Теоремы математики вокруг нас

Интернетмагазин:
www.dmkpress.com

Оптовая продажа: 
КТК «Галактика»
books@alians-kniga.ru
www.дмк.рф

NIHONBUNGEISHA

Теоремы математики вокруг нас

Комияма Хирохито

Теоремы математики
вокруг нас

С этой книжкой не уснёшь!

9 785970 608197

ISBN 978-5-97060-819-7

Комияма Хирохито

Теоремы математики

Комияма Хирохито
Комияма Хирохито
Измерение земельных участков и определение скорости
 движения, вычисление расстояния от Земли до искусственного спутника – для чего только не служат теоремы! 
Воистину, как сказал знаменитый математик Пифагор, 
«числа правят миром» – и в этой книге вы найдёте немало 
доказательств.

• Теорема Пифагора и её расширения
• Футбольный мяч: шар или многогранник?
• Почему пчелиные соты шестиугольные?
• Ряд Фибоначчи и золотое сечение
• Лента Мёбиуса и появление топологии
• «Метод исчерпывания» Архимеда

Всё это, а также увлекательные факты из истории 
математики – под одной обложкой!

Комияма Хирохито

Теоремы математики 

вокруг нас 

Nihonbungeisha

Москва, 2020

С этой книжкой не уснешь!
Теоремы  
математики 
вокруг нас

Эксперт в области образования 
Комияма Хирохито
Научный редактор

Описание  
в картинках

УДК 519.63
ББК 22.193
К63

Комияма Х.
К63 Теоремы математики вокруг нас / пер. с яп. А. Б. Клионского. – М.: 
ДМК Пресс, 2020. – 132 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-819-7

Скольких красок достаточно для раскрашивания любой географической карты? Какие типы правильных многоугольников подходят 
для составления мозаичного узора? Как рассчитать вероятность 
поступления в один из нескольких выбранных вузов? Ответ на эти 
и другие вопросы помогают найти теоремы.
Помимо разбора увлекательных задач читатель найдёт в книге 
любопытные истории – о появлении математических символов, 
о «числе Шахерезады», о том, к каким неожиданным результатам приводит многократное умножение на 2, и о многом другом. 
В конце каждой главы приводятся краткие рассказы об известных 
математиках прошлого.
Издание заинтересует всех, кого увлекают решение математических задач и малоизвестные факты из истории математики.

УДК 519.63
ББК 22.193

Russian translation rights arranged with NIHONBUNGEISHA Co., Ltd. through 
Japan UNI Agency, Inc., Tokyo.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без 
письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-4-53721-579-7 (яп.) 
Copyright © NIHONBUNGEISHA, 2017
ISBN 978-5-97060-819-7 (рус.) 
©  Оформление, издание, перевод, 
ДМК Пресс, 2020

Предисловие ...........................................................................................................................................8

Пролог  Основные сведения о теоремах и проблемах

Что же это такое – теоремы математики? ................................................................................12
Теорема Пифагора и великая теорема Ферма .......................................................................14
Узнаём про «королеву теорем» – теорему Пифагора .........................................................16
Теоремы математики, активно используемые в нашей жизни ........................................18
Математические истории Многократное умножение на 2 даёт 
умопомрачительный результат .....................................................................................................20
Column 1 Древнегреческий математик Евклид ....................................................................22

Глава 1 Знаменитые теоремы математики

Теорема Пифагора и тригонометрические функции ...........................................................24
Теорема синусов .................................................................................................................................26
Теорема косинусов ............................................................................................................................28
Теоремы Фалеса .................................................................................................................................30
Математические истории Теоремы, являющиеся расширениями теоремы 
Пифагора ...............................................................................................................................................32
Column 2 Карл Фридрих Гаусс .....................................................................................................34

Глава 2 Теоремы, прочно вошедшие в нашу жизнь

Теорема о четырёх красках  ..........................................................................................................36
Еще о теореме четырёх красок ....................................................................................................38
Футбольный мяч оказался  
многогранником, а не шаром? ......................................................................................................40
Оказывается, шестиугольная форма пчелиных сот не случайна ....................................42
Дальность обзора с телевизионной башни Tokyo Skytree .................................................44
Свойства правильных многогранников и теорема Эйлера о многогранниках ........46
Математические истории Эти удивительные целые числа ..............................................48
Column 3 Платон ................................................................................................................................50

Содержание

Содержание

6

Глава 3 Теоремы математики, которые вы изучали в школе

Теорема Пифагора .............................................................................................................................52
Теорема Чевы .......................................................................................................................................53
Теорема Менелая ...............................................................................................................................54
Теорема Птолемея ..............................................................................................................................55
Теорема Гиппократа (гиппократовы луночки) ........................................................................56
Теорема о хорде и касательной ................................................................................................... 57
Практическое применение теоремы о центре тяжести треугольника .........................58
Теорема о степени точки .................................................................................................................59
Теорема о свойствах средней линии треугольника .............................................................60
Теорема Симсона ................................................................................................................................61
Математические истории Когда же родились «знаки вычислений»? ..........................62
Column 4 Леонард Эйлер ...............................................................................................................64

Глава 4 Теоремы математики, которые полезно знать

Бином Ньютона ...................................................................................................................................66
Числа Фибоначчи ...............................................................................................................................68
Ряд Фибоначчи и золотое сечение .............................................................................................70
Теорема Безу об остатке и теоремы о разложении на множители ...............................72
Основная теорема о простых числах .........................................................................................74
Замечательные точки треугольника ...........................................................................................76
Основы дифференциального и интегрального исчислений ............................................78
«Метод исчерпывания» Архимеда ..............................................................................................80
Теорема Пика .......................................................................................................................................82
Теоремы Абеля.....................................................................................................................................84
Математические истории Что такое «делосская задача об удвоении куба»? .........86
Column 5 Фибоначчи .......................................................................................................................88

Глава 5 Решаем задачи с помощью математической теоремы

Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 1) ..........................................................90
Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 2) ..........................................................92
Теорема о многогранниках ............................................................................................................94
Теоремы о вписанном угле .............................................................................................................96
Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 1) ......................98
Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 2) ................... 100
Математические истории Число Шахерезады, обладающее удивительным 
свойством ........................................................................................................................................... 102
Column 6 Архимед ......................................................................................................................... 104

Содержание

7

Глава 6 Повседневная жизнь и математика

Сколько же птиц было похищено? ........................................................................................... 106
Что означает принцип Кавальери? .......................................................................................... 108
Вычисление средней скорости движения ............................................................................. 110
Отец алгебры Диофант.................................................................................................................. 112
О дифференциальном и интегральном исчислениях в двух словах ......................... 114
Немного сложная математическая задача ........................................................................... 116
Делим 17 ослов в соответствии с завещанием отца ........................................................ 118
Что такое лента Мёбиуса? ........................................................................................................... 120
Найдём фальшивую монету, соблюдая правила ................................................................ 122
Сможете ли вы понять, в чём фокус? ...................................................................................... 124
Математические истории Что означают слова «определение»  
и «положение»? ................................................................................................................................ 126
Математические истории Премия Филдса – высшая награда в математике ........ 128
Column 7 Исаак Ньютон ............................................................................................................... 130

Список использованной литературы ....................................................................................... 131

Предисловие

В наши дни математика находится в центре внимания! И не только в Японии, но и в Америке, Европе и остальных странах мира отмечают важность изучения данной науки.
Центр исследования и реформирования, принадлежащий ОЭСР, проводит 
исследования не только математики, но и других разнообразных предметов. ОЭСР (OECD) – это аббревиатура международной Организации 
экономического сотрудничества и развития, получившей известность 
в Японии благодаря программе PISA (Programme for International Student 
Assessment – Международной программе по оценке образовательных 
достижений учащихся), которую ОЭСР начала проводить в 2000 г. Программа оценивает уровень знаний 15-летних учащихся из стран – членов 
ОЭСР. Способности оцениваются главным образом в трёх областях: математическая грамотность, грамотность чтения и естественно-научная 
грамотность. В тестах много межпредметных задач. Имеются и такие, для 
решения которых недостаточно простого заучивания наизусть учебного 
материала. Математические задачи тестов PISA оказались в центре внимания потому, что при их составлении учитываются запросы современного общества; во многих задачах важное значение придаётся процессу 
решения, идеям и подходам, используемым при поиске ответа. Не будет 
преувеличением сказать, что именно это послужило поводом к изменению содержания учебников по математике для младшей и средней школ. 
А раз поменялись учебники, то и изменения в задачах, задаваемых ученикам в средней школе или абитуриентам на вступительных экзаменах, – 
лишь вопрос времени. Содержание и принципы изучения математики 
как предмета сильно изменились за несколько десятилетий: люди, которым сейчас за 30 и за 40, учились по другой методике.
Кроме того, не забывайте о том, что с 2020 г. начнут последовательно вводиться новые учебники для младшей и средней школ, в которых будут 
использоваться совершенно иные подходы к изучению арифметики и математики. Теперь уже недостаточно будет только произвести вычисления 
и дать ответ, – потребуется также объяснение решения. И ученики должны обсуждать между собой или излагать в письменной форме пошаговый 
процесс нахождения ответа.
Подобные нововведения обусловлены тем, что обуче ние в таком формате 
развивает способности к логическому мышлению, решению разнообразных задач.
С учётом того что мы живём в эпоху информационных технологий, в начальной школе появятся уроки информатики, однако цель не в том, чтобы воспитать будущих программистов, а в том, чтобы развить у детей 

способности находить алгоритмы решения поставленных задач. Можно 
с уверенностью сказать, что умение решать задачи, встающие перед нами 
в жизни, является одной из важнейших способностей, имеющих общественную значимость.
На уроках математики в средней школе изучаются теоремы. Знаете ли 
вы теорему Пифагора? А если да, то помните ли вы, как вам преподавали её доказательство? Должно быть, её доказывали, основываясь на очевидных фактах и убеждаясь в них. Книгу, которую вы держите в руках, 
по праву можно назвать беседой о теоремах математики. Как вы знаете, 
математику с давних времён называли «гимнастикой ума». Математика, как и программирование, – предмет, который развивает у учащихся 
способность мыслить логически. В наши дни благодаря программе PISA, 
осуществ ляемой ОЭСР, во всём мире возродился интерес к математике, 
в особенности к доказательству теорем. Наступила эпоха, когда теоремы 
математики способны принести ощутимую пользу с точки зрения жизни в современном хаотичном мире. Я убеждён в том, что теоремы математики послужат во благо многим, а не только небольшому количеству 
увлечённых. Уверен, что осознание практической пользы математики 
и применение её подходов в жизни позволят вам значительно расширить 
свои горизонты.

Апрель 2018 г. 
Комияма Хирохито