Высшая математика. Краткий курс


    Новая
    Университетская Библиотека

А.Р. ЛАКЕРНИК

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ КУРС

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

                                 Новая Университетская Библиотека

                 Каменистые тропы науки — это горы литературы, уступы книг, которые нужно прочесть, усвоить. Но книги — это путеводитель, по которому можно ориентироваться на дорогах науки.
А.Я. Яншин, академик

А.Р. Лакерник









ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ КУРС

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов «Телекоммуникации»










Москва • Логос • 2020

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1Я.73
    Л19

Серия основана в 2003 году

Р е ц е н з е н т ы

Л.М. Баскин, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий им. профессора М.А. Бонч-Бруевича
В.Г. Данилов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа
            Московского технического университета связи и информатики


     Лакерник А.Р.
Л19 Высшая математика. Краткий курс: учеб. пособие / А.Р. Лакерник. — М.: Логос, 2020. — 528 с. — (Новая университетская библиотека).
          ISBN 978-5-98704-523-7



          В полном объеме изложен курс математического анализа и высшей математики, изучаемый в вузах по направлениям (специальностям) техники и технологии, включая теорию пределов, непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теорию функций комплексного переменного и операционное исчисление. Изложение построено по модульному принципу, позволяющему варьировать объем и сложность освещения отдельных разделов с учетом задач подготовки специалистов и уровня знаний студентов. Методической основой учебного пособия является многолетний опыт преподавания математики в Московском техническом университете связи и информатики.
          Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению «Телекоммуникации». Может использоваться при подготовке кадров по широкому кругу направлений и специальностей в области техники и технологии, естественных наук и прикладной математики.
УДК 51 (075.8)
                                                               ББК 22.1я.73








ISBN 978-5-98704-523-7

© Лакерник А.Р., 2020
                                   © Логос, 2020

        ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие................................................11
Условные обозначения.......................................12

I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ................. 13
1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ..........................13
   1.1. Определение действительного числа..................13
   1.2. Ограниченные множества действительных чисел........16
   1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона..............18
   1.4. Функции............................................20

2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .............21
   2.1. Определение предела последовательности и предела функции.....................................21
   2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и их свойства.........................................27
   2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми. Основные теоремы о пределах.............................30
   2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и функций.................................................34
   2.5. Некоторые замечательные пределы ...................38
   2.6. Сравнение бесконечно малых.........................43

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ...................................43
   3.1. Непрерывность функции в точке......................43
   3.2. Классификация точек разрыва........................47
   3.3. Непрерывность функции на множестве.................49
   3.4. Равномерная непрерывность функции..................52

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...............................55
4. ПРОИЗВОДНАЯ.........................................55
   4.1. Определение, физический и геометрический смысл производной.............................................55
   4.2. Вычисление производной функции.....................57
   4.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал.............64
   4.4. Производные и дифференциалы высших порядков........68
   4.5. Функции, заданные параметрически, и их производные.71

5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ..............................................74
   5.1. Теоремы о среднем..................................74


5

   5.2. Правило Лопиталя................................78
   5.3. Формула Тейлора.................................86

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.................................98
   6.1. Возрастание и убывание функций..................98
   6.2. Экстремумы функции............................ 100
   6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке............................. 106
   6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба..................................... 107
   6.5. Асимптоты графика функции..................... 111
   6.6. Примерная схема общего исследования функции и построения ее графика............................ 114

7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА.................. 117
   7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента. 117
   7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента. 119
   7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента .... 121
   7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента. 121

III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.............................. 126
8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ................................ 126
   8.1. Комплексные числа............................. 126
   8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа... 129
   8.3. Показательная форма комплексного числа........ 130
   8.4. Многочлены.................................... 131
   8.5. Рациональные функции.......................... 136

9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................ 142
   9.1. Понятие неопределенного интеграла............. 142
   9.2. Свойства неопределенного интеграла............ 143
   9.3. Таблица основных интегралов................... 144
   9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле.. 148
   9.5. Интегрирование по частям...................... 150
   9.6. Интегрирование рациональных дробей............ 153
   9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций.... 156
   9.8. Интегрирование тригонометрических функций..... 159
   9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений при помощи тригонометрических подстановок.......... 162

10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................. 165
   10.1. Понятие определенного интеграла.............. 165


6

   10.2. Свойства определенного интеграла............... 167
   10.3. Существование определенного интеграла.......... 170
   10.4. Вычисление определенного интеграла............. 173
   10.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле............................. 175
   10.6. Вычисление площадей плоских фигур.............. 177
   10.7. Длина дуги плоской кривой...................... 182
   10.8. Вычисление объемов тел......................... 185

11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ............................. 188
   11.1. Определение несобственного интеграла........... 188
   11.2. Геометрический смысл, свойства и вычисление несобственных интегралов................ 189
   11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. 192
   11.4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака.................................. 195
   11.5. Главное значение несобственного интеграла.......200

IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА........................201
12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ........................201
   12.1. Многомерные пространства........................201
   12.2. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных.................................204
   12.3. Частные производные. Дифференциал функции.......207
   12.4. Производные сложной функции.....................213
   12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков ... 220
   12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных..226
   12.7. Экстремумы функции нескольких переменных........230
   12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...237
   12.9. Производная по направлению. Градиент............240

13. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА....................244
   13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра...244
   13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.246
   13.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра................................248
   13.4. Гамма-функция...................................252

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ............................258
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА .... 258
   14.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям............................................258

7

   14.2. Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядков ................................260
   14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений................262
   14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков...277
   14.5. Уравнения, допускающие понижение порядка.....280

15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.......................................283
   15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения.....283
   15.2. Линейная зависимость и независимость функций.284
   15.3. Структура общего решения линейного однородного уравнения..............................288
   15.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.......................290
   15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков....298
   15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида...300
   15.7. Метод вариации произвольных постоянных.......307

VI. РЯДЫ..............................................311
16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.....................................311
   16.1. Свойства сходящихся рядов....................311
   16.2. Ряды с неотрицательными членами..............314
   16.3. Ряды с членами произвольного знака...........320

17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ...............................325
   17.1. Область сходимости функционального ряда......325
   17.2. Равномерная сходимость функционального ряда..326
   17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.........328
   17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.332
   17.5. Равномерная сходимость степенного ряда.......336
   17.6. Разложение функций в степенные ряды..........340
   17.7. Применение разложений в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений.............347

18. РЯДЫ ФУРЬЕ........................................354
   18.1. Ортогональные и ортонормированные системы функций............................................354
   18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2п..........................356
   18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции
   с произвольным периодом 2/. Ряд Фурье в комплексной форме 363


8

   18.4. Средняя квадратичная погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье..........................366
   18.5. Интеграл Фурье..................................368

VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ..............................................375
19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ....................................375
   19.1. Определение и свойства двойного интеграла.......375
   19.2. Вычисление двойного интеграла...................380
   19.3. Определение и свойства тройного интеграла.......385
   19.4. Вычисление тройного интеграла...................388
   19.5. Замена переменных в двойном интеграле...........392
   19.6. Двойной интеграл в полярных координатах.........396
   19.7. Замена переменных в тройном интеграле ..........399

20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..............................404
   20.1. Криволинейный интеграл первого рода.............404
   20.2. Криволинейный интеграл второго рода.............406
   20.3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования.............412

21. ТЕОРИЯ ПОЛЯ..........................................417
   21.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.417
   21.2. Векторное поле. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля вдоль кривой.............419
   21.3. Поверхностный интеграл первого и второго рода...421
   21.4. Формула Гаусса-Остроградского...................428
   21.5. Формулы Грина и Стокса..........................432
   21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка...440
   21.7. Специальные векторные поля......................442

VIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ....................446
22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...................................................446
   22.1. Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного..............................446
   22.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного...........................................450
   22.3. Производная функции комплексного переменного....454
   22.4. Интеграл от функции комплексного переменного....457
   22.5. Интегральная теорема Коши.......................463
   22.6. Интегральная формула Коши.......................466
   22.7. Краткие сведения о рядах с комплексными членами.473

9

   22.8. Ряд Тейлора....................................475
   22.9. Ряд Лорана.....................................478
   22.10. Классификация изолированных особых точек......485
   22.11. Вычеты и их нахождение........................489
   22.12. Основная теорема о вычетах....................492
   22.13. Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного...............494

23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.....................501
   23.1. Оригинал и его изображение.....................501
   23.2. Свойства преобразования Лапласа................506
   23.3. Нахождение оригиналов по изображениям..........514
   23.4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.........................518
   23.5. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений различных функций..........521


10

        ПРЕДИСЛОВИЕ


    Данный курс основан на лекциях, читаемых автором студентам Московского технического университета связи и информатики.
    Зачем нужен такой курс? Ведь его материал содержится во многих других учебниках. Дело в том, что автор поставил себе цель кратко, но вместе с тем максимально строго изложить такие сложные основополагающие разделы, как предел последовательности и функции, непрерывность функции, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, функции нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теория поля, элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление. В учебниках для технических вузов этот материал либо дается излишне упрощенно, без части сведений и доказательств, а это противоречит самой сути математики как предмета, либо занимает очень большой объем, что отпугивает основную массу студентов. Если исходить только из лекций, то студентам трудно воспринимать упомянутый материал без наличия соответствующей учебной литературы в силу сложности тем и наличия только небольшого времени для их изложения.
    Почти все теоремы в курсе приводятся с доказательствами. В первой главе теоремы о пределах последовательностей и функций изложены параллельно, что, по мнению автора, способствует лучшему пониманию материала. Даются необходимые предварительные сведения: аксиоматика действительных чисел, метод математической индукции, элементы комбинаторики, бином Ньютона. Весь материал соответствует примерно 140 часам лекционного времени.

11

        УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ


    ▲ — означает начало доказательства теоремы.
    ■ — конец доказательства теоремы.
    а ^ b - «из предложения а следует предложение b».
    а ^ b - «предложения а и b равносильны: из а следует b и из b следует а».
    V — означает «для любого», «для всякого»-.
    3 — «существует»-, «найдется»-.
    : — «такое, что».
    AиB (или A + B) — объединение (сумма множеств), т.е. множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B.
    An B (или A -B) — пересечение (произведение множеств), т.е. множество элементов, принадлежащих A и B одновременно.
    A \ B (или A —B) — разность множеств, т.е. множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B.
    х е X — элемент х, принадлежащий множеству X.
    х t X — элемент х, не принадлежащий множеству X
    0 — пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; все остальные множества — непустые.
    В круглые скобки заключается утверждение, вытекающее из предыдущих условий, т.е. при этих условиях верно утверждение в круглых скобках.
    Запись A = {а, b, c,...} означает, что множество A состоит из элементов а, b, c, ...
    Последовательность ап , n = 1, 2, 3 будет обозначаться как {ап }.
    Факториал числа: n! = 1-2-3-...-n, 0! = 1.
                 n
    Сумма чисел Xак = а1 + а2 +... + un.
                 к=1

12