Теоремы математики вокруг нас
Покупка
Тематика:
Математика
Издательство:
ДМК Пресс
Автор:
Комияма Хирохито
Перевод:
Клионский А. Б.
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 132
Дополнительно
Вид издания:
Научно-популярная литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-97060-819-7
Артикул: 748327.01.99
Доступ онлайн
549 ₽
В корзину
Скольких красок достаточно для раскрашивания любой географической карты? Какие типы правильных многоугольников подходят для составления мозаичного узора? Как рассчитать вероятность поступления в один из нескольких выбранных вузов? Ответ на эти и другие вопросы помогают найти теоремы. Помимо разбора увлекательных задач читатель найдёт в книге любопытные истории - о появлении математических символов, о «числе Шахерезады», о том, к каким неожиданным результатам приводит многократное умножение на 2, и о многом другом. В конце каждой главы приводятся краткие рассказы об известных математиках прошлого.
Издание заинтересует всех, кого увлекают решение математических задач и малоизвестные факты из истории математики.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Интернетмагазин: www.dmkpress.com Оптовая продажа: КТК «Галактика» books@alians-kniga.ru www.дмк.рф NIHONBUNGEISHA Теоремы математики вокруг нас Комияма Хирохито Теоремы математики вокруг нас С этой книжкой не уснёшь! 9 785970 608197 ISBN 978-5-97060-819-7 Комияма Хирохито Теоремы математики Комияма Хирохито Комияма Хирохито Измерение земельных участков и определение скорости движения, вычисление расстояния от Земли до искусственного спутника – для чего только не служат теоремы! Воистину, как сказал знаменитый математик Пифагор, «числа правят миром» – и в этой книге вы найдёте немало доказательств. • Теорема Пифагора и её расширения • Футбольный мяч: шар или многогранник? • Почему пчелиные соты шестиугольные? • Ряд Фибоначчи и золотое сечение • Лента Мёбиуса и появление топологии • «Метод исчерпывания» Архимеда Всё это, а также увлекательные факты из истории математики – под одной обложкой!
Комияма Хирохито Теоремы математики вокруг нас
Nihonbungeisha
Москва, 2020 С этой книжкой не уснешь! Теоремы математики вокруг нас Эксперт в области образования Комияма Хирохито Научный редактор Описание в картинках
УДК 519.63 ББК 22.193 К63 Комияма Х. К63 Теоремы математики вокруг нас / пер. с яп. А. Б. Клионского. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 132 с.: ил. ISBN 978-5-97060-819-7 Скольких красок достаточно для раскрашивания любой географической карты? Какие типы правильных многоугольников подходят для составления мозаичного узора? Как рассчитать вероятность поступления в один из нескольких выбранных вузов? Ответ на эти и другие вопросы помогают найти теоремы. Помимо разбора увлекательных задач читатель найдёт в книге любопытные истории – о появлении математических символов, о «числе Шахерезады», о том, к каким неожиданным результатам приводит многократное умножение на 2, и о многом другом. В конце каждой главы приводятся краткие рассказы об известных математиках прошлого. Издание заинтересует всех, кого увлекают решение математических задач и малоизвестные факты из истории математики. УДК 519.63 ББК 22.193 Russian translation rights arranged with NIHONBUNGEISHA Co., Ltd. through Japan UNI Agency, Inc., Tokyo. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978-4-53721-579-7 (яп.) Copyright © NIHONBUNGEISHA, 2017 ISBN 978-5-97060-819-7 (рус.) © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020
Предисловие ...........................................................................................................................................8 Пролог Основные сведения о теоремах и проблемах Что же это такое – теоремы математики? ................................................................................12 Теорема Пифагора и великая теорема Ферма .......................................................................14 Узнаём про «королеву теорем» – теорему Пифагора .........................................................16 Теоремы математики, активно используемые в нашей жизни ........................................18 Математические истории Многократное умножение на 2 даёт умопомрачительный результат .....................................................................................................20 Column 1 Древнегреческий математик Евклид ....................................................................22 Глава 1 Знаменитые теоремы математики Теорема Пифагора и тригонометрические функции ...........................................................24 Теорема синусов .................................................................................................................................26 Теорема косинусов ............................................................................................................................28 Теоремы Фалеса .................................................................................................................................30 Математические истории Теоремы, являющиеся расширениями теоремы Пифагора ...............................................................................................................................................32 Column 2 Карл Фридрих Гаусс .....................................................................................................34 Глава 2 Теоремы, прочно вошедшие в нашу жизнь Теорема о четырёх красках ..........................................................................................................36 Еще о теореме четырёх красок ....................................................................................................38 Футбольный мяч оказался многогранником, а не шаром? ......................................................................................................40 Оказывается, шестиугольная форма пчелиных сот не случайна ....................................42 Дальность обзора с телевизионной башни Tokyo Skytree .................................................44 Свойства правильных многогранников и теорема Эйлера о многогранниках ........46 Математические истории Эти удивительные целые числа ..............................................48 Column 3 Платон ................................................................................................................................50 Содержание
Содержание 6 Глава 3 Теоремы математики, которые вы изучали в школе Теорема Пифагора .............................................................................................................................52 Теорема Чевы .......................................................................................................................................53 Теорема Менелая ...............................................................................................................................54 Теорема Птолемея ..............................................................................................................................55 Теорема Гиппократа (гиппократовы луночки) ........................................................................56 Теорема о хорде и касательной ................................................................................................... 57 Практическое применение теоремы о центре тяжести треугольника .........................58 Теорема о степени точки .................................................................................................................59 Теорема о свойствах средней линии треугольника .............................................................60 Теорема Симсона ................................................................................................................................61 Математические истории Когда же родились «знаки вычислений»? ..........................62 Column 4 Леонард Эйлер ...............................................................................................................64 Глава 4 Теоремы математики, которые полезно знать Бином Ньютона ...................................................................................................................................66 Числа Фибоначчи ...............................................................................................................................68 Ряд Фибоначчи и золотое сечение .............................................................................................70 Теорема Безу об остатке и теоремы о разложении на множители ...............................72 Основная теорема о простых числах .........................................................................................74 Замечательные точки треугольника ...........................................................................................76 Основы дифференциального и интегрального исчислений ............................................78 «Метод исчерпывания» Архимеда ..............................................................................................80 Теорема Пика .......................................................................................................................................82 Теоремы Абеля.....................................................................................................................................84 Математические истории Что такое «делосская задача об удвоении куба»? .........86 Column 5 Фибоначчи .......................................................................................................................88 Глава 5 Решаем задачи с помощью математической теоремы Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 1) ..........................................................90 Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 2) ..........................................................92 Теорема о многогранниках ............................................................................................................94 Теоремы о вписанном угле .............................................................................................................96 Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 1) ......................98 Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 2) ................... 100 Математические истории Число Шахерезады, обладающее удивительным свойством ........................................................................................................................................... 102 Column 6 Архимед ......................................................................................................................... 104
Содержание 7 Глава 6 Повседневная жизнь и математика Сколько же птиц было похищено? ........................................................................................... 106 Что означает принцип Кавальери? .......................................................................................... 108 Вычисление средней скорости движения ............................................................................. 110 Отец алгебры Диофант.................................................................................................................. 112 О дифференциальном и интегральном исчислениях в двух словах ......................... 114 Немного сложная математическая задача ........................................................................... 116 Делим 17 ослов в соответствии с завещанием отца ........................................................ 118 Что такое лента Мёбиуса? ........................................................................................................... 120 Найдём фальшивую монету, соблюдая правила ................................................................ 122 Сможете ли вы понять, в чём фокус? ...................................................................................... 124 Математические истории Что означают слова «определение» и «положение»? ................................................................................................................................ 126 Математические истории Премия Филдса – высшая награда в математике ........ 128 Column 7 Исаак Ньютон ............................................................................................................... 130 Список использованной литературы ....................................................................................... 131
Предисловие В наши дни математика находится в центре внимания! И не только в Японии, но и в Америке, Европе и остальных странах мира отмечают важность изучения данной науки. Центр исследования и реформирования, принадлежащий ОЭСР, проводит исследования не только математики, но и других разнообразных предметов. ОЭСР (OECD) – это аббревиатура международной Организации экономического сотрудничества и развития, получившей известность в Японии благодаря программе PISA (Programme for International Student Assessment – Международной программе по оценке образовательных достижений учащихся), которую ОЭСР начала проводить в 2000 г. Программа оценивает уровень знаний 15-летних учащихся из стран – членов ОЭСР. Способности оцениваются главным образом в трёх областях: математическая грамотность, грамотность чтения и естественно-научная грамотность. В тестах много межпредметных задач. Имеются и такие, для решения которых недостаточно простого заучивания наизусть учебного материала. Математические задачи тестов PISA оказались в центре внимания потому, что при их составлении учитываются запросы современного общества; во многих задачах важное значение придаётся процессу решения, идеям и подходам, используемым при поиске ответа. Не будет преувеличением сказать, что именно это послужило поводом к изменению содержания учебников по математике для младшей и средней школ. А раз поменялись учебники, то и изменения в задачах, задаваемых ученикам в средней школе или абитуриентам на вступительных экзаменах, – лишь вопрос времени. Содержание и принципы изучения математики как предмета сильно изменились за несколько десятилетий: люди, которым сейчас за 30 и за 40, учились по другой методике. Кроме того, не забывайте о том, что с 2020 г. начнут последовательно вводиться новые учебники для младшей и средней школ, в которых будут использоваться совершенно иные подходы к изучению арифметики и математики. Теперь уже недостаточно будет только произвести вычисления и дать ответ, – потребуется также объяснение решения. И ученики должны обсуждать между собой или излагать в письменной форме пошаговый процесс нахождения ответа. Подобные нововведения обусловлены тем, что обуче ние в таком формате развивает способности к логическому мышлению, решению разнообразных задач. С учётом того что мы живём в эпоху информационных технологий, в начальной школе появятся уроки информатики, однако цель не в том, чтобы воспитать будущих программистов, а в том, чтобы развить у детей
способности находить алгоритмы решения поставленных задач. Можно с уверенностью сказать, что умение решать задачи, встающие перед нами в жизни, является одной из важнейших способностей, имеющих общественную значимость. На уроках математики в средней школе изучаются теоремы. Знаете ли вы теорему Пифагора? А если да, то помните ли вы, как вам преподавали её доказательство? Должно быть, её доказывали, основываясь на очевидных фактах и убеждаясь в них. Книгу, которую вы держите в руках, по праву можно назвать беседой о теоремах математики. Как вы знаете, математику с давних времён называли «гимнастикой ума». Математика, как и программирование, – предмет, который развивает у учащихся способность мыслить логически. В наши дни благодаря программе PISA, осуществ ляемой ОЭСР, во всём мире возродился интерес к математике, в особенности к доказательству теорем. Наступила эпоха, когда теоремы математики способны принести ощутимую пользу с точки зрения жизни в современном хаотичном мире. Я убеждён в том, что теоремы математики послужат во благо многим, а не только небольшому количеству увлечённых. Уверен, что осознание практической пользы математики и применение её подходов в жизни позволят вам значительно расширить свои горизонты. Апрель 2018 г. Комияма Хирохито
Пролог Основные сведения о теоремах и проблемах
Пролог Основные сведения о теоремах и проблемах 13 Что же это такое – теоремы математики? «Теоремой» называют утверждение, выведенное, например, из аксиом, определений, верность которых доказана. Особенностью теорем является то, что их используют в качестве обоснования при доказательстве числовых формул, а также в качестве фундаментальных идей, лежащих в основе математических рассуждений. Весьма важной является простота практического использования теоремы. Но бывает и так, что конечным результатом, к которому стремятся, оказывается доказательство теоремы. Другими словами, доказательство теоремы – высшая цель математических размышлений. По этой причине в отношении красоты к теоремам предъявляются повышенные требования. При изучении теорем нам иногда встречается сочетание «проблема, или гипотеза, кого-либо». Дело в том, что в математике существует несколько так называемых «проблем кого-либо». Данное выражение означает, что этот «кто-либо» сделал предположение, которое ещё не доказано, и теоремой оно будет называться только после того, как его докажут. Среди знаменитых проблем есть, например, проблема Гольдбаха, проблема Ферма и другие. Гольдбах, Ферма высказали предположения, но доказать их ещё никому не удалось (теорема Ферма была доказана в 1995 г.). Хотя сами по себе утверждения вовсе не сложны, но по причине трудности доказательства математики всего мира многие десятки лет мучатся в попытках доказать их. Хотя не так давно были проведены компьютерные вычисления, касающиеся проблемы Гольдбаха, которые показали высокую вероятность правильности этого утверждения, но доказать её пока не удалось никому. Теоремы – это высшая цель математических размышлений.
Доступ онлайн
549 ₽
В корзину