Математика для бакалавров: универсальный курс для студентов гуманитарных направлений

Универсальный курс для студентов гуманитарных направлений

П.В. Грес





                Математика для бакалавров




Универсальный курс для студентов гуманитарных направлений













Москва • 2020 • Логос

УДК 51 (075.8)
ББК 22.11я73

     Г79
Учебное пособие удостоено диплома
Сибирского регионального конкурса «Университетская книга — 2010» в номинации «Лучший совместный проект»




Рецензенты
      А.В. Пожидаев, доктор физико-математических наук, профессор Ю.И. Соловьев, доктор физико-математических наук, профессор
П.Е. Алаев, доктор физико-математических наук
      А.К. Черненко, доктор физико-математических наук, профессор

    Грес П.В.
Г79 Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов гуманитарных направлений: учеб. пособие / П.В. Грес. — Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Логос, 2020. - 288 с.: ил.

      ISBN 978-5-98704-751-4

      Содержит краткий курс математики. Рассмотрены предмет математики, ее методологические проблемы и принципы, а также элементы теории множеств, дискретной математики и математической логики. Представлены важнейшие разделы математического анализа. Изложены математические методы, используемые в рамках теории вероятностей, математической статистики, математического моделирования и принятия решений. Приведены основные определения и методы, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы. В отличие от предыдущих изданий представлены разделы по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии, а также глубже рассмотрены вопросы теории вероятностей и математической статистики. В учебном пособии нашел отражение опыт преподавания математики на гуманитарных специальностях вузов Новосибирска. Изложение материала адаптировано для обучения бакалавров.
      Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям «Философия», «Психология», «Социология», «Юриспруденция», «Политология», «Социальная работа» и др.

УДК 51 (075.8)
ББК 22.11я73


ISBN 978-5-98704-751-4

                   © Грес П.В ., 2020
                   © Логос, 2020

        Оглавление

Предисловие...........................................5
Введение..............................................8
1. Методологические проблемы математики..............13
  1.1. Предмет математики........................... 13
  1.2. Математический язык: особенность, становление и развитие...........................................24
  1.3. Геометрия Евклида - первая естественнонаучная теория ... 31
  1.4. Место и роль математики в современном мире, миро  вой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках... 38
2. Теория множеств...................................45
  2.1. Множества. Операции над множествами...........45
  2.2. Множества и отношения.........................53
3. Элементы дискретной математики ...................63
  3.1. Элементы комбинаторики........................63
  3.2. Элементы теории графов........................67
4. Элементы математической логики....................73
  4.1. Сущность математической логики................73
  4.2. Особенности математической логики.............76
5. Основы линейной алгебры...........................84
  5.1. Определители..................................84
  5.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера....................................87
  5.3. Матрицы.......................................94
6. Основы векторной алгебры.........................108
  6.1. Основные понятия............................ 108
  6.2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компонентам.................110
  6.3. Нелинейные операции над векторами............114
7. Элементы аналитической геометрии.................121
  7.1. Прямая на плоскости..........................121
  7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости... 125
  7.3. Нормальное уравнение прямой..................128
  7.4. Расстояние от точки до прямой............... 130
  7.5. Смешанные задачи на прямую...................131
  7.6. Линии второго порядка........................135
  7.7. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве....................................138

3

8. Введение в математический анализ.................145
  8.1. Понятие функции..............................145
  8.2. Предел функции ............................. 148
9. Дифференциальное исчисление......................152
  9.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования .............................................. 152
  9.2. Приложения производной.........................155
10. Интегральное исчисление.........................161
  10.1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования .. 161
  10.2. Определенный интеграл.......................164
11. Дифференциальныеуравнения ......................167
12. Случайные события...............................171
  12.1. Общие сведения..............................171
  12.2. Событие и вероятность: основные понятия.... 173
  12.3. Определение вероятности.....................175
  12.4. Алгебра событий............................... 178
  12.5. Формулы Байеса и полной вероятности........ 182
  12.6. Схема Бернулли............................. 184
13. Случайные величины .............................190
  13.1. Основные понятия........................... 190
  13.2. Функция распределения.......................193
  13.3. Плотность распределения.....................195
  13.4. Числовые характеристики случайной величины....199
  13.5. Основные законы распределения...............201
14. Основы математической статистики................207
  14.1. Основные понятия математической статистики....207
  14.2. Вариационные ряды и их характеристики.........211
  14.3. Числовые характеристики статистических оценок.215
  14.4. Статистическая проверка гипотез.............219
  14.5. Корреляционно-регрессионный анализ..........228
15. Математическое моделирование и принятие решений...237
  15.1. Математические методы и моделирование в целенаправленной деятельности.....................237
  15.2. Исследование операций и принятие решений......244
Варианты заданий для самостоятельной работы.........258
Программа курса.....................................281
Литература..........................................286

4

         У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.
Ч.Дарвин


        Предисловие

   Математика — слово греческого происхождения. То, что греки назвали mathema — познание, наука, было известно до них и, по-видимому, задолго. Греки смогли впервые понять и по достоинству оценить это знание, придать ему системный характер и включить в исходное понятие философии понятие «бытие», через которое они выражали идею единства мира. Математика, наряду с астрономией, медициной, архитектурой, стоит у истоков современной науки, о чем свидетельствуют, в частности, «Начала» Евклида — книга о геометрии, написанная им в III в. до н.э. Используя математику, Г. Галилей и И. Ньютон создали первую научную механическую теорию.
   Становление гуманитарных наук по времени совпадает с историей математики. Развитие гуманитарных знаний и математики не было параллельным движением, оно неоднократно пересекалось: И. Ньютон, Б. Спиноза, Г. Лейбниц, Ф. Энгельс. В XX в. ранее крайне неустойчивый союз математики и гуманитарных наук укрепился настолько, что появилась насущная потребность учитывать его наличие в вузовском образовании. Во многом эта метаморфоза объясняется принципиальным изменением мнения о познавательном потенциале математики. Длительное время математику рассматривали только в технологическом ракурсе, в качестве инструментария. Как заметил еще Галилей, «законы природы записаны на языке математики». Эвристическая функция математики раскрылась на рубеже XIX и XX вв.


5

   В гуманитарных науках значение математики также огромно. Почему? Математика имеет дело с возможными мирами структур, упорядоченными совокупностями объектов. Любая гуманитарная наука изучает некоторую общность объектов, свойства и отношения, присущие им. Таким образом, математика раздвигает область своего приложения и актуализирует ее. К исследовательскому аппарату гуманитарных наук подключаются огромнейшие резервы математики, накопленные ею за тысячелетия.
   Математика решающим образом способствует установлению упорядоченности гуманитарных структур. Математику можно уподобить оптическому прибору, позволяющему рассмотреть невидимое для обычного зрения. Она открывает нам структурные отношения объектов социального познания и предоставляет исключительно эффективный математический аппарат. Тот, кто не владеет математикой, не способен проникнуть в глубинные структурные отношения сложных динамически меняющихся объектов.
   Начиная с древности математику широко использовали в социальной практике людей, например в строительном, военном искусстве. И тем не менее включение математики в практическую социокультуру оставалось ограниченным. Оно становится по-настоящему эффективным лишь тогда, когда осуществляется математизация самосознания. Математизация гуманитарных наук способствует познанию, управлению, прогнозированию и профилактике кризисных явлений, которыми насыщена современная историческая ситуация.
   В сочетании с информатикой и ЭВМ математика становится междисциплинарным инструментарием, выполняющим две основные функции: во-первых, позволяет определять цели поступков лю

6

дей и условия их достижения; во-вторых, анализировать широкий спектр возможных ситуаций и намечать оптимальные решения посредством использования математических моделей. Математическое моделирование признается обязательным этапом, предшествующим принятию ответственного решения в экономике, финансовых и банковских операциях, в планировании развития, определении структуры и ориентации социальных подразделений, в избирательных кампаниях.
   Математизация гуманитарного образования ориентирована не только на обучение математическому мышлению, но и на развитие с помощью математики самого профессионального мышления гуманитариев. В соответствии с этим приоритетной задачей обучения математике в гуманитарных вузах становится не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие — формирование у студентов в процессе изучения математики мышления, необходимого для полноценного функционирования человека в современном обществе. Конкретные математические знания выступают базой организации полноценной в интеллектуальном и идейном отношении деятельности.
   Содержание пособия находится в строгом соответствии с действующим государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения и отражает подходы, положенные в основу разработки образовательных стандартов третьего поколения. Оно учитывает особенности подготовки бакалавров по всем гуманитарным и социально-экономическим направлениям.

7

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков



        ВВЕДЕНИЕ

   В принципе математику можно рассматривать как разновидность уточненной, усовершенствованной логики. Замечательно, что, создав правила этой логики и выучив их, человек получил гораздо более мощное орудие, чем обыкновенный здравый смысл, основанный на традиционной, «домашней» логике. Тенденция ко все большей общности сопровождается ростом требований, предъявляемых к логической строгости. Однако в заботе о логической безупречности легко хватить через край, заменив словесные рассуждения потоком логических символов и слепым применением стандартных приемов. В этом направлении можно далеко зайти, и, вместо того, чтобы углубить понимание, совсем его потерять.
   В настоящее время принято несколько искусственно разделять культуру на гуманитарную и естественнонаучную. «Гуманитарное» преподавание математики невозможно без изучения ее истории. Сюда входят и краткие сведения о возникновении тех или иных математических понятий и идей, о жизни выдающихся ученых.
   Другая сторона математического образования — изучение приложений математики. В настоящее время создается система примеров и задач, ориентированных на гуманитарные приложения.
   Гуманитарный потенциал математики раскрывается по следующим направлениям.
   1.   Математика изучает математические модели реальных процессов. Это позволит человеку, владе

8

ющему математическим языком, глубже проникнуть в суть явлений, правильно ориентироваться в окружающей действительности.
   2.   Математика «ум в порядок приводит». Известно влияние математики на формирование мышления и личностных черт человека.
   3.   Человек, формулирующий математическое утверждение, проводящий математическое доказательство, оперирует не обыденной, а предметной речью, строящейся по определенным законам (краткость, четкость, лаконичность, минимизация и др.). Предметная речь оказывает существенное влияние и на развитие литературной речи.
   4.   Изучая математику, человек постоянно осознает свое развитие, «поумнение». Осознанность процесса обучения — один из краеугольных принципов теории развивающего обучения. Если взять за основу пять дидактических принципов теории развивающего обучения — обучение на достаточно высоком уровне трудности, быстрый темп обучения, приоритет теории, дифференцированный подход к учащимся и упомянутый выше принцип осознанности процесса обучения, то нетрудно убедиться, что обучение математике наиболее адекватно соответствует системе этих принципов.
   Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра. Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
   Современная математика в сочетании с информатикой и ЭВМ становится междисциплинарным инструментарием, который выполняет две основные функции: обучает специалиста-профессионала формулировать цель того или иного процесса,

9