Сборник задач по сопротивлению материалов

08.03.01

УДК 539.3/.4
ББК 30.121

М91

Р е ц е н з е н т ы :

Ю.Э. Сеницкий — доктор технических наук, профессор. заведующий кафедрой
«Сопротивление материалов и строительная механика» Самарского государственного
архитектурностроительного университета;
Н.Г. Сарбатов — кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая механика»
Саратовского государственного технического университета

Муморцев А.Н., Фролов Е.А.

М91
Сборник задач по сопротивлению материалов : учебное пособие / А.Н. Муморцев, Е.А. Фролов. — М. : ФОРУМ : ИНФРАМ, 2019. — 112 с. ил. — (Высшее образование).

ISBN 9785000910221 (ФОРУМ)
ISBN 9785160105765 (ИНФРАМ, print)
ISBN 9785161026007 (ИНФРАМ, online)

В учебном пособии изложены основные понятия о выборе расчетной схемы для

стержней, находящихся под нагрузкой и испытывающих простые сопротивления, методика построения эпюр внутренних усилий на отдельных примерах. Приведены справочные данные некоторых прокатных профилей, используемых для расчетов.

Сборник задач предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направлению подготовки «Строительство» по профилю подготовки «Городское
строительство» и изучающих курс «Сопротивление материалов».

УДК 539.3/.4
ББК 30.121

ISBN 9785000910221 (ФОРУМ)
ISBN 9785160105765 (ИНФРАМ, print)
ISBN 9785161026007 (ИНФРАМ, online)

© Муморцев А.Н., Фролов Е.А., 2014
© Издательство «ФОРУМ», 2014

Введение

Фундаментальную основу науки о прочности строительных конструкций
зданий и сооружений составляют дисциплины «Сопротивление материалов»,
«Строительная механика» и «Теория упругости».
Студенты высших учебных заведений, обучающиеся по направлению подготовки «Строительство», изучают курс сопротивления материалов, который базируется на знаниях общеобразовательных дисциплин: химии, физики, строительных материалов, математики и теоретической механики.
Сопротивление материалов является базовой дисциплиной в инженерной
подготовке, и от ее усвоения зависят успехи при изучении таких специальных
дисциплин, как строительные конструкции из металла, железобетона, дерева и
пластмасс.
Целью написания предлагаемого сборника задач является желание как можно раньше ознакомить студента с особенностями работы строительных конструкций как элементов зданий и сооружений, с материалами, из которых они выполнены, с их свойствами, с действующими эксплуатационными нагрузками, с особенностями их «сбора» и приложения к конструктивным схемам.
Большое внимание уделено выбору рациональных расчетных схем, методике
решения задач и правилам проверки правильности полученных результатов.
В учебном пособии рассмотрено пять тем, по каждой из них приводятся примеры с подробным решением задач, а также предлагаются примеры для самостоятельного решения и ответы на них.
В конце каждого тематического раздела даются вопросы для самопроверки и
подготовки к зачету или экзамену. Отдельные задачи повышенной сложности
могут быть использованы при подготовке к олимпиадам.

Тема 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

Здания и сооружения подразделяют на два основных типа: бескаркасные и
каркасные. В бескаркасных зданиях несущими конструкциями являются стены.
В каркасных зданиях стены играют роль ограждения от внешних воздействий (ветер, снег, дождь и т. д.). Кроме того, присутствуют элементы, без которых само
существование сооружения невозможно. Эти несущие элементы составляют каркас здания. На рис. 1.1 изображен фрагмент здания, составленный из ограждающих элементов и несущего каркаса.
Всю эту систему можно разделить на простые элементы: стержни, пластины
(оболочки), массивные тела.

Рис. 1.1. Фрагмент одноэтажного каркасного здания

Стержень — это призматическое тело, у которого один размер (длина) значительно (в 6—10 раз) больше двух других размеров поперечного сечения (стойка, балка, ребра плиты).
Пластина — это призматическое тело, у которого размеры в плане (длина,
ширина) существенно больше толщины элемента (плита, стеновая панель).
Массив — это объект, у которого все три размера одного порядка (фундамент).
Основным объектом исследования в сопротивлении материалов является
стержень или несколько стержней. Между собой стержни соединяются промежуточными шарнирами. Чтобы стержень или система могли противостоять внешним
воздействиям, они должны быть закреплены опорами. Идеализированные опоры
бывают подвижными, неподвижными и с жесткими защемлениями (рис. 1.2).

Соединения элементов, составляющих каркас, должны обеспечивать его геометрическую неизменяемость, т. е. способность сохранять свою первоначальную
форму. Количество необходимых для этого связей определяется по формуле
Л.П. Чебышева:

Л = С0 + 2Ш – 3Д,

где С0 — количество опорных стержней, прикрепляющих каркас к основанию;
Ш — число соединительных шарниров внутри каркаса;
Д — количество стержней («дисков»), образующих каркас.
Вариант, когда Л < 0 в инженерностроительных дисциплинах не рассматривается, такая система является геометрически изменяемой (число связей в конструкции недостаточно).
Для геометрической неизменяемости системы (каркас сооружения) должно
удовлетворяться условие:
Л = 0, число связей достаточно (статически определимая структура) или
Л > 0, количество связей превышает необходимое (статически неопределимая структура).

Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов
5

Рис. 1.2. Виды опор:
а — шарнирноподвижная; б — шарнирнонеподвижная; в — жесткое защемление

Воздействия на каркас в целом и на его отдельные элементы представляются
нагрузкой.
Нагрузка — это количественная оценка воздействия одного тела на другое.
Различают следующие виды нагрузок: сосредоточенная — F (Н); распределенная
по длине — q (Н/м); распределенная по площади — q (Н/м2); моментная нагрузка — М (Н⋅м).
Расчет сооружения начинается с составления его расчетной схемы, на которой реальные элементы заменяются линиями, совпадающими с их продольными
осями, реальные соединения — идеализированными, внешние воздействия —
нагрузками.
В простейших случаях можно определить, какой вид сопротивления испытывает стержень. Так, например, жестко закрепленный стержень (рис. 1.3) в зависимости от ориентации нагрузки работает на растяжение или сжатие, кручение,
изгиб (рис. 1.3).

Ниже, на рис. 1.4—1.6 представлены расчетные схемы простейших сооружений, на которых изображена «балка», т. е. стержень, закрепленный минимум
тремя опорными стержнями и нагруженный силами, перпендикулярными его
продольной оси.
При расчете сооружения необходимо учесть все воздействия на конструкцию, т. е. «собрать нагрузки» и загрузить ими расчетную схему.
На рис. 1.8 и 1.9 выполнен сбор нагрузок на ригель поперечника промышленного цеха и опору рекламного щита. Так, например, при расчете покрытия рас6
Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов

Рис. 1.3. Простые сопротивления:
а — растяжение; б — сжатие; в — кручение; г — изгиб

Рис. 1.4. Простейший мостовой переход — бревно, работающее как однопролетная балка:
а — реальный объект; б — расчетная схема

пределенную нагрузку q1
2
кН

м




 «собирают» с грузовой площади А
l
=
+



 ⋅
В
В
2
2
(рис. 1.8). На каждый погонный метр ригеля (балки) будет действовать нагрузка

q
q
B
q
=
⋅
⋅



 +




1
2
кН

м
м
кН
м
с в
б
.
,

где q1 включает в себя собственный вес плит, пароизоляции, утеплителя, цементной стяжки, рубероидного ковра, а также снеговой нагрузки. Все эти нагрузки
принимаются в расчете на 1 м2 покрытия.

Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов
7

Рис. 1.5. На балконной плите стоит человек. Плита работает как консольная балка:
а — реальный объект; б — расчетная схема

Рис. 1.6. Мостовой переход, работающий как однопролетная балка:
а — реальный объект; б — расчетная схема

Рис. 1.7. Башенный кран, поднимающий ускоренно груз:
а — реальный объект; б — расчетная схема — сложная вантовостержневая структура

Погонная нагрузка от собственного веса балки Fб кН
(
) может быть найдена
делением его на l (м):

q
F
l
с в
б
б
кН
м
.
=



.

Грузовая площадь показана заштриховкой на рис. 1.8.
После замены реальной конструкции ее расчетной схемой в последней определяются:
• реактивные усилия (реакции
′
Vi , Hi и моменты Mi), возникающие во внешних связях (опорах);

• внутренние усилия (нормальная и перерезывающая силы; изгибающий и
крутящий моменты), возникающие в сечениях в результате смещений частей стержня относительно друг друга.
Для вычисления реактивных усилий рассматривается равновесие расчетной
схемы «в целом». Нагрузка, включая в себя реакции, должна обращать в тождества уравнения равновесия. В случае плоской системы сил используется один из
трех вариантов записи этих уравнений:

F
F
m
F
X
Z
i
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
0
;
;
(
)
;

F
m
F
m
F
X
A
i
i
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
0
;
(
)
;
(
)
;

m
F
m
F
m
F
A
i
B
i
c
i
∑
∑
∑
=
=
=
(
)
;
(
)
;
(
)
.
0
0
0

Любой из вариантов служит для определения опорных реакций.

8
Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов

Рис. 1.8. Сбор нагрузки на балку покрытия:
а — разрез здания и состав покрытия; б — грузовая площадь (заштрихована); в — расчетная
схема балки

Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов
9

Рис. 1.9. Рекламный щит и действующие нагрузки:
а — в тихую погоду; б — расчетная схема; в — в ветреную погоду; г — расчетная схема
(
;
)
W
w
B K
G
B K
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
0
γ
δ , где G — собственный вес щита и W — давление ветра
на щит

Рис. 1.10. Бак с водой весом G, смонтированный на четырех стойках:
а — реальный объект; б — расчетная схема отдельной стойки, в которой возможно проявление феномена «потеря устойчивости»

Для вычисления внутренних усилий рассматривают равновесие одной из частей расчетной схемы, расположенной «слева» или «справа» от исследуемого сечения.
Правила определения внутренних усилий приведены в теме 3 данного пособия.
Для упрощения расчета внутренние усилия представляются силами, приложенными к центру тяжести сечения, и моментами, поворачивающими сечение
вокруг главных центральных осей (тема 2).
В действительности внутренние усилия расположены по всей площади сечения.
Полное напряжение pα характеризует интенсивность распределения внутреннего усилия по сечению в заданной точке:

p
R
A
=
= 



lim ∆
∆
Cила
Площадь

при ∆А → 0.
Обычно
используется
следующая
размерность
напряжения:
[МПа],

Па
Н

м2
=





.

10
Тема 1. Основные понятия, используемые в сопротивлении материалов

Рис. 1.11. Полное напряжение в точке сечения: p
R
A
A
=
→
lim
∆
∆
∆
0

Рис. 1.12. Замена полного напряжения компонентами:
а — общий вид; б — частный случай (растяжение)