Производные и интегралы

Огами Такэхико

Производные и интегралы

Описание 
в картинках
С этой книжкой не уснешь!

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

ОГАМИ ТАКЭХИКО

Научный редактор Medaka-college

Москва, 2020

УДК 519.63
ББК 22.193
 
О36

 
Огами Такэхико
О36  Производные и интегралы / пер. с яп. Клионского А. Б. – М.: ДМК Пресс, 
2020. – 132 с.

ISBN 978-5-97060-814-2

Если раньше дифференциальные и интегральные исчисления были только 
уделом математиков, сегодня эту тему уже проходят в старших классах школы. 
Однако те, кто в дальнейшем не планирует связать свою жизнь с математикой, 
с трудом представляют, в какой сфере можно применить эти знания.

В этой книге производные и интегралы рассматриваются не только в историческом, но и в практическом контексте. Читатель узнает о том, какую роль 
они сыграли в наблюдении за звездами, какая функция выражает наклон, какова связь между интегрированием и разделением земельных участков в древности. Иллюстрации помогают представить математические задачи образно, 
а любопытные факты из жизни ученых удачно дополняют изложение теории.

Издание предназначено для учащихся старших классов, студентов технических вузов и всех, кто интересуется историей и теорией математики.

УДК 519.63
ББК 22.193

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без 
письменного разрешения владельцев авторских прав
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но, поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за 
возможные ошибки, связанные с использованием книги.

ISBN 978-5-97060-814-2 (рус.) 
© NIHONBUNGEISHA, 2018
ISBN 978-4-53721-581-6 (анг.) 
© Оформление, издание, ДМК Пресс, 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ

Простое умозаключение о том, что «три яблока, три мандарина – это одинаково», может сделать даже трехлетний ребенок, однако это совсем не так просто, 
как может показаться на первый взгляд: ведь яблоки и мандарины – это совсем 
не одинаковые предметы. В действительности то, что «три яблока» и «три мандарина» представляются нам одинаково, является особенным.
Сосредоточив свое внимание только на числе «три», говорить об одинаковости – 
это называется «абстрактным мышлением». Хотя  способностью к абстрактному 
мышлению обладают все, в математике оно используется в такой огромной мере, 
что, даже заглянув в ее сложные разделы, неподготовленный человек просто не 
сможет понять, о чем там идет речь.

В таких случаях всегда важно уметь строить в голове конкретные образы. Учебники, сборники задач по математике переполнены абстрактными описаниями, 
и это можно сравнить с тем, что даже веселая мелодия на бумаге будет выглядеть 
как унылая последовательность нот, и, подобно тому, как невозможно написать 
мелодию, не представляя у себя в голове, как она будет звучать, невозможно понять также и математику, глядя лишь на то, как преобразуются выражения.
Для понимания математики важно также иметь конкретный образ того, что вы 
делаете, и эта книга поможет вам конкретно представить то, что делают в дифференциальном и интегральном исчислениях.

Содержание данной книги, наверное, будет недостаточно для тех, кто, например, 
готовится к вступительным экзаменам в университет или собирается использовать дифференциальное и интегральное исчисления в программировании, однако 
ее будет вполне достаточно для того, чтобы прикоснуться к замечательным идеям, 
лежащим в основе дифференцирования и интегрирования. В дифференциальном 
исчислении «анализируют, разделив на мелкие части», а в интегральном – «складывают, разделив на мелкие части». Хотя идея очень проста, диапазон ее применения 
невероятно широк, и тот, кто поймет ее, сможет по-другому взглянуть даже на, казалось бы, привычные вещи. И вы, уважаемые читатели, обязательно приобретите 
этот «особый взгляд».
Дифференциальному и интегральному исчислениям посвящено множество 
вводных курсов, и, так как тематика у них всех одна, их содержание, наверное, 
очень похоже. Однако никто не может заранее знать, когда его навестит «бог 
понимания». Очень часто бывает и так, что объяснение, которое большинству 
кажется трудным для понимания, кому-то, наоборот, помогает понять суть. Нет 

необходимости понимать все объяснение – достаточно  понять «что-то». Люди, 
знающие математику, – это вовсе необязательно какие-то гении, которые понимают все, однако это те, кто, сталкиваясь с чем-то непонятным, меняли методы 
изучения, подходы, книги и преподавателей. Я буду очень рад, если эта книга 
тоже поможет вам понять какой-либо, хотя бы один, важный момент.

В заключение хочу поблагодарить здесь господина Мацуда из Art Supply Co. 
Ltd., который очень терпеливо относился ко всем моим многочисленным корректурам.

 
апрель 2018 года
Огами Такэхико

1

2

8

Описание 
в картинках
Интересно так, что не заснешь

СОДЕРЖАНИЕ

Дифференциалы 
и интегралы

Предисловие  6 

История дифференциального 
и интегрального исчислений  11

01 Зарождение дифференциального и интегрального исчислений  
 12

02  Почему дифференциальное и интегральное исчисления 
в старшей школе считают трудной темой?  
 14

03 Знакомимся с изобретателями ➀  
 16

04 Знакомимся с изобретателями ②  
 18

05 Борьба изобретателей 
 20

06  Что требуется для понимания дифференциального  
и интегрального исчислений? 
 22

07 Порядок зарождения и порядок изучения 
 24

08 Образ дифференциального исчисления 
 26

09 Образ интегрального исчисления 
 28

Column Что делят на мелкие части в дифференциальном исчислении?  
 30

1

2

9

Что можно узнать с помощью 
дифференциального исчисления?  31

01 Координаты и координатные оси 
 32

02  Что выражает точка на плоскости? 
 34

03 Функция – что это такое? 
 36

04 Функции, выражаемые уравнениями 1-го порядка  
 38

05 Функции 2-го порядка, изображаемые в виде кривых 
 40

06  Пробуем построить график на основе уравнения  
 42

07 Что такое «наклон»?  
 44

08 Пробуем найти наклон  
 46

09 Что такое наклон в точке на кривой?  
 48

10 График функции модуля  
 50

11 Функция, выражающая наклон  
 52

12 Дифференцирование в узком смысле  
 54

13 От предела к производной  
 56

14 У дифференцирования тоже есть правила  
 60

15 Пробуем продифференцировать  
 62

16 Дифференцирование xn  
 64

17 Немного поупражняемся  
 66

18 Что такое функция 3-го порядка?  
 68

19 Что такое монотонное возрастание?  
 70

20 Что такое абсолютные максимумы и абсолютные минимумы?  
 72

21 Что такое локальные максимумы и локальные минимумы?  
 74

22 Строим график по уравнению функции 3-го порядка  
 76

Column  Японцы, которые не смогли оставить свои имена 
в истории математики  
 78

3

10

Что можно узнать с помощью 
интегрального исчисления?  79

01 Зачем нужно интегрирование?  
 80

02  Метод исчерпывания  
 82

03 Метод исчерпывания, основанный на делении на мелкие части  
 84

04 Делим так мелко, насколько это возможно  
 86

05 Объем статуи Большого Будды из города Нара  
 88

06  Пробуем построить график на основе уравнения  
 90

07 Открытие Ньютона и Лейбница  
 92

08 Что такое первообразная функция?  
 94

09 Выводим формулу интегрирования  
 96

10 Первообразная и неопределенный интеграл  
 98

11 Ответ – не один?  
 100

12 Что такое C?  
 102

13  Что нужно для нахождения площади треугольника путем 
интегрирования? 
104

14 Интегрирование, дающее ответ в виде числа  
 106

15 Совпадает с формулой площади треугольника  
 108

16  Интегрирование и дифференцирование – это две стороны 
одной медали 
110

17 Пробуем найти площадь под графиком функции 2-го порядка  
 112

18 Находим площадь, ограниченную кривыми  
 114

19 Немного поупражняемся в вычислении интегралов  
 116

20 Выражаем чашку в виде формулы  
 118

21 Выражаем объем чашки математическим языком  
 120

22 Пробуем найти площадь поперечного сечения  
 122

23  Мы смогли найти объем чашки  
 124

24  Проверяем усвоение порядка вычисления интеграла  
 126

25  Пробуем вывести формулу трехгранной пирамиды  
 128

26  Обобщение сведений об интегрировании  
 130