Математика. Линейная алгебра

общ.

2021.

ПТ20.

Москва

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебно-справочное пособие составлено в соответствии с программой курса высшей математики, определенной государственным образовательным стандартом для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования педагогического профиля. Пособие содержит необходимые теоретические 
сведения, большое количество примеров с решениями, задания для 
самостоятельной работы по такому важному разделу курса высшей 
математики, как линейная алгебра.

Курс высшей математики несет двойную нагрузку — как самостоятельный учебный предмет, в котором должна соблюдаться строгая логическая последовательность изложения материала, и как аппарат для применения в специальных дисциплинах.

Известно, что поиск решений задач по математике у студентов 
часто сопряжен со многими трудностями. Поэтому основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности, т.е. научить его решать наиболее типичные 
задачи из представленного раздела курса высшей математики.

Процесс самостоятельного поиска решения задач для многих 
студентов должен направляться и подкрепляться постоянным консультированием относительно выбора оптимальных приемов и методов, применимых в этом поиске. Таким консультантом для студента как раз и сможет стать данное пособие, тем более, что в каждом его разделе приведены краткие теоретические сведения, описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения. Затем в пособии приводятся условия задач, 
предлагаемых для самостоятельного решения, причем эти задачи 
снабжены ответами. После изучения каждой темы студентам предлагается выполнить зачетную работу. Такая форма изложения позволяет обучающемуся сначала познакомиться с приемами решения 
типовых задач и с оформлением записи их решений, чтобы уже затем приступить к выработке и освоению навыков самостоятельного 
их решения.

Данное пособие может быть использовано как при очной, так и 
при дистанционной форме обучения.

ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

1.1. Понятие алгебры

Справочный материал
• 
Понятие множества — одно из основных понятий математики. 
Под множеством понимают совокупность любых объектов 
(предметов, качеств, свойств и т.п.), которая рассматривается как одно целое. Например, можно говорить о множестве целых чисел, о множестве цветов радуги, о множестве корней 
квадратного уравнения, о множестве домов в городе Смоленске 
и т.п. Объекты, входящие в состав множества (т.е. составляющие 
его), называются его элементами. Весьма ценным для математики оказалось введение такого понятия, как «множество, не содержащее ни одного элемента»: оно называется пустым множеством и обозначается символом 0 . Обычно множества обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если 
элемент а принадлежит множеству А, то пишут а е  А. Если же 
элемент Ъ не принадлежит множеству А, то пишут be. А . Например, если А = {-1;0; 1},то 0 е А , а вот 7 е А.

• 
Множество В называют подмножеством множества А и пишут В а  А, если каждый элемент множества В принадлежит 
множеству А. Например, если А — множество студентов Смоленского педагогического колледжа, а В — множество студентов 
первого курса этого колледжа, то В а  А . Пустое множество 
естественно считается подмножеством любого множества.

• 
Два множества А и В называют равными и пишут А = В, в 
том и только в том случае, когда А а  В и В с  А одновременно 
(обратите внимание на задачу 1.1.12).

• 
Пусть даны какие-нибудь объекты а и Ъ. Если они не совпадают, 
т.е. аФЬ, то множество {а, Ь} называется неупорядоченной 
парой объектов а и Ъ. При этом очевидно, что {а, Ь) = {Ь, а}. 
Введем теперь понятие упорядоченной пары (а, Ь), составленной из любых объектов а и Ь. Говорят, что упорядоченные пары (а, Ь) и (с, d) равны и пишут (a, b) = (с, d ) , в том и только 
в том случае, когда а = с и b = d . В частности, (а, Ь) = (Ъ, а) в 
том и только в том случае, когда а = b . Например, (1,2) ф (2,1), 
хотя {1,2} = {2,1}, а вот (5,5) = (5,5) и (1, 2) = (1,2).

4

• 
Прямым (или декартовым') произведением двух непустых 
множеств А и В называется множество всех упорядоченных 
пар (х, у) таких, что х е А и у  е В . Прямое произведение 
множеств А и В обозначается символом Ах В . Например, если 
А = {а}, В = {1, 2}, то АхВ = {{а, 1), (а, 2)}.

• 
Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (или упорядоченного множества) п объектов а1,а2,...,ап, где 
п е N и п > 2 . Кортеж (или упорядоченное множество) п объектов 
а],а2,...,ап 
обозначается через 
(я,, а2, 
а„). Два кортежа

(ах, а2,...,ап) и (Ьх, Ь2, Ь „ )  называют равными и пишут 

{al,a2,...,an) = {b[,b2,...,bn) в том и только в том случае, когда 

ak =bk , к = 1, 2,
п .

• 
Пусть А — непустое множество и п — фиксированное натуральное 
число. Будем называть п — кратным прямым произведением 
множества А на себя или п-й степенью множества А множество,
обозначаемое символом А" и состоящее из всех упорядоченных 
множеств (совокупностей) из п элементов множества А, т.е.

А" = {(х,,х2,...,х„)| х, е А, х2 еА,...,хП е А }.

Например, если А = {1,2}, то А2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}. Ясно,

что имеет смысл договориться считать, что А1 = А .

• 
Пусть А — непустое множество и и — фиксированное натуральное 
число. 
Если 
каждой 
упорядоченной 
совокупности

(х,,х2,...,х„)е А" по некоторому правилу/ ставится в соответствие определенный объект (элемент) а е А , то говорят, что задано отображение /  множества А" в А. Всякое отображение f
множества А" в А называется n-местной операцией на множестве А, а число п — рангом этой операции. Тот факт, что
операция/упорядоченной совокупности (Х|,х2,..., х„)е А" ставит 
в 
соответствие 
элемент 
ае. А, 
записывается 
так: 
/(х ,,х 2, ...,х„) = а . Нульместной операцией на множестве А 
называется выделение {фиксация) какого-нибудь элемента 
множества А. Часто операцию /  ранга 2 называют бинарной и 
вместо /(Х |,х2) = а 
пишут х ,/х 2 = а. Например, если + есть 
обозначение (имя) бинарной операции сложения натуральных 
чисел, то вместо записи +(3,4) = 7 пишут 3 + 4 = 7.

1 Рене Декарт (1596— 1650) — французский философ и математик.

5

• 
Алгеброй называется упорядоченная пара А= (A, Q) , где А — 
непустое множество, a Q — множество операций на А. При 
этом множество А называется основным множеством алгебры 
А (или ее носителем), а его элементы — элементами этой алгебры. В частности, когда множество операций Q конечно, т.е. 
0  = { /|> Л .->/*}> то вместо Л =( Л, { / „ / 2, . п и ш у т  
А = (Л;/,,..., f m). Например, Z = (Z;+, ), где Z — множество 
всех целых чисел, а + и • — бинарные операции сложения и 
умножения целых чисел, является алгеброй с двумя бинарными 
операциями.

• 
Если А = (A, Q) — алгебра, то говорят также, что множество А есть 
алгебра относительно операций Q. Например, множество натуральных чисел N является алгеброй относительно обычной бинарной 
операции сложения натуральных чисел, т.е. N = (N; +) — алгебра.

Упражнения с решениями

1.1.1. Требуется найти все подмножества множества А = {1,2,3}. 
РЕШЕНИЕ. Так как пустое множество 0  является подмножеством любого множества, то 0  с  А . Далее найдем все одноэлементные подмножества множества А: {1}, {2}, {3}. Теперь найдем все 
двухэлементные подмножества множества А: {1,2}, {1,3}, {2,3}. 
Наконец, согласно определению подмножества, само множество 
А = {1,2,3} также является подмножеством множества А. Таким образом, у данного множества А = {1,2,3} всего 8 подмножеств: 0 , 
{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}. {2,3}, {1, 2,3}. ►

1.1.2. Покажите, что упорядоченные пары ((а,Ь),с) и {(d,e), / )  
равны тогда и только тогда, когда a = d , Ь = е , с = /  .

РЕШЕНИЕ. Согласно определению упорядоченной пары имеем: 
((a, b), c) = ((d,e), / )  о  (a,b) = (d,e) и с = / .

Но, в свою очередь, (a,b) = (d,e) 
<=> 
a = d и b = e. Итак, 
((a,b),c) = ((d,e),f) о  a = d , b = e, с = f  >

1.1.3. Дано множествоЯ = {а,Ь), где а *■ b . Найдите множество Я 3. 
РЕШЕНИЕ. По определению 3-й степени множества Я  имеем:

Я 3 = {(х,,х2, х3)| х, е Я , х2 е Я , х3 е Я} =

= {(a,a,a), (a,a,b), (a,b,b), (b,b,b), (b,b,a), (b,a,a), (a,b,a), (b,a,b)}. ►

1.1.4. Проверьте, является ли обычная операция сложения целых 
чисел бинарной операцией на множестве В = {—1,0,1}.

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что сумма 1+1 не является элементом данного множества В = {-1,0,1}. Следовательно, здесь операция сложе6

ния + упорядоченной паре (1,1) е В2 не ставит в соответствие какой- 
либо элемент се. В , т.е. операция сложения не является отображением множества В2 в множество В. Поэтому операция сложения + не 
является бинарной операцией на множестве В = {-1, 0,1} .►

1.1.5. Проверьте, является ли алгеброй с одной бинарной операцией упорядоченная пара Z= (Z; +), где Z — множество всех целых 
чисел, а + — обычная операция сложения целых чисел.

РЕШЕНИЕ. Поскольку для любых целых чисел а и b их сумма 
а + Ь=с также является целым число, то + является бинарной операцией на Z. Следовательно, упорядоченная пара Z=(Z;+) — алгебра с одной бинарной операцией. ►

1.1.6. Пусть дано множество £) = {-1,1}. Проверьте, является ли 
алгеброй упорядоченная пара D = ({-1,1};-), где • обозначает обычную операцию умножения целых чисел.

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что здесь произведение а ■ Ь любых двух элементов данного множества D = {-1,1} снова является элементом этого 
же множества, т.е. операция умножения • каждой упорядоченной паре 

(a , b ) eD 2 ставит в соответствие некоторый элемент с = а-Ь, причем 
с е  D . Следовательно, операция умножения • является отображением 

множества D2 в множество D, т.е. • является бинарной операцией на 
множестве D = {-1,1}. Поэтому упорядоченная пара Z>= ({—1,1}; -) является алгеброй с одной бинарной операцией умножения. ►
Задания для самостоятельного решения

1.1.7. Найдите все подмножества множества D -  {-1,1}.
1.1.8. Покажите, что для любых элементов a, b, с, d (не обязательно различных) {a, b} = {с, d } тогда и только тогда, когда а = с и 
b = d  или a = d и Ь = с .

1.1.9. Найдите множество М 2 = М х М , если М = {1,2,3}.
1.1.10. Проверьте, является ли обычная операция сложения + целых 
чисел бинарной операцией на множестве всех четных целых чисел 2Z.

1.1.11. Пусть R + — множество всех положительных действительных чисел. Проверьте, является ли алгеброй упорядоченная пара 
R +=(R+\-), где • обозначает операцию умножения действительных чисел.

1.1.12. Докажите следующие утверждения: 1) для любого множества А справедливы соотношения Асе А и А = А; 
2) для любых 
множеств А, В и С: а) если А а  В и В с е С , то А а С ; б) если А = В, 
то В = А ; в) если А = В и В = С , то А = С .

1

1.2. Группы

Справочный материал
• 
Одним из важных частных случаев алгебр являются группы. 
Алгебра G= (G; *) с одной бинарной операцией * называется 
группой, если выполняются следующие условия {аксиомы):
1) операция * ассоциативна, т.е. для любых элементов а,Ь,с 
из G а * {Ь * с) = {а * Ь) * с ;

2) в G существует так называемый нейтральный элемент 
относительно операции *, т.е. такой элемент е, что 
а*е = е*а = а для каждого а е G ;

3) для любого элемента a eG  существует симметричный 
ему элемент a ' e G , т.е. такой, что а * а' = а'*а = е .

• 
Группа G= (G; *) называется коммутативной или абелевой2, 
если операция * является коммутативной, т.е. для любых а и Ъ 
из G а*Ь = Ь * а.

• 
Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется 
конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется 
бесконечной.

• 
В математике и ее приложениях обычно используются мультипликативная или аддитивная форма записи для операции группы и 
самой группы. При мультипликативной записи операцию группы 
называют умножением и пишут а ■ Ь (или ab) вместо а*Ь, называя элемент а ■ Ь произведением элементов а и Ь. Элемент, симметричный а, обозначают а~1 и называют обратным элементу а. 
Нейтральный элемент (относительно умножения) обозначают через 
1 и называют единичным элементом или единицей группы. При 
мультипликативной записи приведенное выше определение группы 
формулируется следующим образом.
Алгебра G=(G;-) с одной бинарной операцией умножения ■ 
называется группой, если выполняются условия {аксиомы):
1) операция умножения ■ ассоциативна, т.е. для любых элементов а, Ь, с из G a-{b-c) = { a - b ) c \

2) в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент 1, 
что а \  = \ а  = а для всякого a eG ;

3) для любого элемента a e G  существует обратный элемент a~l eG  такой, что а-а"' = а~] а = 1.

2 Нильс Хенрик Абель (1802-1829) — норвежский математик.

8

При аддитивной записи операцию группы называют сложением и пишут а + Ь вместо а*Ь, называя элемент а + b суммой 
элементов а и Ь. Элемент, симметричный элементу а, обозначают {-а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент (относительно операции сложения) обозначают символом 0 и называют нулевым элементом или нулем 
группы. Итак, при аддитивной записи определение группы 
формулируется следующим образом.
Алгебра С= (G; +) с одной бинарной операцией сложения + называется группой, если выполняются следующие условия {аксиомы):
1) операция сложения-ассоциативна, т.е. для любых элементов а, Ь, с из G a + {b + c) = {a + b) + c ;

2) в G имеется нулевой элемент, т.е. такой элемент 0, что 
а + 0 = 0 + а = а для всякого а из G;

3) для любого элемента а из G существует противоположный элемент {-а) е G такой, что а + (-а) -  (-а) + а = 0 .

• 
Важным примером аддитивной группы служит аддитивная 
группа целых чисел Z=(Z;+), где Z — множество всех целых 
чисел, а операция + есть обычная операция сложения целых чисел. Действительно, мы уже знаем (см. упражнение 1.1.5), что 
упорядоченная пара Z -  (Z; +) является алгеброй с одной бинарной операцией. Кроме того, еще из школьного курса математики 
хорошо известно, что выполняются следующие условия:
а) операция сложения целых чисел-ассоциативна, т.е. для любых целых чисел a,b,c a + {b + c) = {a + b) + c\

б) в Z имеется нулевой элемент {число нуль) 0 такой, что 
а + 0 = 0 + а = а для всякого а из Z;

в) для любого целого числа а из Z существует противоположное целое число {-а) е Z такое, что а + {-а) = {-а) + а = 0 .

Следовательно, алгебра Z= (Z; +) является группой.

• 
Одним из важных примеров конечной мультипликативной 
группы служит так называемая группа вращений правильного 
многоугольника.
Пусть 
дан 
правильный 
и-угольник 
AiA2...An и пусть О его центр (см. рис. 1).
Рассмотрим всевозможные повороты 
плоскости вокруг точки О, при которых 
этот и-угольник совмещается сам с собой. Таких попарно различных поворотов, очевидно, п: а0 — поворот на Z0 
(тождественное преобразование),

9

ах — поворот на Z 2 п

Л л
а2 — поворот на Z -----2,

п

<зпЧ — поворот на Z -----(« — 1).

п

По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим: ак ■ а, = ак+, ; при этом

считается, что ак+п = ак для любого к, в частности, ап = а 0.
Ясно, что определенная таким образом операция умножения поворотов является ассоциативной (и коммутативной). Здесь поворот а0 является единичный элементом группы и ак' = а„_к 
для любого £ = 0,1,...,«- 1.
Итак, если множество попарно разных поворотов правильного 
«-угольника Я|Я2...Яя обозначим через С„, а операцию «умножения поворотов» — через ® , то алгебра С п = (С„; ®) образует конечную группу порядка п , которую принято называть группой вращений правильного п-угольника.

• 
Рассмотрим еще один пример конечной группы — группу симметрий ромба (она называется еще клейновской3 группой четвертого порядка).

Пусть дан ромб ABCD (см. рис. 2). 
Он переходит в себя при следующих 
преобразованиях:

Ьх — тождественном преобразовании,

Ь-, — симметрии относительно диагонали АС,

Ь3 — симметрии относительно диагонали BD,

Ь4 — симметрии относительно центра ромба О.

По определению, умножение ® преобразований Ьк и bj — 

это их последовательное выполнение одного за другим. Очевидно, что произведение Ьк ® Ъ] любых двух из указанных выше

3 Феликс Клейн (1849-1925) — немецкий математик.

10