Все формулы мира: как математика объясняет законы природы

Москва
2019

все
формулы
мира

Сергей Попов

как
математика
объясняет
законы
природы

С иллюстрациями
Ростана Тавасиева

© Попов С., 2019
© Тавасиев Р., иллюстрации, 2019
© ООО «Альпина нон-фикшн», 2019
ISBN 978-5-00139-169-2

УДК 51
ББК 22.1
 
П58

Научный редактор Игорь Иванов, канд. физ.-мат. наук
Редактор Полина Суворова

Попов С.
Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы / Сергей 
Попов. —  М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 288 с.

ISBN 978-5-00139-169-2

Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление 
вызывают естественно-научные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции — от хитроумной дорожной развязки до квантового компьютера — сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам 
также не обойтись без математики. Но это кажется таким сложным и запутанным! 
Как перестать бояться формул и полюбить математику? Почему она так эффективна в естественных науках? Есть ли этому предел, или, наоборот, для более глубокого 
понимания природы придется создавать математические конструкции, уже не укладывающиеся в голове человека? Все эти вопросы затрагиваются на страницах книги, 
а их художественное осмысление представлено в серии рисунков художника Ростана 
Тавасиева. На многие из них невозможно найти окончательные однозначные ответы. 
Но мы продолжаем обсуждать их и пытаемся понять, как устроен этот мир. Для этого 
понадобится преодолеть разделение на «две культуры»: «гуманитариев» и «естественников». Попробуем сделать еще один шаг в этом направлении.
УДК 51
ББК 22.1

П58

Все права защищены. Никакая часть этой книги 
не может быть воспроизведена в какой бы 
то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети интернет 
и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ для частного или пуб личного использования, без письменного разрешения владельца 
авторских прав. По вопросу организации доступа 
к электронной библиотеке издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru.

Содержание

Предисловие автора ................................................................................................5
Предисловие художника .......................................................................................7

Часть I. Новый язык
Глава 1. Формулы и законы природы ............................................................. 13
Глава 2. Три доски ................................................................................................. 25
Глава 3. Клубок ниток ......................................................................................... 35

Часть II. Эволюция
Глава 4. «Эволюционное древо формул» .................................................... 45
Глава 5. «Эволюция, детка» ............................................................................. 55
Глава 6. Возрастание сложности ...................................................................... 65
Глава 7. Чем математика похожа на глаз? ....................................................... 77
Глава 8. Эволюция формы и содержания ...................................................... 87

Часть III. Метаморфозы и варианты
Глава 9. Агрегатные состояния идей ............................................................... 97
Глава 10. Снежинки теорий .............................................................................109
Глава 11. Воображаемые миры .......................................................................119
Глава 12. Другая математика? ..........................................................................129

Часть IV. Предвидение
Глава 13. Неизбежность математических выводов ...................................139
Глава 14. «Приподнимем занавес за краешек…» ....................................149
Глава 15. Что могло бы быть «научной магией» .....................................159

Послесловие (которое могло бы быть предисловием) ...........................167

Приложения
Приложение 1. Закон Хаббла и сверхсветовые скорости 
в космологии .........................................................................171
Приложение 2. Метод размерностей. Параметры в центре Солнца 
и пульсации звезд ................................................................177
Приложение 3. Аккреция, предельная светимость и массы 
сверхмассивных черных дыр ............................................181
Приложение 4. Одиночные черные дыры ..................................................189
Приложение 5. Астрофизика нейтронных звезд .....................................209
Приложение 6. Быстрые радиовсплески.....................................................224
Приложение 7. Популяционный синтез экзопланет ..............................232
Приложение 8. Падение тела ..........................................................................241
Приложение 9. Высота гор и форма астероидов ......................................246
Приложение 10. Гипотезы в астрофизике ..................................................249
Приложение 11. Зачем нужна астрономия ................................................261

Примечания ..........................................................................................................270

 .  
5

Предисловие 
автора

Меня всегда удивляли фразы, в которых встречалось выражение «наука 
и культура». Звучит как «литература и культура» или «искусство и культура». Такое разделение и даже противопоставление лишено смысла, 
ведь, безусловно, наука — неотъемлемая часть современной культуры. 
Также меня всегда расстраивало противопоставление «двух культур» — 
гуманитарной и естественно-научной, о котором писал еще Чарльз Сноу 
в своей знаменитой работе. Кажется, что такое разделение — а оно до сих 
пор заметно — основано в первую очередь на взаимном непонимании, 
свойственном многим людям и с той и с другой стороны. Чтобы лучше понять друг друга, надо больше общаться. Отчасти предлагаемая читателю 
книга является попыткой такого общения. Соответственно, основной ее 
адресат — человек, считающий себя в большей степени «гуманитарием», 
что в первую очередь подразумевает нелюбовь ко «всяким формулам».
В некотором смысле книга состоит из трех частей, и важнейшая из них 
связана с набором иллюстраций, созданных Ростаном Тавасиевым. С самого начала идея проекта вращалась вокруг визуальных образов, которые 
могли бы по-своему выразить роль математики в познании и описании мира, 
а также ее связь с другими подходами. Поэтому иллюстративный ряд — 
не просто дополнение к тексту, а самостоятельная сущность, у которой 
есть создатель, своими методами выражающий собственную точку зрения 
на мысли и образы, представленные в основной — текстовой — части книги.
В 15 главах, составляющих эту часть, формул практически нет. Целью 
был разговор о математическом методе описания мира с точки зрения 

все формулы мира
6

ученого, который им активно пользуется, но сам его не развивает, создание некоего внятного образа, подкрепленного разнообразными аналогиями (с которыми, разумеется, можно не соглашаться) и примерами, 
которые я брал в первую очередь из физики и астрофизики. Мне хотелось, чтобы читатель понял, что математика — не способ все запутать, 
а единственная возможность понять очень и очень многое из того, что мы 
узнали и узнаем о мире, в первую очередь в результате физических исследований. Кроме того, математика — метод не только (и не столько) 
представления и описания, но еще и исследований природы, поскольку 
оказалось, что множество новых результатов удается вначале получить 
с помощью анализа уравнений (а иногда даже создания нового математического аппарата), а эксперимент или наблюдения впоследствии их лишь 
подтверждают.
Однако многим продвинутым читателям покажется, что слов недостаточно, — надо и уравнения выписывать. Рассказывать о математических 
методах в физике без помощи формул — все равно что говорить о живописи без иллюстраций или показа картин. Поэтому появилась третья 
часть книги — приложения, куда вынесен ряд примеров, призванных непосредственно продемонстрировать, как математика применяется в физике и астрономии. Там формулы присутствуют в большом количестве, 
правда, сложных выражений среди них нет. Фактически приложения — 
это ряд независимых научно-популярных статей разного объема, посвященных самым разным методам, процессам и объектам. Стандартного 
курса нетехнического вуза по высшей математике и физике (или даже 
естествознанию) будет вполне достаточно, чтобы во всем разобраться. 
Не возникнет сложностей и у старшеклассников из физико-математических школ или астрономических кружков.
Особняком стоят два последних больших приложения, одно из которых посвящено гипотезам в астрофизике, а второе — практической пользе 
фундаментальных исследований вообще и астрономических в частности. 
Читатель, все-таки желающий формул избежать, может, пропустив первые девять приложений, смело браться за два последних, не боясь столкнуться с «математическими монстрами».

 .  
7
 

Предисловие 
художника

Предложение Сергея Попова иллюстрировать книгу про математические 
формулы застало меня врасплох. Как иллюстрировать то, чего не понимаешь? Но я решил довериться удивительному дару Сергея Борисовича 
объяснять непостижимое.
В школе мир цифр казался ужасно скучным. Клетку в тетради воспринимал как средство ограничения свободы воображения. И боролся 
за эту свободу заполняя тетрадки рисунками. Рисовал и в учебниках, 
визуализируя условия задач и украшая буденновскими усами портреты 
великих математиков.
И вот теперь мои рисунки снова встретились с математикой на страницах этой книги. Подозреваю, что стал тем максимально не подготовленным «гуманитарием», на котором автор тестировал свой текст. Если 
поймет этот художник, то, вероятно, и другие тоже поймут.
Издательство попросило пояснить в этом коротком вступлении, 
как устроены иллюстрации. Они состоят из трех основных элементов: 
клякса, чертеж (или карандашный рисунок) и орнамент. Клякса, след 
падения капли акварели на белом листе, — естественное физическое явление. Чертеж этой кляксы — попытка человека измерить и понять это 
физическое явление. Орнамент — один из первых доступных человеку 
способов описать через рисунок и ритм окружающий мир.
Собранные из этих элементов иллюстрации я отправлял Сергею Борисовичу на благословение. В ответ получал наставительные комментарии и исправлял рисунки. Так, шаг за шагом, приближался к пониманию 
смысла каждой главы. Теперь эта книга у вас в руках. И вы даже уже прочитали предисловие.
Ростан Тавасиев

Часть I

Новый 
язык

А. Законами природы мы называем надежно установленные 
закономерности, описывающие процессы в реальном 
мире. Математические методы помогают не только четче 
формулировать эти законы, но и использовать проверенные 
алгоритмы и правила как для расчетов результата 
их действия, так и для получения новых соотношений, 
т. е. новых законов природы.

Б. «Непостижимая эффективность математики» 
состоит в первую очередь в том, что законы и правила, 
сформулированные и доказанные для идеальных 
математических объектов, оказываются с высокой 
точностью применимы к реальным объектам и процессам.