Математический анализ. Руководство к решению задач

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ — БАКАЛАВРИАТ

Владикавказский филиал 

 

Кафедра «Математика и информатика» 

Х.П. ДЗЕБИСОВ 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Д43

Рецензенты:

Ш.С. Хубежты,
доктор физико-математических наук,
профессор 

(Северо-Осетинский государственный университет иени. К.Л. Хетагурова);

Р.И. Бтемирова, кандидат педагогических наук, доцент (Финансовый 

университет (Владикавказский филиал))

Дзебисов Х.П.

Д43
Математический анализ. Руководство к решению задач : учебное 

пособие / Х.П. Дзебисов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 203 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-109185-2 (online)

Содержание 
 
учпебного 
пособия
охватывает 
следующие 
разделы

программы: 
введение 
в 
анализ 
(теория 
последовательностей, 
предел 

и непрерывность функций), дифференциальное исчисление функций одной 
независимой 
переменной 
(производная 
и 
дифференциал, 
применение 

дифференциала и формулы Тейлора к приближенным вычислениям). В каждом 
параграфе кратко излагаются основные сведения из теории, даются подробные 
решения типовых задач, приводятся задания для самостоятельной работы.

Адресовано студентам бакалавриата, обучающимся по направлениям 

«Экономика», «Менеджмент», «Бизнес информатика», а также студентам, 
изучающим математический анализ в том или ином объеме в различных учебных 
заведениях. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов 
и может быть рекомендовано преподавателям для проведения практических 
занятий.  

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-109185-2 (online)
© Дзебисов Х.П., 2020

ФЗ 

№ 436-ФЗ 

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 

 

Оглавление 

Введение ....................................................................................................................................................... 4 

Глава 1 ......................................................................................................................................................... 5 

§  1.1. Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней. ........................................................ 5 

§  1.2. Управления и неравенство, содержащие переменную под знаком абсолютной величины. . 6 

§  1.3. Последовательности. Классификация последовательностей по их свойствам .................... 10 

§  1.4. Предел числовой последовательности ..................................................................................... 14 

§ 1.5. Бесконечно малые последовательности (б.м.п.), бесконечно большие последовательности 
(б.б.п.) и их свойства ............................................................................................................................. 19 

§  1.6. Второй замечательный предел для последовательности ........................................................ 24 

§  1.7. Функция и ее основные характеристики .................................................................................. 26 

§ 1.8. Предел функции .......................................................................................................................... 40 

§  1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение .................................... 51 

§  1.10. Техника вычисления пределов ................................................................................................ 56 

§ 1.11. Эквивалентные бесконечно малые. Применение к отысканию пределов ........................... 69 

§ 1.12. Непрерывность функций .......................................................................................................... 74 

Глава 2 ....................................................................................................................................................... 87 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной .............................................................. 87 

§  2.1. Приращения аргумента и функции .......................................................................................... 87 

§  2.2. Производная функция ................................................................................................................ 89 

§ 2.2. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила вычисления 
производных. ......................................................................................................................................... 97 

§ 2.3. Техника вычисления производных сложных функций. ........................................................ 104 

§ 2.4. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. 
Неявно заданная функция и ее производная. ................................................................................... 118 

§ 2.5. Производные высших порядков. ............................................................................................. 132 

§ 2.6. Дифференциал функции ........................................................................................................... 143 

§ 2.6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функций. ........................................................... 154 

§ 2.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя ........................................................... 162 

§ 2.8. Формула Тейлора ...................................................................................................................... 177 

 

Введение

Настоящее издание является практическим руководством к решению 

задач по курсу математического анализа. Несмотря на значительное 

разнообразие рассматриваемых вопросов, автор старался предложить если не 

абсолютно универсальные, то максимально общие методы решения задач.

В начале каждого параграфа приводятся ряд теоретических аспектов, 

необходимых для решения соответствующих задач. Детальное теоретическое 

обоснование 
методов 
и 
утверждений 
курса 
и 
их 
геометрическая 

интерпретация следует отнести к учебникам: Высшая математика для 

экономистов/ под ред. Н.Ш. Кремер – 3 - изд.М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006 –

479с; Конспект лекций по высшей математике/ под ред. Д.Т. Письменный, 9
е изд.М.: АЙРИС ПРЕСС, 2009 – 602  с.

Глава 1

§  1.1. Абсолютная величина и соотношения, связанные с

ней.

В дальнейшем изложении курса нам встретится необходимость 

рассматривать соотношения между абсолютными величинами некоторых 

выражений. Поэтому напомним определение абсолютной величины числа и 

соотношения, связанные с этим понятием.

Определение. 
Абсолютной 
величиной 
положительного 
числа 

называется само это число; абсолютной величиной отрицательного числа 

называется это число, взятое с отрицательным знаком.

Абсолютная величина числа а обозначается так :

Таким образом,

1. Абсолютная величина алгебраической суммы меньше или равна 

сумма абсолютных величин слагаемых

Например:

2. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна 

разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого

Например:
|

3. Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей 

равно произведению их абсолютных величин

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

6 

 

Например:

4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин

делимого и делителя

Например:

§  1.2. Управления и неравенство, содержащие переменную 

под знаком абсолютной величины.

 

При решении уравнений и неравенств, содержащих переменную по 

знаком абсолютной величины, применяются чаще всего следующие методы:

1) раскрытие абсолютной величины по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Пример 1. Решим уравнение

Решение.
Так как по определению

то исходное уравнение равносильно следующей совокупности двух систем:

Из первой системы находим 
a из второй  

Пример 2. Решим уравнение 

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

7 

 

Решение.
Принимая во внимание, что

нетрудно убедиться: способ решения возведением в квадрат (второй способ) 

здесь наиболее целесообразен, поэтому

или 
,

откуда

.

Пример 3. Решим уравнение

Решение. В данном случае более предпочтительным является метод 

разбиение на промежутки (третий способ).

Нанесем на числовую прямую значение
при котором 

и значение , при котором 

Числовая прямая при этом разобьется на промежутки

Решим исходное уравнение на каждом из этих 

промежутков, т.е. решим совокупность следующих трех систем

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

8 

 

или

Решением первой системы является луч 
т.е. все значения 
из 

промежутка 
, из второй системы находим, что 
а третья 

система решений не имеет.

Пример 4. Решим неравенство 

Решение. Так как по определению (первый способ)

то заданное неравенство равносильно двум системам:

Из первой системы получаем 
из второй 

Объединив эти решения, находим решение заданного неравенства: 

Пример 5. Решим неравенство 

Решение. После возведения в квадрат обеих частей неравенства (второй 

способ) получим:

,

и далее 
откуда находим 

Пример 6. Решим неравенство 

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

9 

 

Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, 

находящиеся под знаком абсолютных величин, обращаются в нуль. Это 

точки 
(третий способ). Числовая прямая разбивается этими точками 

на три промежутка: 
. Рассматривая заданное 

неравенство на каждом из этих трех промежутков, получим совокупность 

трех систем:

Из первой системы находим
из второй 
из третьей 

Объединяя найденные решения, получим 

Пример 7. Решим неравенство

Решение. Это неравенство равносильно неравенству 

которое можно переписать следующим образом:

или

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

10 

 

откуда

Методом интервалов находим решение последнего, а вместе с ним и 

заданного неравенства: 

Задания для самостоятельной работы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

§  1.3. Последовательности. Классификация 

последовательностей по их свойствам

1.
Пусть дано множество чисел, расположенных в определенном 

порядке, например: