Сказки мнимого мира История о корне из минус 1

Сказки мнимого мира 
История о –1 

Пол Дж. Нахин

An Imaginary Tale
The story of –1

Paul J. Nahin

With a new preface by the author

Princeton University Press

Princeton and Oxford

Москва, 2020

Сказки мнимого мира 
История о –1

Пол Дж. Нахин

С новым предисловием автора

УДК 530.1
ББК 22.31
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Сказки мнимого мира. История о 
 / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 342 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-822-7

Эта книга читается как увлекательная история, чуть ли не биография, одного из самых неуловимых и вместе с тем вездесущих «чисел» 
в математике. История 
 берет начало еще в Древнем Египте, но 
европейская наука освоила это число относительно недавно. Пол Нахин, известный популяризатор точных наук, вплетает в повествование 
любопытные исторические факты, обсуждение математических проблем и сведения о применениях комплексных чисел и функций в таких 
важных задачах, как законы движения планет Кеплера и электрические 
цепи переменного тока.
Издание адресовано всем, кого интересует математика, в том числе 
и в историческом ракурсе.

УДК 530.1
ББК 22.31

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted 
in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, 
recording or by any information storage and retrieval system, without permission 
in writing from the Publisher PRINCETON UNIVERSITY PRESS. Russianlanguage edition copyright © 2020 by DMK Press. All rights reserved.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-16924-8 (анг.) 
©  Princeton University Press, 2016
ISBN 978-5-97060-822-7 (рус.) 
©  Оформление, издание, перевод, 
ДМК Пресс, 2020

Посвящается моей матери 
КАТЕРИНЕ ДОРОТИ МАРКВЕЛЬДЕР 

и памяти моего отца 

ПОЛА ДЖИЛЬБЕРТА НАХИНА 

(1916–1990)

Кэлвин и Хоббс
Рисунок Билла Уотерсона

Вот еще задачка,  
никак решить не могу. 
Сколько будет 
9 + 4?

Нда, непростая.  
Тут нужен матанализ  
и мнимые числа

Ну, знаешь, 
одиннадесять, 
тридцать 
двенадцать. 
Поначалу-то  
крышу сносит

Откуда 
ты все это 
знаешь? Ты  
и в школу-то 
не ходил!

Инстинкт, 
понимаешь. 
Тигры с этим 
рождаются

Мнимые 
числа?!

Содержание

Вступительное слово от издательства ................................... 10

Обращение к читателю ................................................................. 12

Предисловие ко второму изданию ......................................... 13

Предисловие ...................................................................................... 23

Введение ............................................................................................. 28

Глава 1. Загадки мнимых чисел ................................................ 34
1.1.  Кубическое уравнение ................................................................... 34
1.2.  Отрицательное отношение к отрицательным числам ............... 40
1.3.  Опрометчивый вызов ................................................................... 42
1.4.  Секрет распространяется .............................................................. 43
1.5.  Как комплексные числа могут представлять вещественные  
решения .......................................................................................... 46
1.6. Вычисление вещественных корней без мнимостей ................... 51
1.7.  Курьезное переоткрытие............................................................... 54
1.8.  Нахождение комплексных корней с помощью линейки ............ 58

Глава 2. Первая попытка понять геометрию –1 ............. 63
2.1.  Рене Декарт .................................................................................... 63
2.2.  Джон Валлис ................................................................................... 74

Глава 3. Загадки начинают разрешаться .............................. 83
3.1.  Каспар Вессель прозревает путь ................................................... 83
3.2.  Вывод тригонометрических тождеств из формулы Муавра ....... 97
3.3.  Комплексные числа и экспоненциальная функция .................. 104
3.4.  Арган ............................................................................................ 112
3.5.  Бюэ ................................................................................................ 115
3.6.  И снова повторное открытие ...................................................... 118
3.7.  Гаусс .............................................................................................. 123

Глава 4. Использование комплексных чисел .................... 126
4.1.  Комплексные числа как векторы ................................................ 126
4.2.  Применение алгебры комплексных векторов к решению   
геометрических задач ................................................................. 129

СОДЕРЖАНИЕ

4.3.  Задача Гамова .............................................................................. 135
4.4.  Решение рекуррентного уравнения Леонардо .......................... 137
4.5.  Мнимое время в физике пространства-времени ...................... 141

Глава 5. Другие применения комплексных чисел .......... 151
5.1.  Комплексные функции открывают короткий путь  
сквозь гиперпространство .......................................................... 151
5.2.  Максимальные блуждания на комплексной плоскости ........... 154
5.3.  Законы Кеплера и орбиты спутников ........................................ 157
5.4.  Когда и почему кажется, что некоторые планеты движутся 
вспять ........................................................................................... 170
5.5.  Комплексные числа в электротехнике ....................................... 175
5.6.  Знаменитая электронная схема, которая работает  
благодаря –1 ............................................................................... 190

Глава 6. Математики-кудесники ............................................. 195
6.1.  Леонард Эйлер ............................................................................. 195
6.2.  Тождество Эйлера ........................................................................ 196
6.3.  Эйлер делает себе имя ................................................................. 200
6.4.  Нерешенная задача ..................................................................... 204
6.5.  Эйлер раскладывает синус в бесконечное произведение ........ 212
6.6.  Окружность Бернулли ................................................................. 213
6.7.  Граф вычисляет ii ......................................................................... 214
6.8.  Роджер Котс и упущенная возможность .................................... 219
6.9.  Многозначные функции ............................................................. 224
6.10.  Гиперболические функции ......................................................... 226
6.11.  Вычисление π по –1 ................................................................... 231
6.12.  Использование комплексных чисел для реальных вещей ....... 234
6.13.  Формула дополнения Эйлера для Γ(n) и функциональное  
уравнение для ζ(n) ....................................................................... 243

Глава 7. Девятнадцатый век, Коши и начало теории 
функций комплексного переменного .................................. 248
7.1.  Введение ....................................................................................... 248
7.2.  Огюстен Луи Коши ....................................................................... 250
7.3.  Аналитические функции и условия Коши–Римана .................. 252
7.4.  Первый результат Коши .............................................................. 258
7.5.  Первая интегральная теорема Коши .......................................... 265
7.6.  Теорема Грина .............................................................................. 268
7.6.  Вторая интегральная теорема Коши .......................................... 274
7.7.  Третий закон Кеплера: заключительное вычисление............... 285
7.8.  Эпилог: что было дальше ............................................................ 288

СОДЕРЖАНИЕ 9

Приложение A. Основная теорема алгебры ..................... 295

Приложение B. Комплексные корни  
трансцендентного уравнения .................................................. 299

Приложение C. –1 –1 с точностью  
до 135 десятичных знаков, и как его вычислили .......... 304

Приложение D. Решение загадки Клаузена ...................... 308

Приложение E. Вывод дифференциального  
уравнения генератора  с фазовым сдвигом ...................... 310

Приложение F. Значение гамма-функции  
на критической прямой .............................................................. 315

Примечания ..................................................................................... 317

Указатель имен ............................................................................... 334

Предметный указатель ............................................................... 337

Благодарности ................................................................................ 341

Вступительное слово 
от издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, 
что вы думаете об этой книге – что понравилось или, может 
быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.
com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе 
«Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному 
редактору по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите 
название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmk press.com/authors/publish_book/ 
или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно 
случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – 
возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – 
мы будем очень благодарны, если вы сообщите нам о ней. 
Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания 
и по можете нам улучшить последующие издания этой книги. 
Если вы найдете какие-либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о них главному редактору по адресу dmkpress@gmail.
com, и мы исправим это в следующих тиражах.

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Princeton University Press