Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практический курс

ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ
ÓÐÀÂÍÅÍÈß

À.Â.ÏÀÍÒÅËÅÅÂ
À.Ñ. ßÊÈÌÎÂÀ
Ê.À. ÐÛÁÀÊÎÂ

Ìîñêâà
Ëîãîñ

2020

ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÓÐÑ

Äîïóùåíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì ïî îáðàçîâàíèþ
â îáëàñòè ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è óïðàâëåíèÿ êà÷åñòâîì
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ïîäãîòîâêè «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà»
ñïåöèàëüíîñòè «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà»

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 00.00.00. Ôîðìàò 60õ90/16.
Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷.ë. 24.
Òèðàæ 1000 ýêç. Çàêàç ¹

Ëèòåðàòóðíîå àãåíòñòâî «Óíèâåðñèòåòñêàÿ êíèãà»
105120, ã. Ìîñêâà, óë. Íèæ. Ñûðîìÿòíè÷åñêàÿ, ä. 5/7, ñòð. 8

Ïî âîïðîñàì ïðèîáðåòåíèÿ ëèòåðàòóðû îáðàùàòüñÿ ïî àäðåñó:
111024, ã. Ìîñêâà, óë. Àâèàìîòîðíàÿ, ä. 55, êîðï. 31
Ýëåêòðîííàÿ ïî÷òà: universitas@mail.ru
Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ íà ñàéòå http://www.logosbook.ru

Ð å ö å í ç å í ò û

Êàôåäðà «Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà» Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
ãîðíîãî óíèâåðñèòåòà (çàâ. êàôåäðîé äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîð Ñ.À. Ðåäêîçóáîâ)
Â.Ô. Ôîðìàëåâ, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð,
çàñëóæåííûé äåÿòåëü íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
(Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò)

ÓÄÊ 517.9
ÁÁÊ 22.161.5
        Ï16

Ï16

Ïàíòåëååâ À.Â.
Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïðàêòè÷åñêèé êóðñ: ó÷åá. ïîñîáèå ñ ìóëüòèìåäèà ñîïðîâîæäåíèåì /
À.Â. Ïàíòåëååâ, À.Ñ. ßêèìîâà, Ê.À. Ðûáàêîâ – Ì.: 2020. –
384 ñ.: èë. (Íîâàÿ óíèâåðñèòåòñêàÿ áèáëèîòåêà).

ISBN 978-5-98704-465-0

ÓÄÊ 517.9
ÁÁÊ 22.161.5

ISBN 978-5-98704-465-0
© À.Â. Ïàíòåëååâ, À.Ñ. ßêèìîâà,
Ê.À. Ðûáàêîâ, 2020
© Ëîãîñ, 2020

Ñåðèÿ îñíîâàíà â 2003 ãîäó

Èçëîæåíû àíàëèòè÷åñêèå è ïðèáëèæåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðèìåíåíèå êàæäîãî ìåòîäà ïðîäåìîíñòðèðîâàíî íà ðåøåíèè òèïîâûõ è íåòèïîâûõ ïðèìåðîâ,
îõâàòûâàþùèõ ðàçëè÷íûå ïðèëîæåíèÿ ê çàäà÷àì ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè, ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî ñïåöèôèêå ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèçà âûõîäíûõ ïðîöåññîâ è óñòîé÷èâîñòè îäíî- è ìíîãîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, èññëåäóåìûõ â òåîðèè óïðàâëåíèÿ.
Äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, ïîëó÷àþùèõ îáðàçîâàíèå ïî íàïðàâëåíèþ (ñïåöèàëüíîñòè) «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà», à òàêæå ïî íàïðàâëåíèÿì (ñïåöèàëüíîñòÿì) åñòåñòâåííûõ íàóê, òåõíèêè è òåõíîëîãèè, èíôîðìàòèêè è ýêîíîìèêè íà êâàëèôèêàöèþ ñïåöèàëèñòà, ñòåïåíè áàêàëàâðà è ìàãèñòðà.

Ó÷åáíîå èçäàíèå

À.Â. Ïàíòåëååâ, À.Ñ. ßêèìîâà, Ê.À. Ðûáàêîâ

Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

Ïðàêòè÷åñêèé êóðñ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåäàêòîð Å.Â. Êîìàðîâà
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà À.Â. Ïàíòåëååâà
Îôîðìëåíèå È.Â. Êðàâ÷åíêî

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Общие теоретические положения . . . . . . . . . . . .
15

1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.1.1. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . .
15

1.1.2. Системы дифференциальных уравнений
. . . . . . .
22

1.2. Основные понятия, связанные с исследованием и решением

дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.2.1. Интегрирование обыкновенных дифференциальных

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.2.2. Сведение дифференциального уравнения высшего

порядка к системе дифференциальных уравнений . .
27

1.2.3. Поле направлений. Приближенное решение

уравнений методом изоклин
. . . . . . . . . . . . . .
28

1.2.4. Свойства решений линейных дифференциальных

уравнений и систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

1.2.5. Анализ выходных процессов
. . . . . . . . . . . . . .
32

1.2.6. Анализ устойчивости
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка . .
40

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
. . . . . . . .
40

2.1.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям

с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . .
45

2.2. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

2.2.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

2.2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным . . . . . . .
53

2.3. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Оглавление

2.3.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

2.3.2. Уравнения, приводящиеся к линейным
. . . . . . . .
62

2.4. Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

2.4.1. Случаи интегрируемости уравнения Риккати . . . . .
67

2.4.2. Метод вспомогательных переменных
. . . . . . . . .
75

2.5. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . .
77

2.5.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

2.5.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных

дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

2.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной . .
97

2.6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

2.6.2. Уравнения первого порядка n-й степени . . . . . . . .
99

2.6.3. Неполные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

2.6.4. Полные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

2.7. Уравнения высшего порядка, приводящиеся к уравнениям

первого порядка. Понижение порядка дифференциальных

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

2.8. Простейшие краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего

порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1.1. Линейные однородные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

3.2. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

3.3. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

3.4. Анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164

3.5. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . .
167

3.5.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

Оглавление
5

3.5.2. Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с переменными коэффициентами . . . . . . .
178

Глава 4. Системы линейных уравнений с постоянными

коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

4.1. Методы нахождения и исследования общего решения

однородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

4.1.1. Метод приведения системы линейных уравнений

к одному уравнению высшего порядка . . . . . . . . .
187

4.1.2. Метод сведения решения системы к задаче отыскания

собственных значений и собственных векторов

матрицы системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

4.1.3. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . .
203

4.2. Методы нахождения общего решения неоднородных систем
212

4.2.1. Метод приведения системы линейных уравнений

к одному уравнению высшего порядка . . . . . . . . .
212

4.2.2. Метод вариации произвольных постоянных . . . . . .
218

4.2.3. Метод подбора частного решения
. . . . . . . . . . .
223

4.3. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234

4.4. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

4.5. Анализ устойчивости линейных многомерных

стационарных динамических систем . . . . . . . . . . . . .
243

Глава 5. Применение операционного исчисления . . . . . . . .
248

5.1. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.1.1. Основные определения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.1.2. Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . .
252

5.1.3. Нахождение изображения по оригиналу . . . . . . . .
259

5.1.4. Нахождение оригинала по изображению
. . . . . . .
269

5.2. Применение преобразования Лапласа
. . . . . . . . . . . .
275

5.2.1. Решение линейных дифференциальных уравнений

и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

5.2.2. Применение передаточных функций для анализа

выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292

Оглавление

Глава 6. Анализ поведения динамических систем на фазовой

плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303

6.1. Динамические системы и их исследование в фазовом

пространстве. Основные положения
. . . . . . . . . . . . .
303

6.2. Анализ поведения линейных динамических систем второго

порядка на фазовой плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . .
306

6.3. Анализ поведения нелинейных автономных динамических

систем второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318

Глава 7. Приближенно-аналитические методы решения

дифференциальных уравнений и систем . . . . . . .
335

7.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью

степенных рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335

7.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335

7.1.2. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . .
337

7.1.3. Метод последовательного дифференцирования . . . .
347

7.2. Метод последовательных приближений
. . . . . . . . . . .
354

7.3. Спектральный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362

7.4. Метод Чаплыгина
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372

7.5. Метод Ньютона–Канторовича . . . . . . . . . . . . . . . . .
376

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380

Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения являются одним из основных разделов
математики, наиболее широко используемых при решении практических
задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических
процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается
непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости
между теми же величинами и их производными или дифференциалами.
Соотношения такого рода называются дифференциальными уравнениями.
Решение задачи исследования физического явления можно разделить
на два этапа:
1) составление дифференциального уравнения, которое при определенных предположениях описывает сущность рассматриваемого явления;
2) нахождение решения дифференциального уравнения, т.е. функциональной зависимости между величинами, характеризующими исследуемое
физическое явление.
Возможности и правила составления дифференциальных уравнений
определяются знанием законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться
законы Ньютона, в теории электрических цепей — законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций — законы действия масс и т.д. Однако
на практике часто случается, что законы, которые могли бы позволить составить дифференциальное уравнение, неизвестны. Тогда прибегают к различным упрощающим предположениям, касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров-переменных. К дифференциальным
уравнениям в таком случае приводит предельный переход. Вопрос соответствия математической модели и реального явления решается на основе
анализа результатов опытов и сравнения их с поведением решения полученного дифференциального уравнения.
Для нахождения решения уравнения применяются аналитические,
приближенно-аналитические и численные методы [16]. Аналитические методы позволяют найти точное решение задачи, но лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений. С помощью приближенноаналитических и численных методов получают приближенные решения,
но для значительно более широкого круга проблем.

Введение

Многочисленные дифференциальные уравнения, встречающиеся на
практике, могут быть разделены на несколько типов, для каждого из которых в настоящее время развита своя теория. В предлагаемом пособии рассматриваются лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, в
которых неизвестная функция зависит только от одной переменной. В противоположность этому в дифференциальных уравнениях с частными
производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных.
Будем обозначать независимую переменную буквой t, неизвестные
функции — x1(t), . . . , xn(t), а производные функции x(t) — x′(t), x′′(t),
. . . , x(m)(t). Также употребляются обозначения

x′(t) = dx

dt ,
x′′(t) = d2x

dt2 ,
. . . ,
x(m)(t) = dmx

dtm .

Физические процессы, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями, весьма разнообразны и часто встречаются в практической
деятельности. Величины, характеризующие такие процессы, как правило,
изменяются с течением времени, поэтому, если не оговаривается особо, будем интерпретировать независимую переменную t как время.
Далее рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих процесс составления дифференциальных уравнений.

Пример В.1. Рассмотрим электрическую схему с заданными сопротивлением R и емкостью C конденсатора (рис. В.1). В начальный момент
времени t0 = 0 конденсатор не заряжен. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения uc(t) на конденсаторе после замыкания ключа при условии действия источника с постоянным напряжением E.

▶ Запишем уравнение второго закона Кирхгофа и начальное условие:

uc(t) + i(t)R = E,
uc(t0) = uc(0) = 0.

Рис. В.1

Используя равенство i(t) = C duc

dt , получаем

RC duc

dt + uc(t) = E,
uc(0) = 0.
(В.1)

Уравнение (В.1) связывает независимую переменную t, искомую функцию uc(t) и ее
первую производную duc

dt . Это дифференциальное уравнение первого порядка. Решение уравнения — искомое изменение напряжения uc(t) на конденсаторе — должно
удовлетворять дифференциальному уравнению (обращать его в тождество)
и начальному условию uc(0) = 0. ◀

Введение
9

Пример В.2. Для схемы (рис. В.2) с известными параметрами R, r
и C составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения uвых(t) от времени при известном законе изменения
входного напряжения uвх(t).

▶ Запишем первый и второй законы Кирхгофа:
⎧
⎨

⎩
ir(t) = ic(t) + iR(t),
ir(t) = uвых(t)

r
,
ic(t) = C duc

dt ,
iR(t) = uc(t)

R ,

uвх(t) = uвых(t) + uc(t).

Отсюда
uвых(t)

r
= C d(uвх(t) − uвых(t))

dt
+ uвх(t) − uвых(t)

R
,

или

RC duвых

dt
+
1 + R

r

uвых(t) = RC duвх

dt + uвх(t).
(В.2)

Рис. В.2

Как и в предыдущем примере, получено
соотношение, в которое входят искомая функция uвых(t) и ее первая производная
duвых

dt .
Уравнение (В.2) является дифференциальным уравнением первого порядка. ◀

Пример В.3. Груз массы m соединен
пружинами с коэффициентом жесткости k
со стенками контейнера, заполненного жидкостью с коэффициентом вязкого трения
(рис. В.3). Требуется получить дифференциальное уравнение, описывающее перемещение груза из положения равновесия (состояние покоя) вдоль
оси 0x, если контейнер движется с ускорением a(t).

▶ Запишем второй закон Ньютона, который в данном случае имеет вид

mx′′(t) = Fин(t) − Fпр(t) − Fтр(t),

где Fин(t) = ma(t) — сила инерции, Fпр(t) = −kx(t) — сила сопротивления
пружины, определяемая законом Гука, Fтр(t) = −x′(t) — сила вязкого
трения. Отсюда
mx′′(t) +
x′(t) + kx(t) = ma(t).
(В.3)

Состоянию покоя, из которого начинается движение груза, соответствуют нулевые начальные условия: x(0) = 0, x′(0) = 0.
Уравнение (В.3) связывает независимую переменную t, искомую функцию x(t), ее первую и вторую производные. Это дифференциальное уравнение второго порядка. При a(t) = 0 имеем уравнение свободных колебаний:

mx′′(t) +
x′(t) + kx(t) = 0.
(В.4)

Введение

Рис. В.3

Если, кроме того, предположить, что
= 0 (вязкое трение отсутствует),
то получим уравнение
mx′′(t) + kx(t) = 0,
(В.5)

описывающее свободные колебания в среде без сопротивления. ◀

Пример В.4. Составить дифференциальное уравнение, описывающее
движение тела массы m, брошенного в момент времени t0 = 0 вертикально
вверх из положения x0 со скоростью v0, под действием силы тяжести.

▶ Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

md2x

dt2 = −mg,

где g — ускорение свободного падения.
Отсюда
d2x
dt2 = −g,
x(0) = 0,
dx
dt

t=0
= v0.
(В.6)

Рис. В.4

Как и (В.5), уравнение (В.6) является дифференциальным уравнением второго порядка. ◀

Пример В.5. Рассмотрим схему (рис. В.4)
с известными параметрами R, L, C и заданным
законом изменения напряжения E(t). В начальный момент ток в цепи отсутствует, а конденсатор не заряжен. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе.

▶ Запишем уравнения второго закона Кирхгофа, которые в данном случае имеют вид

Ldi

dt + i(t)R + uc(t) = E(t),
i(t) = C duc

dt ,
uc(0) = 0,
i(0) = 0.

Отсюда

LC d2uc

dt2 + RC duc

dt + uc(t) = E(t),
uc(0) = 0,
duc
dt

t=0
= 0.
(В.7)