главы 1 ....................................... 7

ГЛАВА Р2. Решения к упражнениям главы 2 ..................................... 35

ГЛАВА Р3. Решения к упражнениям главы 3 ..................................... 69

ГЛАВА Р4. Решения к упражнениям главы 4 ................................... 145

ГЛАВА Р5. Решения к упражнениям главы 5 ................................... 193

ГЛАВА РА. Решения к упражнениям приложения A ....................... 239

ГЛАВА РБ. Решения к упражнениям приложения Б ....................... 283

ГЛАВА РВ. Решения к упражнениям приложения В ....................... 291

ГЛАВА РГ. Решения к упражнениям приложения Г ....................... 299

ГЛАВА Р1

РЕШЕНИЯ 
К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ 1

Решение для упражнения 1.1. Воспользовавшись результатом 
упр. A.15, запишем (не забывая о комплексном сопряжении там, где 
это нужно!):

ψ | ψ = N (2жива | ψ – iмертва | ψ) =
= N2 (4жива | жива + 2iжива | мертва –  
 
(Р1.1)
– 2iмертва | жива + мертва | мертва).

Поскольку |мертва и |жива — физические состояния, их нормы 
равны 1. Однако эти состояния несовместимы друг с другом, так что 
их скалярное произведение пропадает. Следовательно, имеет место 
равенство ψ | ψ = N2 (4 + 1) = 5N2, а значит, 
1
5
N =
.

Решение для упражнения 1.2. Хотя движение одномерно, ни одно 
координатное состояние не совместимо с другими: x | x′ = 0, если x ≠ x′. 
Поэтому существует бесконечно много линейно независимых состояний, и размерность гильбертова пространства равна бесконечности. 

Решение для упражнения 1.3. В каждом наборе у нас по два вектора. Исходя из результатов упр. A.19 и двумерности нашего гильбертова пространства, достаточно показать, что эти векторы ортонормальны. Вычислим скалярные произведения векторов, выразив их в 
матричном виде, в каноническом базисе согласно табл. 1.1.
a) Для диагональных состояний находим:

 
(
) 1
1 1
1
1
1
2
⎛ ⎞
+ + =
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

 
(
) 1
1 1
1
0
1
2
⎛ ⎞
− + =
−
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ

 
(
)
1
1 1
1
0
1
2
⎛
⎞
+ − =
=
⎜
⎟
⎝ − ⎠
;

 
(
)
1
1 1
1
1
1
2
⎛
⎞
− − =
−
=
⎜
⎟
⎝ − ⎠
.

b) Аналогично находим для круговых состояний [производим комплексное сопряжение согласно (A.5)]:

 
(
)i
i
1
1 1
1
2
R R
⎛ ⎞
=
−
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

 
(
)i
i
1
1 1
0
2
L R
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

 
(
)i
i
1
1 1
0
2
R L
⎛
⎞
=
−
=
⎜
⎟
⎝ − ⎠
;

 
(
)i
i
1
1 1
1
2
L L
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝ − ⎠
.

Решение для упражнения 1.4. Для диагонального базиса мы 
выводим, пользуясь табл. 1.1, что

(
) 1
1
1
1
1
0
2
2
H
⎛ ⎞
+
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

(
) 1
1
1
1
1
0
2
2
H
⎛ ⎞
−
=
−
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

(
) 0
1
1
1
1
1
2
2
V
⎛ ⎞
+
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

(
) 0
1
1
1
1
1
2
2
V
⎛ ⎞
−
=
−
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,

и, таким образом, 
(
)
2
H =
+ + −
; 
(
)
2
V =
+ − −
. Аналогично 
для кругового базиса поляризации:

(
)i
1
1
1
1
0
2
2
R H
⎛ ⎞
=
−
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

(
)i
1
1
1
1
0
2
2
L H
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ГЛАВЫ 1 

(
)
i
i
0
1
1
1
2
2
R V
⎛ ⎞
=
−
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;

(
)
i
i
0
1
1
1
2
2
L V
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,

следовательно, 
(
)
2
H
R
L
=
+
; 
(
)
i
2
V
R
L
=
−
+
.

Решение для упражнения 1.5. Воспользовавшись табл. 1.1, выразим состояния |a и |b в каноническом базисе:

3
1
3
30
2
2
1

H
V
a
⎛
⎞
+
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠

;

3
1
3
30
2
2
1

H
V
b
⎛
⎞
−
= −
=
⎜
⎟
⎝ − ⎠

.

Теперь мы можем применить тот же подход, что и в предыдущем 
упражнении. 

(
)

канонический базис
1
3
1
3
1
1
2 2
1
2 2
a
⎛
⎞
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
;

(
)

канонический базис
1
3
1
3
1
1
2 2
1
2 2
a
⎛
⎞
−
−
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
.

Таким образом, разложение |a в диагональном базисе поляризации — это

диагональный базис
3
1
1

2 2
3
1

a
a
a

⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠
⎝
− ⎠
. 
 
(Р1.2)

Аналогично получаем:

диагональный базис
3
1
1

2 2
3
1
b
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
+ ⎠
. 
 
(Р1.3)

Для кругового базиса поляризации

(
)

канонический базис
i
i
1
3
3
1
2 2
1
2 2
R a
⎛
⎞
−
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
;

ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: РЕШЕНИЯ

(
)

канонический базис
+i
i
1
3
3
1
2 2
1
2 2
L a
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎝
⎠
,

следовательно,

круговой базис
i

+i

3
1

2 2
3
a
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 
(Р1.4)

и аналогично

круговой базис
i

i

3
1

2 2
3
b
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
− ⎠
.  
(Р1.5)

Чтобы найти скалярное произведение в каждом из трех базисов, 
используем (A.5):

(
)
канонический базис
1
1
3
3
1
4
2
1
a b
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎝ − ⎠
(
)
диагональный базис
3
1
1
1
3
1
3
1
8
2
3
1
a b
⎛
⎞
−
+
−
=
⎜
⎟
⎝
+ ⎠
(
)
круговой базис
i
i
i
i

3
1
1
3
3
8
2
3
a b
⎛
⎞
+
+
−
=
⎜
⎟
⎝
− ⎠
.

Все три скалярных произведения одинаковы, что подтверждает 
теорию.

Решение для упражнения 1.6. В соответствии с (A.7) состояние |ψ 
раскладывается в базисе |vi согласно

i
i
i
v
v
ψ =
ψ
∑
.  
(Р1.6)

Отсюда следует, что

*

,
j
i
j
i
i j
v
v
v v
ψ ψ =
ψ
ψ
=
∑
  
(Р1.7)

*

,
j
i
ij
i j
v
v
=
ψ
ψ δ =
∑
 
 
(Р1.8)

)
2 (1.3

i
i
v
=
=
ψ
∑
 
 
(Р1.9)

pri
i
=∑
. 
 
(Р1.10)