Как перехитрить гравитацию

Как перехитрить  
гравитацию

How to Fall Slower  
Than Gravity

And Other Everyday (and Not So Everyday) Uses
of Mathematics and Physical Reasoning

PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD

PAUL J. NAHIN

Москва, 2020

Как перехитрить  
гравитацию

И другие повседневные (и не очень) идеи  
для использования физико-математических  
рассуждений

ПОЛ ДЖ. НАХИН

УДК 530.1
ББК 22.31
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Как перехитрить гравитацию / пер. с англ. М. С. Рыжиковой. – 
М.: ДМК Пресс, 2020. – 322 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-824-1

Автор книги спорит с утверждением, что математика и физика – это 
«новая латынь», чисто академические дисциплины, красоту и значимость 
которых способны оценить лишь избранные. Вниманию читателей предложен ряд задач на стыке математики и физики, которые на первый 
взгляд представляют чисто теоретический интерес, но по факту имеют 
прикладное значение. Как пробить катапультой огромную стену? Может 
ли физическая величина быть бесконечной? Насколько правдоподобными были математические расчеты в фантастических рассказах Жюля 
Верна? Эти и многие вопросы рассматриваются в книге – и, изучив ее, 
вы убедитесь, что интуитивно подсказанный ответ не всегда верен.
Издание предназначено для широкого круга читателей, интересующихся физикой и математикой.

УДК 530.1
ББК 22.31

Original English language edition published by Princeton University Press 
41 William Street, Princeton, New Jersey 08540. Copyright © 2018 by Princeton 
University Press. Russian-language edition copyright © 2020 by DMK Press. All 
rights reserved.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-17691-8 (анг.) 
© 2018 by Princeton University Press
ISBN 978-5-97060-824-1 (рус.) 
©  Оформление, издание, перевод, 
ДМК Пресс, 2020

С благодарностью Пэт

Меловая доска Ричарда Фейнмана в Калифорнийском технологическом 
институте в том виде, в каком он ее оставил, покидая его в последний раз. 
Ричард Фейнман (Richard Feynman, 1918–1988) был одним из величайших 
физиков-математиков ХХ ве ка (лауреат Нобелевской премии по физике 
за фундаментальные работы по квантовой электродинамике). Это фото 
иллюстрирует расхожий взгляд на работу физиков-математиков: какая-то 
тайная магическая символика, понятная лишь немногим избранным. Но 
я не думаю, что Фейнман считал так же. Как он заявил в известном интервью (Omni, февраль 1979): «Я не разделяю идею, что лишь немногие 
особо одаренные люди способны понять математику, а весь остальной 
мир – обычные. Математика – это человеческое открытие, и она не сложнее того, что может понять человек. В одном моем учебнике была фраза: 
“Что может один дурак, то может и другой”» [Фейнман цитировал Calculus 
for the practical man («Вычисления для практичного человека»), написанную 
британским инженером Сильванусом Томпсоном (Silvanus P. Thompson) 
в 1910 го ду]… Есть тенденция к помпезности во всем этом, чтобы сделать 
все это искусственно глубже и основательнее. Два принципа, написанных 
в верхнем левом углу, прочно прикрепились к образу Фейнмана и были не 
просто лозунгами: он активно отстаивал их в своих трудах и выступлениях.
Фото предоставлено архивом Калифорнийского технологического института.

Однородная стальная проволока в виде круглого кольца сделана так,  
что вращается в своей плоскости вокруг своего центра фигуры.  
Докажи, что максимально возможная линейная скорость  
не зависит от поперечного сечения провода и радиуса кольца,  
и вычисли эту скорость. Удельная прочность проволоки задана  
как 90 000 фунтов на квадратный дюйм, а вес кубического фута  
[стали] в 490 фунтов.

Задача, поставленная Джоном Уильямом Страттом (John William 
Strutt, 1842–1919), лучше известным в мире физики как Лорд Рэлей (Lord 
Rayleigh, лауреат Нобелевской премии по физике 1904 г.), на четвертый 
день знаменитого девяти(!)дневного экзамена в Кембриджском университете в 1876 году. Лорд Рэлей был экзаменатором по математике и физике, и эту задачу человек, получивший высшие баллы1, – Вранглер Старший 
(Senior Wrangler) – запомнил как «чрезмерно сложную».
Подумайте об этой задаче, упомянутой в книге Эндрю Уорвика (Andrew 
Warwick) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics 
(University of Chicago Press, 2003), – пока вы читаете эту книгу, но если после упорных попыток вы действительно не сможете решить ее (или просто захотите проверить свой ответ), то ее решение приводится в заключительном приложении этой книги. (Уорвик так и не смог этого сделать.)

1 Джозеф Тиммис Уорд (Joseph Timmis Ward) (1853–1935), который 
с некоторым трепетом написал в своем дневнике в тот же вечер: «Что он 
[лорд Рэйли] даст нам в последующие дни, я и представить не могу». Вскоре пос ле того, как он занял первое место в «Mathematical Tripos» – экзамене в Кембриджском университете, Уорд сделал то же самое на еще более 
требовательном экзамене «Smith’s Prize». Умение сдавать математические экзамены не всегда приводит к успешной научной жизни. Уорд принял сан и после десятилетий пребывания священником умер забытым как 
отшельник в своих коллежских комнатах в Кембридже. Занявший третье 
место после Уорда в «Mathematical Tripos» в 1876 году, Джон Генри Пойнтинг (John Henry Poynting) (1852–1914), однако, стал известным физиком 
благодаря вектору Пойнтинга (Poynting vector) (1884), который описывает 
движение потоков энергии в электромагнитном поле.

Содержание

Вступительное слово от издательства .......................................................10

Предисловие ...................................................................................................12

ЧАСТЬ I ЗАДАЧИ ..............................................................................33

Задача 1 
Военный вопрос: катапульта войны .......................................35

Задача 2 
Невозможная на первый взгляд задача,  
или Шокирующая снежная головоломка ................................36

Задача 3 
Две математические задачи: алгебра  
и дифференциальные уравнения спешат на помощь ...........38

Задача 4 
Проблема побега: увернуться от грузовика............................40

Задача 5 
Снова катапульта: туда, куда не попадут даже  
мертвые коровы .......................................................................41

Задача 6 
Еще одна математическая задача, которая требует  
вычислений ...............................................................................43

Задача 7 
Если теория терпит неудачу: моделирование  
Монте-Карло .............................................................................44

Задача 8 
Монте-Карло и теория: одномерное случайное  
блуждание пьяницы .................................................................50

Задача 9 
Еще Монте-Карло: двумерное случайное блуждание  
в Париже....................................................................................52

Задача 10 
Полет с ветром (и против него): математика  
для современного путешественника ......................................54

Задача 11 
Комбинаторная задача с физическими следствиями:  
частицы, энергетические уровни и исключение Паули ........56

Задача 12 
Математический анализ с помощью физических  
рассуждений .............................................................................62

Задача 13 
Когда интеграл становится несобственным: может ли  
физическая величина действительно быть бесконечной? ....71

Задача 14 
Это легче, чем упасть с бревна? Ну, может, и нет ...................74

Задача 15 
Когда компьютер выходит из строя? Когда каждый день – 
день рождения ..........................................................................82

Задача 16 
Когда интуиция подводит: иногда то, что кажется  
правильным, не так-то просто ................................................91

Задача 17 
Компьютерное моделирование физики NASTYGLASS:  
это возможно? Может быть .....................................................96

СОДЕРЖАНИЕ 9

Задача 18 
Падающая дождевая капля и проблема переменной  
массы: замедленное падение ................................................108

Задача 19 
За рамками квадратичного: кубическое уравнение  
и взрывное поведение в физической системе .....................118

Задача 20 
Еще одно кубическое уравнение, вдохновленное  
Жюлем Верном .......................................................................132

Задача 21 
За пределами кубического: квартирные уравнения,  
скрещенные лестницы, подводные ракетные пуски  
и уравнения пятой степени ...................................................142

Задача 22 
Побег от атомного взрыва: почему уцелел Enola Gay ..........153

Задача 23 
Невозможная математика стала легкой: арифметика  
конгруэнтности Гаусса ...........................................................161

Задача 24 
Волшебная математика: ряд Фурье, импульс Дирака  
и дзета-функция Эйлера ........................................................166

Задача 25 
Евклидов алгоритм: дзета-функция и информатика ..........177

Задача 26 
Последнее квадратное уравнение: Хевисайд  
обнаруживает подводный рыбий укус! ................................186

ЧАСТЬ II РЕШЕНИЯ ......................................................................195

Приложение 1 
MATLAB, простые числа, иррациональные числа  
и непрерывные дроби .....................................................265

Приложение 2 
Выведение непрерывной дроби Уильяма Браункера  

для 4
π .................................................................................288

Приложение 3 
Решение уравнения Ландена для подавленного  
кубического уравнения ...................................................293

Приложение 4 
Решение задачи лорда Рэлея о вращающемся  
кольце 1876 г.  ..................................................................304

Благодарности .............................................................................................313

Предметный указатель ...............................................................................315

Вступительное слово 
от издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что 
вы думаете об этой книге – что понравилось или, может быть, не 
понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпус кать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, 
зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору 
по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите название книги 
в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем 
сайте по адресу http://dmk press.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

Скачивание исходного кода примеров

Скачать файлы с дополнительной информацией для книг издательства «ДМК Пресс» можно на сайте www.dmkpress.com или www.
дмк.рф на странице с описанием соответствующей книги. 

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить 
высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. 
Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – мы будем очень 
благодарны, если вы сообщите нам о ней. Сделав это, вы избавите 
других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги.