Высшая математика. Краткий курс

Каменистые тропы науки – это горы литературы,
уступы книг, которые нужно прочесть, усвоить.
Но книги – это путеводитель, по которому можно
ориентироваться на дорогах науки.
А.Я. Яншин, академик

А.Р. Лакерник
ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА
КРАТКИЙКУРС
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
по образованию в области телекоммуникаций
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
дипломированных специалистов «Телекоммуникации»
Москва y Логос y 2011
2020

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я.73
       Л19
Ñåðèÿ îñíîâàíà â 2003 ãîäó
Р е ц е н з е н т ы
Л.М. Баскин, доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей математики
Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий
им. профессора М.А. Бонч-Бруевича
В.Г. Данилов, доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой математического анализа
Московского технического университета связи и информатики
Лакерник А.Р.
Л19
Высшая математика. Краткий курс: учеб. пособие / А.Р. Лакерник. – М.: Логос, 2011. – 528 с. – (Новая университетская библиотека).
ник. – М.: Логос, 2020. – 528 с. – (Новая университетская библиотека).
ISBN 978-5-98704-523-7
В полном объеме изложен курс математического анализа и высшей математики, изучаемый в вузах по направлениям (специальностям) техники
и технологии, включая теорию пределов, непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теорию функций комплексного переменного и операционное
исчисление. Изложение построено по модульному принципу, позволяющему
варьировать объем и сложность освещения отдельных разделов с учетом задач
подготовки специалистов и уровня знаний студентов. Методической основой
учебного пособия является многолетний опыт преподавания математики в Московском техническом университете связи и информатики.
Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по
направлению «Телекоммуникации». Может использоваться при подготовке кадров по широкому кругу направлений и специальностей в области техники
и технологии, естественных наук и прикладной математики.
УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я.73
ISBN 978-5-98704-523-7
© Лакерник А.Р., 2011
© Логос, 2011
© Лакерник А.Р., 2020
© Логос, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ
3.1. Непрерывность функции в точке ................................................... 43
3.2. Классификация точек разрыва ....................................................... 47
3.3. Непрерывность функции на множестве ........................................ 49
3.4. Равномерная непрерывность функции ......................................... 52
1.1. Определение действительного числа ............................................. 13
1.2. Ограниченные множества действительных чисел ........................ 16
1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона ................................ 18
1.4. Функции ............................................................................................ 20
4.1. Определение, физический и геометрический смысл
производной ............................................................................................ 55
4.2. Вычисление производной функции................................................ 57
4.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал ............................. 64
4.4. Производные и дифференциалы высших порядков ...................... 68
4.5. Функции, заданные параметрически, и их производные ............. 71
5.1. Теоремы о среднем .......................................................................... 74
2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ....... 21
2.1. Определение предела последовательности и
предела функции..................................................................................... 21
2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и
их свойства .............................................................................................. 27
2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми.
Основные теоремы о пределах ............................................................. 30
2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и
функций ................................................................................................... 34
2.5. Некоторые замечательные пределы .............................................. 38
2.6. Сравнение бесконечно малых ........................................................ 43
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ .......................................................... 43
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ..................................................... 55
I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ................. 13
1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ .................................... 13
4. ПРОИЗВОДНАЯ ..................................................................................... 55
5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЯХ .......................................................................................... 74
Предисловие................................................................................................. 11
Условные обозначения ............................................................................... 12

8.1. Комплексные числа ....................................................................... 126
8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ..................... 129
8.3. Показательная форма комплексного числа ............................... 130
8.4. Многочлены ................................................................................... 131
8.5. Рациональные функции ................................................................ 136
5.2. Правило Лопиталя ........................................................................... 78
5.3. Формула Тейлора ............................................................................. 86
6.1. Возрастание и убывание функций .................................................. 98
6.2. Экстремумы функции .................................................................... 100
6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке ...................................................................... 106
6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба ..................................................................................... 107
6.5. Асимптоты графика функции ....................................................... 111
6.6. Примерная схема общего исследования функции
и построения ее графика...................................................................... 114
7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента ......... 117
7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента ................... 119
7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента .... 121
7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента ......... 121
8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ
И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ......................................................... 126
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................... 142
9.1. Понятие неопределенного интеграла ......................................... 142
9.2. Свойства неопределенного интеграла ......................................... 143
9.3. Таблица основных интегралов ..................................................... 144
9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле ..................... 148
9.5. Интегрирование по частям ........................................................... 150
9.6. Интегрирование рациональных дробей ...................................... 153
9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций............ 156
9.8. Интегрирование тригонометрических функций ........................ 159
9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
при помощи тригонометрических подстановок ............................... 162
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................................................ 165
10.1. Понятие определенного интеграла............................................ 165
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................ 98
7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА .............. 117
III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ................................................... 126
6

10.2. Свойства определенного интеграла ........................................... 167
10.3. Существование определенного интеграла ................................ 170
10.4. Вычисление определенного интеграла ...................................... 173
10.5. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле .................................................................. 175
10.6. Вычисление площадей плоских фигур ....................................... 177
10.7. Длина дуги плоской кривой......................................................... 182
10.8. Вычисление объемов тел ............................................................. 185
11.1. Определение несобственного интеграла ................................... 188
11.2. Геометрический смысл, свойства
и вычисление несобственных интегралов ......................................... 189
11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций ...... 192
11.4. Несобственные интегралы от функций
произвольного знака ............................................................................ 195
11.5. Главное значение несобственного интеграла ........................... 200
12.1. Многомерные пространства ....................................................... 201
12.2. Определение, предел и непрерывность функции
нескольких переменных ...................................................................... 204
12.3. Частные производные. Дифференциал функции ...................... 207
12.4. Производные сложной функции ................................................ 213
12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков ... 220
12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных........ 226
12.7. Экстремумы функции нескольких переменных ....................... 230
12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ................... 237
12.9. Производная по направлению. Градиент ................................... 240
13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра .................. 244
13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .............. 246
13.3. Свойства несобственных интегралов,
зависящих от параметра ...................................................................... 248
13.4. Гамма-функция ............................................................................ 252
11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................................... 188
IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ................................. 201
12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................ 201
13. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА............................. 244
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .......................................... 258
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА .... 258
14.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным
уравнениям ........................................................................................... 258

16.1. Свойства сходящихся рядов ........................................................ 311
16.2. Ряды с неотрицательными членами .......................................... 314
16.3. Ряды с членами произвольного знака ........................................ 320
17.1. Область сходимости функционального ряда ............................ 325
17.2. Равномерная сходимость функционального ряда .................... 326
17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов .................................. 328
17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда ......... 332
17.5. Равномерная сходимость степенного ряда ............................... 336
17.6. Разложение функций в степенные ряды .................................... 340
17.7.  Применение разложений в степенные ряды
для решения дифференциальных уравнений .................................... 347
14.2. Дифференциальные уравнения произвольного
и первого порядков .............................................................................. 260
14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений
первого порядка и методы их решений .............................................. 262
14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков ................... 277
14.5. Уравнения, допускающие понижение порядка......................... 280
15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения ........... 283
15.2. Линейная зависимость и независимость функций.................... 284
15.3. Структура общего решения линейного
однородного уравнения ....................................................................... 288
15.4. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами....................................................... 290
15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков .......... 298
15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида ..................... 300
15.7. Метод вариации произвольных постоянных ............................. 307
16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................................. 311
17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................................... 325
18. РЯДЫ ФУРЬЕ ....................................................................................... 354
18.1. Ортогональные и ортонормированные системы
функций ................................................................................................. 354
18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной
системе функций. Тригонометрический ряд Фурье
для функций с периодом 2π ................................................................. 356
18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции
с произвольным периодом 2l. Ряд Фурье в комплексной форме ..... 363
15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ........................................................................... 283
VI. ÐßÄÛ................................................................................................... 311
8