Геометрия. Практикум

Л. В. Барсукова

ГЕОМЕТРИЯ

ПРАКТИКУМ

Допущено Министерством образования Республики Беларусь 

в качестве учебного пособия для учащихся учреждений 
образования, реализующих образовательные программы 
профессионально-технического и среднего специального 

образования 

Минск
РИПО
2020

УДК 514(075.32)
ББК 22.151я7

Б26

Р е ц е н з е н т ы:

цикловая комиссия естественно-математического цикла филиала БНТУ 
«Минский государственный политехнический колледж» (Т. В. Гнедько);
доцент кафедры высшей математики УО «Белорусский государственный 

аграрный технический университет», кандидат физико-математических наук, 

доцент Л. А. Хвощинская.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее 

части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства образо
вания Республики Беларусь.

Барсукова, Л. В.

Б26
Геометрия. Практикум : учеб. пособие / Л. В. Барсукова. – 

Минск : РИПО, 2020. – 103 с. : ил.

ISBN 978-985-7234-14-1.

В учебном пособии приведены четырнадцать практических занятий. 

Каждое практическое занятие содержит теоретический материал, задачи, 
контрольные вопросы и индивидуальные задания. Теоретический материал для лучшего восприятия представлен в форме опорного конспекта. 
Индивидуальные задания даны в 10 вариантах. Каждый вариант содержит 
3–4 задания, которые решаются аналогично разобранным задачам. Варианты 1–4 предназначены для 1–3 уровня усвоения учебного материала, 
варианты 5–8 – 2–4 уровня, варианты 9–10 – для 5 уровня. 

Предназначено для организации самостоятельной работы учащихся при 

изучении учебного предмета «Математика». Будет полезно преподавателям 
и учителям, реализующим учебные программы для 10–11-х классов.

УДК 514(075.32)
ББК 22.151я7

ISBN 978-985-7234-14-1 
 
© Барсукова Л. В., 2020
 © Оформление. Республиканский институт

профессионального образования, 2020

РАЗДЕЛ 1

ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ

Практическое занятие № 1 

Многогранники

Цель: сформировать понятие «многогранник»; сформировать 

знания о видах многогранника, его элементах; сформировать 
умения находить элементы многогранника, изображать многогранники.

Теоретический материал

Многогранник представляет собой геометрическое тело, огра
ниченное конечным числом плоских многоугольников, любые 
два из которых, имеющих общую сторону, не лежат в одной плоскости.

Элементы многогранника: вершины, ребра и грани.
Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну 

сторону от плоскости каждой своей грани.

Примеры выпуклых многогранников: куб, параллелепипед, 

призма, пирамида.

Куб – многогранник, у которого шесть граней, представляю
щих собой равные квадраты.

Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней, 

каждая из которых – параллелограмм.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боко
вые грани – прямоугольники.

Раздел 1. Введение в стереометрию

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого 

все грани – прямоугольники (рис. 1.1). 

Теорема 1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной 

точке и делятся ею пополам.

Теорема 2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепи
педа равен сумме квадратов трех его измерений: 

d2 = a2 + b2 + c2.

a

b

c
d

а

b

c
d

Рис. 1.1

Призма – это многогранник, у которого две грани – равные 

n-угольники, а остальные n-грани – параллелограммы.

Наклонная призма (рис. 1.2, а) – призма, у которой основания 

равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, боковые грани – параллелограммы. Боковые ребра у наклонной призмы 
равны и параллельны, диагональное сечение – параллелограмм.

Прямая призма (рис. 1.2, б) – призма, у которой боковые гра
ни – прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны основаниям, высота равна боковому ребру.

Правильная призма (рис. 1.2, в) – призма, у которой боковые 

грани – прямоугольники, а основания – правильные n-угольники. 
Является прямой призмой, диагональное сечение – прямоугольник. 

а
б
в

Рис. 1.2

Практическое занятие № 1

Пирамида – многогранник, у которого одна грань – n-угольник, 

а остальные n-грани – треугольники с общей вершиной.

Элементы пирамиды: основание, вершина, боковые грани, 

ребра основания, боковые ребра.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, 

проведенная из вершины к ребру основания.

Правильная пирамида (рис. 1.3, а) – пирамида, основанием 

которой является правильный n-угольник, а все боковые ребра 
равны между собой. Диагональным сечением является равнобедренный треугольник.

Тетраэдр (рис. 1.3, б) – треугольная пирамида, у которой все 

грани – равные правильные треугольники.

Усеченная пирамида (рис. 1.3, в) – часть пирамиды, заклю
ченная между основанием и сечением, параллельным основанию. 

а  
    б 
      в 

Рис. 1.3

Задачи

Задача 1. Призма имеет 22 грани. Какой многоугольник ле
жит в ее основании?

Решение.
В основании призмы лежит (n – 2)-угольник. 22 – 2 = 20.
Ответ: 20-угольник.

Задача 2. У пирамиды 20 ребер. Сколько у нее граней?
Решение.
Число всех ребер пирамиды – это сумма боковых ребер и 

ребер основания. Число боковых ребер равно числу ребер основания, значит 20 : 2 = 10. Следовательно, в основании лежит 
10-угольник. Число боковых граней пирамиды равно 10, а число 
всех граней равно 10 + 1 = 11.

Ответ: 11.

Раздел 1. Введение в стереометрию

Задача 3. АВСDA1B1C1D1 – куб, F – середина ребра АВ

(рис. 1.4, а). Длина пространственной ломаной A1FDС1А1 равна

5
2 2

 см. Найти длину ребра куба.

Решение.
Найдем длину ломаной L (рис. 1.4, б)

L = A1C1 + C1D + DF + FA1, 

A1C1 = C1D и FA1 = DF, 

значит

L = 2A1C1 + 2FA1, 

2A1C1 + 2FA1 = 5
2 2

 (см),

FA1 + A1C1= 
5
2
2 
(см).
(1)

Пусть ребро куба равно а. Тогда A1C1 = 
2
а
 см (как диагональ 

квадрата).

Найдем FA1.

FA = 2
а  см, по теореме Пифагора из ∆АА1F: 




2
2
2
2
2
2
1
1
1

5
5
  
  
  
;
см .
4
4
2
а
а
а
FA
АА
FA
а
FA







а
A

B

D

C

C1
B1
A1
D1

F

А
D

C
B

B1

A1
D1

C1

F

б

A1

A1

В1

В1
С1

С1
В1
В
С

A
D

D1

D1
A1

F

Рис. 1.4

Подставив значения А1С1 и FА1 в уравнение (1), получим: 

5
5
2 
2;
2
2

а
а




5
5
2 
2,
2
2
а 











откуда находим а = 1 см.

Ответ: 1 см.

Практическое занятие № 1

Задача 4. АВСA1B1C1 – прямая при
зма, в основании лежит прямоугольный 
треугольник ∠С = 90° (рис. 1.5). Площади граней АА1С1С и СС1В1В равны 150 и 
80 см2 соответственно. Боковое ребро призмы равно 10 см. Найти площадь боковой 
поверхности призмы.

Решение.
Так как АВСA1B1C1 – прямая призма, 

то боковые грани являются прямоугольниками.

Следовательно, 

SАА1С1С = АА1 ∙ АС, 



150
 
1 5 см ;
10
АС 


SСС1В1В = СВ ∙ СС1, 



80
 
 
 8 см . 
10
СВ 


∆АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора найдем АВ:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 225 + 64 = 289; 

АВ = 17 см.

SАА1В1В = АА1 ∙ АВ = 10 ∙ 17 = 170 (см2),

Sбок = SАА1С1С + SСС1В1В + SАА1В1В = 150 + 80 + 170 = 400 (см2).

Ответ: 400 см2. 

Контрольные вопросы

1. Какой многогранник (выпуклый или невыпуклый) можно поставить на плоскость каждой его гранью?
2. Какой многогранник называют параллелепипедом?
3. Какой четырехугольник лежит в основании параллелепипеда? 
4. Какие грани имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) прямой 
параллелепипед?
5. Какой многогранник называют призмой? 
6. Какой n-угольник лежит в основании правильной четырехугольной 
призмы?
7. Чем отличаются прямая и правильная призмы?
8. Является ли правильная четырехугольная призма параллелепи-  
пе дом?

Рис. 1.5

A
В

С

A1

С1

В1

Раздел 1. Введение в стереометрию

9. Чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной 
треугольной призмы?
10. Какими свойствами обладает правильная пирамида?
11. Какой из многогранников имеет только четыре грани?
12. На сколько больше ребер у четырехугольной призмы, чем у 
четырехугольной пирамиды?
13. Чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильного 
тетраэдра?

Индивидуальные задания

Вариант 1

1. В n-угольной призме 102 ребра. Найдите число n. 
2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в ко
тором AD = 
2  см, CD = 7  см, СС1 = 3 см. Найдите периметр 

∆ВС1D.

3. АВСA1B1C1 – прямая призма, в основании лежит прямо
угольный треугольник (∠В = 90°) с катетами 5 и 12 см. ВB1C1С – 
квадрат. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Вариант 2

1. В n-угольной пирамиде 52 грани. Найдите число n.
2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в ко
тором AD = 2  см, CD = 2 3 см, DD1 = 6 см. Найдите периметр 
∆АВ1С.

3. АВСA1B1C1 – прямая призма, в основании лежит прямо
угольный треугольник (∠С = 90°) с катетами 6 и 8 см. АВB1А1 – 
квадрат. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Вариант 3

1. У призмы 19 граней. Сколько у нее ребер?
2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в ко
тором ВС = 5 см, АВ = 7 см, ВВ1 = 2 5 см. Найдите периметр 
∆А1С1D.

3. АВСDA1B1C1D1 – прямая призма, АВСD – ромб с острым 

углом 30°. Периметр основания равен 36 см. DD1C1С – квадрат. 
Найдите площадь полной поверхности призмы.

Вариант 4

1. У пирамиды 8 граней. Определите, сколько у нее ребер.
2. Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром 1 см. Найдите периметр 

четырехугольника АB1C1D.

Практическое занятие № 1

3. АВСDA1B1C1D1 – параллелепипед, все грани – равные ром
бы, с острым углом 60°. Площадь полной поверхности параллелепипеда 48 3 см2. Найдите ребро параллелепипеда.

Вариант 5

1. Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром 1 см. Найдите периметр 

четырехугольника DСB1А1.

2. АВСA1B1C1 – правильная призма. Площадь основания рав
на 16 3 см2, ВB1C1С – квадрат. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3. Дана правильная четырехугольная призма, D1M ┴ A1D, A1M = 

= 9 см, MD = 16 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Вариант 6

1. АВСDA1B1C1D1 – куб. Длина пространственной ломаной 

A1D1DСB1АА1 равна 4 см. Найдите длину ребра куба.

2. АВСA1B1C1 – прямая призма, ∆АВС – прямоугольный, 

∠В = 90°. Площадь основания равна 24 см2. ВB1C1С – квадрат, 
АВ = 8 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. Дана правильная четырехугольная призма, С1К ┴ ⊥D1С, 

С1К = 24 см, СК = 32 см. Найдите площадь полной поверхности 
призмы.

Вариант 7

1. АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, осно
вание которого – квадрат со стороной 6 см. Вычислите длину 
пространственной ломаной AА1ВB1СА, если длина бокового ребра 
параллелепипеда равна 8 см.

2. DABC – тетраэдр, у которого все боковые ребра равны 

по 5 см. AB = AC = 8 см, ВС = 6 см. Найдите площадь боковой 
поверхности тетраэдра.

3. ABCA1B1C1 – прямая призма. Около основания призмы 

описана окружность. АС1 = 13 см, АВ = 4 см, ВС = 3 см. Найдите 
площадь полной поверхности призмы.

Вариант 8

1. АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в ос
новании которого лежит квадрат со стороной 3 см. Вычислите 
длину пространственной ломаной AD1B1СА, если длина бокового 
ребра параллелепипеда равна 4 см.

2. SABCD – правильная пирамида, ∆ASC – прямоугольный, 

∠S = 90°, AS = 10 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Раздел 1. Введение в стереометрию

3. ABCA1B1C1 – прямая призма, площадь основания которой 

равна 54 см2. В основание призмы вписана окружность, радиус 
которой равен 3 см, АА1 = 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 

Вариант 9

1. АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, AD = 

= СС1, ∠С1DC = 45°. Площадь полной поверхности призмы равна 
216 см2. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

2. TABCD – правильная четырехугольная пирамида, длина 

бокового ребра которой равна 8 см. Точка K – середина ребра 
TC. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если 
DK = 6 см.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

служит квадрат. Длина диагонали боковой грани параллелепипеда 
равна 13 см, радиус окружности, вписанной в треугольник 
DAA1, равен 2 см. Вычислите площадь боковой поверхности 
параллелепипеда.

Вариант 10

1. АВСA1B1C1 – прямая призма, АВ = 10 см, А1С1 = 26 см, В1С1 =

= 24 см. Площадь полной поверхности призмы равна 900 см2. 
Найдите боковое ребро призмы.

2. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра 

которой равны между собой. Точки T и F – середины ребер SA
и SC соответственно. Вычислите площадь боковой поверхности 
пирамиды, если площадь ∆DTF равна 8 5 см2.

3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, осно
вание которого – квадрат. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 672 см2, а радиус окружности, вписанной 
в ∆DD1C, равен 3 см. Вычислите длины ребер параллелепипеда.

Практическое занятие № 2 

Построение сечений многогранников 

плоскостью

Цель: сформировать представление о взаимном расположе
нии точек, прямых и плоскостей в пространстве; сформировать 
умение применять аксиомы и их следствия для построения сечений многогранника плоскостью.